王雪麗

（浙江省溫嶺市松門鎮(zhèn)中學）

巧借東風，化難為易
——一個基本圖形在中考復習中的應用

王雪麗

（浙江省溫嶺市松門鎮(zhèn)中學）

在歷年的中考題中，以加菲爾德證明勾股定理時所采用的構圖為基礎進行演變，形成一類基本圖形，結合平行四邊形、平面直角坐標系、函數(shù)知識的綜合題目，它們都可由兩個三角形相似得到相應的邊之間的關系，從而進行解題。引導學生注重對已獲得的知識、解題經驗進行歸納和轉化，進一步發(fā)展解題能力，提高中考復習的有效性。

構造；加菲爾德圖形；相似三角形

美·波利亞說：“求解某個數(shù)學題目所需的材料是我們以前所獲得的數(shù)學知識中某些與之相關的內容，比如以前解過的某些題目或者以前證明過的某些定理?！睉靡恍┗緢D形及基本結論可以提高學生相應的解題能力。

1876年，美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·瓊·加菲爾德（A·Garfield, 1831～1881），他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的證明，如圖1，通過構造兩個全等的直角三角形，利用同一圖形整體面積等于局部面積之和，從而證明了勾股定理。驚嘆于證明的巧妙構思之余，更對于他的構圖產生了一些思考。

如圖1，已知∠B=∠D=∠ACE=90°可得∠ECD=∠CAB，所以△ABC～△ECD，若兩個三角形的相似比為1，則△ABC≌△ECD。

圖1

如圖1這樣的基本圖形，我們稱之為加菲爾德圖形，也叫做三垂足共線圖形。從上述的證明中我們發(fā)現(xiàn)加菲爾德圖形有個基本結論，若∠B=∠D=∠ACE=90°，則△ABC～△ECD。

這一基本圖形的基本結論在中考題中有較廣泛的應用，特別在求線段長度、點的坐標以及函數(shù)等問題時，應用這一基本圖形，可達到事半功倍的效果。

一、在有些數(shù)學題中直接提煉加菲爾德圖形，應用基本圖形的結論構造方程求解

例1（.2014年山東省棗莊市）如圖2，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處，若AE=BE，則長AD與寬AB的比值是_______。

圖2

二、在很多數(shù)學題中，加菲爾德圖形是隱性存在的，這就需要學生在解題過程中去構造加菲爾德圖形

圖3

圖4

圖5

例3（.2014年江蘇省南京市）如圖5，在矩形AOBC中，點A的坐標是（-2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是 （ ）

解析：求點的坐標常聯(lián)想到過點作坐標軸的垂線段，從而求點坐標問題可轉化為求垂線段的長度問題，如圖6，過A、B、C分別作AD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，CG⊥y軸于點G,交BE于點F。構造兩個加菲爾德圖形，易得△DAO～△EOB～△FBC，又由于BC=AO，則△DAO≌△FBC，結合已知條件易得，OE=，CG=。故選B。

圖6

分解和重組是思維的重要活動。復雜的綜合題是由一些常見的基本題目、基本圖形組合而成的。對于這一類題目，我們可以采用庖丁解牛的手法，把復雜的問題分解成簡單的問題；應用基本圖形及其結論可使復雜的問題迎刃而解，這種化難為易、化繁為簡的解題思想初中數(shù)學中考復習很重要。

三、遷移圖形

當∠B=∠C=∠AED=a時，加菲爾德圖形的結論仍成立。我們把類似于圖7的基本圖形叫做M型圖形，也叫做三等角頂點共線圖形。它們有共同結論：△ABC～△ECD。

圖7

引導學生熟悉和掌握一系列基本圖形及其相關結論，能夠把問題從陌生熟悉化，從復雜簡單化，從困惑明朗化。引導學生注重對題目條件的分析、結論的分析，以及條件和結論之間聯(lián)系的分析。歸納出解決問題的通性、通法，既能夯實基礎，又能達到讓學生懂一題，曉一類，通一片的效果。推動學生數(shù)學能力的發(fā)展和數(shù)學思維的進步，從而提高中考復習的有效性。

［1］波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2013.

［2］王金戰(zhàn)，王志進.中考搶分36計：數(shù)學［M］.吉林教育出版社，2011.

·編輯 張珍珍