張怡林，朱育志，劉士亞

（1.廣東煥泰電力建設有限公司，廣東佛山528000；2.廣東立勝電力設備公司，廣東佛山528000；3.佛山科學技術學院自動化系，廣東佛山528000）

時滯現(xiàn)象在物理和生物系統(tǒng)中及實際生產(chǎn)生活中廣泛存在，如系統(tǒng)信號的量測（特別是復雜的在線分析儀）、長管道進料或皮帶傳輸、緩慢的化學反應過程等，也常見于電路、光學、神經(jīng)網(wǎng)絡、生物環(huán)境、數(shù)據(jù)網(wǎng)絡及冶金工業(yè)、建筑結構、機械傳動等領域。由于應用背景廣泛，一直深受眾多研究者的關注［1-2］。時滯系統(tǒng)分析方法主要有2類，1）特征方程根在復平面上位置的判斷［3-4］；2）基于計算機數(shù)值分析工具的Lyapunov穩(wěn)定性分析法［5-6］。對于一維時滯系統(tǒng)，還可以應用Lambert方程分析［3］。

本文針對一維時滯線性系統(tǒng)，采用基于復變函數(shù)的幾何方法，研究其穩(wěn)定條件。所給出的結論是充分必要條件，不存在任何保守性。文獻［4］也給出了一個充分必要條件，與之比較，本文結論有2個方面的改進：1）證明過程簡潔；2）結論簡明，給出的表達式不需要試算和驗算，是直接的結果。文末給出的數(shù)值例子證明了該方法的有效性，并與相關研究結果進行了比較。

1 標量時滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

1.1 時滯無關穩(wěn)定性

考慮標量時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性

式（1）中，x（t）（t≥0）為系統(tǒng)的狀態(tài)；a，b∈R 為實常數(shù)；h≥τi＞0（i=1，2…，∞），τi為系統(tǒng)的時滯，h 為系統(tǒng)可能的最大時滯。設系統(tǒng)（1）在t∈［-h，0］的狀態(tài)是確定的（可以是未知的）。

引理 1［5］設 F（jω）=jω-a-b e-jτω，標量時滯系統(tǒng)（1）穩(wěn)定的充要條件是

令 θ=ωτ，則（2）式可改寫為

于是有

因此，引理1成立等價于

定義圓C：z=e-jθ，則引理1等價于L1與C在復平面上無交點，如圖1所示。

定理1 設a＜0，系統(tǒng)（1）全時滯穩(wěn)定的充要條件是

證明 下面分別證明充分性和必要性。

證明 設直線L與圓C的交點為P（x，j y），有

圖1 復平面上的直線與單位圓

從圖1可以看出，L1位于單位圓之外。由引理1知，系統(tǒng)穩(wěn)定。

下面兩種情況值得注意，特此作如下說明。

（1）Hale［4］給出了結論需要首先假定一個值，然后用假定值去解一個方程，再驗算2個不等式，如果不滿足，則再假定，重復至滿意的結果為止。

（2）文獻［3］的結果可用MATLAB平臺提供的函數(shù)lambertw()計算，同樣需要先假定后驗算，而本文結果是直接得到的。

1.2 實例

例1考慮下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性

證明 相關研究成果如表1所示。由定理1知，子系統(tǒng)x1（t）是全時滯穩(wěn)定的，可知 x1（t）有界。由文獻［12］知，穩(wěn)定系統(tǒng)在有界輸入作用下仍然穩(wěn)定，故系統(tǒng)穩(wěn)定需且只需x˙2（t）=-0.9x2（t）-x2（t-τ）穩(wěn)定。

由定理2知

表1 例1穩(wěn)定條件比較

2 小結

運用復變函數(shù)理論及幾何方法得到了一維時滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，本文結論的證明過程和表達形式均較以往文獻簡潔，所以更適合工程應用。最后給出的實例表明了本文方法是有效的。

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