王繼成

（綏化學(xué)院信息工程學(xué)院 黑龍江綏化 152061）

Caughley[1]（1976）提出，如果食植性昆蟲在進(jìn)行取食過程中，彼此之間存在著相互干擾現(xiàn)象時，其數(shù)學(xué)模型為

其中x為寄主植物種群數(shù)量，y為植食性昆蟲種群數(shù)量；D為在寄主植物低密度下與取食效應(yīng)的反比，k為未被昆蟲取食的最大的植物密度，r1,r2分別為植物與植食性昆蟲的內(nèi)稟增長率，c1為每頭植食性昆蟲的最大取食率，c2為維持植食性昆蟲在平衡時所需植物數(shù)量的比例常數(shù)，各參數(shù)均為正數(shù)。

R=｛（x,y）|x＞0,y叟0｝，R+={（x,y）|x＞0,y＞0}

一、平衡點(diǎn)的分析

顯見系統(tǒng)（2）除O(0,0)外，還有平衡點(diǎn)A(k,0)，但O(0,0)不是系統(tǒng)（1）的奇點(diǎn)，令P(x,y)=0，Q(x,y)=0得方程組

因△=[ck-r(k-D)]2+△r2kD＞0，所以方程（3）有兩相異實(shí)根，其

于是得到系統(tǒng)（2）的唯一正平衡點(diǎn)E(x*,y*)，其中y*=cx*

在點(diǎn)A(k,0)的線性近似方程的系數(shù)行列式

因此，A(k,0)是鞍點(diǎn)。

對于平衡點(diǎn)E(x*,y*)，有

二、全局穩(wěn)定性

因此，平衡點(diǎn)E(x*,y*)是非鞍點(diǎn)，

引理2 當(dāng)r(k+D)2叟2ck(k-D)時，平衡點(diǎn)E*(x*,y*)是穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)。

引理3[3]若k-r(k-D)叟0，則E(x*,y*)是穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn).

證 當(dāng)k-r(k-D)叟0時，有h(x)＞0，進(jìn)而h(x*)＞0，故Tr(E)＞0

引理4 設(shè)k-r(k-D)＜0，則

（1）如果[k-r(k-D)]2＜8rkD，那么E(x*,y*)是穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)；

（2）如果[k-r(k-D)]2=8rkD，那么E(x*,y*)或者是穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)，或者是中心；

（3）如果[k-r(k-D)]2＞8rkD，那么存在正數(shù)α 和β(α＜β)易知β＜

（i）當(dāng)x*＜α 或x*＞β 時，E(x*,y*)是穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)；（ii）當(dāng)α＜x*＜β 時，E(x*,y*)是不穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)；（iii）當(dāng)α=x*或β=x*時，E(x*,y*)是中心。

證 依據(jù)條件和（5）式易知。

定理1 如果r(k+D)2＞2ck(k-D)，那么正平衡點(diǎn)E(x*,y*)全局漸近穩(wěn)定。

證 由條件及引理2知E(x*,y*)為穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)。

作Lipunov函數(shù)

顯然V(x，y)在E*(x*,y*)的鄰域內(nèi)正交，且V(x*，y*)＝0

圖1

由r(k+D)2＞2ck(k-D)，知x*＞，而在x*的鄰域內(nèi)M(x)嚴(yán)格減少，如圖1所示，所以)(M(x)-M(x*))＜0，因此，當(dāng)(x,y)≠(x*,y*)，V＜0，據(jù)Lasalle定理知E(x*,y*)為全局漸近穩(wěn)定的。

三、極限環(huán)的存在性

定理2[4]在x＞內(nèi)，系統(tǒng)（2）不存在極限環(huán)

證 取Dullac函數(shù)B(x,y)=x-2y-1，則當(dāng)x＞時有

定理3 設(shè)k-r(k-D)＜0，[k-r(k-D)]2＞8rkD，如果α＜x*＜β，那么系統(tǒng)（2）繞E*(x*,y*)至少存在一個穩(wěn)定的極限環(huán)。

證 據(jù)定理的條件及引理4，知E為不穩(wěn)定焦結(jié)點(diǎn)?，F(xiàn)在構(gòu)造E的外境界線如圖2所示。

圖2

對于直線LAB:x-k=0，有

因此，LAB是無切直線且系統(tǒng)（2）的軌線通過LAB的方向是從右向左。

所以LBC也是無切直線且系統(tǒng)（2）的軌線通過LBC的方向是從上向下。

我們對系統(tǒng)（2），即

作平移變換X=x-x*,Y=y-y*，則（2）變?yōu)?/p>

其中f0(X)=(X+x*)2[M(X+x*)-cx*]，f1(X)=(X+x*)2

令X=X，ξ=f0(X)-f1(X)Y，則（3）變?yōu)?/p>

我們只須在-x*＜x＜k-x*內(nèi)討論。

圖3

2°顯然V是嚴(yán)格增加的。

由引理4知，當(dāng)α＜x*＜β 時，準(zhǔn)1(0)＜0，所以f(0)＜0。

證 見參考文獻(xiàn)[2]的定理7.4及參考文獻(xiàn)[3]的注釋，可知定理成立。

[1]丁巖欽.昆蟲種群數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)原理與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1980.

[2]張芷芬.微分方程定性理論[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[3]李家成.一個植物——食植者系統(tǒng)模型的定性分析[J].華中師范大學(xué)學(xué)報，1991(1).

[4]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2002.