王雪延

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071)

倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜、不穩(wěn)定、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué)及開(kāi)展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想平臺(tái)［1］。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多典型問(wèn)題，如非線性、魯棒性、鎮(zhèn)定、隨動(dòng)以及跟蹤問(wèn)題等［2］。通過(guò)對(duì)倒立擺的控制，用于檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力［1］。

1 單級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)建模

在忽略了空氣阻力、各種摩擦之后，可將單級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)［3］。采用牛頓動(dòng)力學(xué)方法可建立單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的微分方程

倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設(shè)θ=φ+π，φ為足夠小的角度;用u代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后得到兩個(gè)方程

2 現(xiàn)代控制理論在倒立擺平臺(tái)的應(yīng)用

2.1 極點(diǎn)配置法

極點(diǎn)配置法是以線性系統(tǒng)為對(duì)象設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征根分布在指定位置的控制器設(shè)計(jì)方法。在用狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)中，應(yīng)用狀態(tài)反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)的特征根，以矩陣(A+BK)的特征值給出。則施加在小車水平方向上的控制力

應(yīng)用Matlab中的Simulink設(shè)計(jì)用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)仿真模型，如圖1所示［4］。

圖1 極點(diǎn)配置模型

上述狀態(tài)反饋可使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有狀態(tài)變量都可以穩(wěn)定在零狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外界干擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置導(dǎo)軌中心，依靠該狀態(tài)反饋控制也可使擺桿垂直豎立，并使小車保持在基準(zhǔn)位置。相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度則要依賴于指定的特征根的位置。

輸出結(jié)果如圖2所示，在設(shè)置仿真時(shí)間為10 s的情況下，θ和x的仿真圖形。

圖2 仿真輸出結(jié)果

由此可知，極點(diǎn)配置控制方法可實(shí)現(xiàn)擺桿的倒立平衡控制。從本文的研究結(jié)果還可看出，倒立擺系統(tǒng)是研究控制理論的一個(gè)理想實(shí)驗(yàn)裝置。

2.2 LQR控制器設(shè)計(jì)及仿真分析

根據(jù)LQR的原理，針對(duì)狀態(tài)空間方程X=Ax+Bu通過(guò)確定最佳控制量u=－KX(t)中的反饋增益矩陣K使得控制性能指標(biāo)達(dá)到極小。

故對(duì)于LQR控制，最重要的是首先確定Q、R矩陣，選取時(shí)應(yīng)考慮:(1)由于是線性化后的模型，應(yīng)使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)。(2)閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，有利于克服系統(tǒng)的摩擦非線性，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)過(guò)大，以免系統(tǒng)的頻帶過(guò)寬，系統(tǒng)對(duì)噪聲過(guò)于敏感。(3)加權(quán)矩陣R的減小，會(huì)導(dǎo)致大的控制量，應(yīng)注意控制u(＜10)的大小，要超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。

選用Q和R為對(duì)角線矩陣，將R值固定，然后改變Q的數(shù)值，最優(yōu)控制的確定通常在經(jīng)過(guò)仿真或?qū)嶋H比較后得到的。當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí)，R為一個(gè)標(biāo)量(通常選R=1)［6］。倒立擺系統(tǒng)的LQR控制框圖與極點(diǎn)配置法一致，兩者不同在于狀態(tài)反饋矩陣的求取方法。

如圖3為Matlab Simulink下LQR控制方法下的仿真模型。

圖3 直線一級(jí)倒立擺LQR控制仿真模型

當(dāng)Q(t)陣中某一元素的權(quán)值增大時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的x(t)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程好轉(zhuǎn)，ts，td顯著下降，系統(tǒng)快速性得到明顯提高;同時(shí)，也引進(jìn)了一些振蕩，而控制量的幅值會(huì)相應(yīng)增大。這表明要求輸入能量增大，即提高動(dòng)態(tài)性能必須以較大的能量消耗為代價(jià)，圖4為系統(tǒng)階躍響應(yīng)。

圖4 仿真輸出結(jié)果

對(duì)眾多系統(tǒng)，LQR控制方法能夠使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，提高系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或者使不穩(wěn)定系統(tǒng)得以鎮(zhèn)定。最優(yōu)控制系統(tǒng)中Q和R的選擇是相互制約、相互影響的，若要求控制狀態(tài)的誤差平方積分減少，必然會(huì)導(dǎo)致增大能量的消耗;反之，為節(jié)省控制能量，就必須犧牲對(duì)控制性能的要求。

3 基于Sugeno模糊建模及控制器設(shè)計(jì)

3.1 T－S模糊模型

T－S模糊系統(tǒng)是連續(xù)性的倒立擺系統(tǒng)模糊狀態(tài)方程模型為RiP;若 x1(t)為 M1jand…and xn(t)是Mjn;則

將整個(gè)n維空間分為1個(gè)模糊子空間集合Mi，對(duì)每個(gè)模糊子空間系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性是這些局部線性模型的加權(quán)和。T－S模糊模型將一個(gè)整體非線性的動(dòng)力學(xué)模型分解為多個(gè)局部。線性模型的模糊逼近，則整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表達(dá)形式為

T－S模糊動(dòng)態(tài)模型的意義局部地表達(dá)了非線性系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。從上述系統(tǒng)描述可以看出，整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程形式上近似線性模型，但其系數(shù)矩陣 Ai，Bi，Ci，Di均為狀態(tài)函數(shù)，因而實(shí)質(zhì)上描述的是非線性模型。

3.2 控制器的設(shè)計(jì)

(1)輸入和輸出變量的確定。以狀態(tài)變量(x，x，Ψ，Ψ)為模糊控制器輸入量，作用力F輸出量。確定小車的位移x的論域［－3，3］，劃為3個(gè)變量“far”，“middle”，“near”，速度的論域［－10，10］，劃分為 3 個(gè)變量 fast，middle，slow。擺角的論域［－0.3，0.3］，將其劃分為3個(gè)語(yǔ)言變量 big，middle，small，擺角速度的論域［－1，1］，劃分為“fast”，“middle”，“slow ”，輸出論域［0，1］。

(2)模糊規(guī)則庫(kù)。Sugeno模糊推理器的輸入變量為狀態(tài)變量，每個(gè)變量均采用3個(gè)隸屬度函數(shù)進(jìn)行描述，共有34條。

(3)模糊控制輸出。采用Sugeno型模糊推理的優(yōu)點(diǎn)在于其輸出的精確量，因此采用線性隸屬度函數(shù)作為輸出，針對(duì)“Big”，“Middle”，“Small”3種情況的隸屬度參數(shù)分別為［26，19，－74，－14，0.1］，［28，21，－75，－15，0.1］，［30，24，－76，－18，0.2］。

3.3 仿真及系統(tǒng)分析

采用Matlab軟件中的模糊推理系統(tǒng)(Fuzzy Interference System，F(xiàn)IS)來(lái)設(shè)計(jì)前述各模糊推理［7］。給定初始值，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，只有位移誤差較小，但系統(tǒng)可穩(wěn)定運(yùn)行，其他3個(gè)量均已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)存在擺角時(shí)，小車發(fā)生位移，以保證擺桿的穩(wěn)定，小車運(yùn)行在一定的誤差范圍內(nèi)。

當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)均為0時(shí)，各個(gè)變量的狀態(tài)均保持0不變，即各個(gè)變量仿真圖的幅度值始終保持0不變，當(dāng)給與初始狀態(tài)權(quán)重不為0時(shí)，假定初始狀態(tài)權(quán)為(0.2，0)時(shí)，得出的擺角和角加速度的仿真曲線如圖5所示。

圖5 初始狀態(tài)為(0.2，0)時(shí)的擺角和角速度

由上述仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)約在t=0.8 s便達(dá)到了穩(wěn)定。相對(duì)于傳統(tǒng)LQR控制器，Sugeno模型模糊控制器具有超調(diào)量小、穩(wěn)定性好和快速等優(yōu)點(diǎn)。系統(tǒng)分析:(1)上升時(shí)間tr模糊控制作用下，系統(tǒng)上升時(shí)間＜1 s，LQR上升時(shí)間＞1 s。(2)峰值時(shí)間tp模糊控制作用下，系統(tǒng)峰值時(shí)間在1 s內(nèi)，LQR峰值時(shí)間明顯長(zhǎng)于1 s。(3)超調(diào)量模糊控制作用下，系統(tǒng)超調(diào)量都在1/1 000之內(nèi)，LQR超調(diào)量在1/100之內(nèi)。模糊控制的系統(tǒng)穩(wěn)定性明顯高。(4)調(diào)整時(shí)間ts模糊控制作用下，系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間在3 s內(nèi)，LQR調(diào)整時(shí)間＞3 s，在4 s內(nèi)，模糊控制使系統(tǒng)快速性和平穩(wěn)性變好。

從仿真結(jié)果可知，倒立擺系統(tǒng)采用模糊控制后，其快速性和平穩(wěn)性都較采用LQR控制時(shí)有所改善。這正是Sugeno模糊模型控制器通過(guò)在線調(diào)整控制參數(shù)，引入了類人的控制思想，使系統(tǒng)具有智能性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先用牛頓力學(xué)方法建立了直線一級(jí)倒立擺，為進(jìn)一步了解倒立擺系統(tǒng)的特性，給出了李雅普諾夫穩(wěn)定性定理和判據(jù)，并基于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，用Matlab軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析。通過(guò)分析可知，倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器使得系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)。

采用極點(diǎn)配置法、LQR設(shè)計(jì)了控制器，能很好地穩(wěn)定倒立擺。討論分析了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制的影響。針對(duì)倒立擺的非線性，設(shè)計(jì)了控制器，仿真分析說(shuō)明達(dá)到了預(yù)期的控制效果。研究了倒立擺的起擺控制，但成功率較低，對(duì)能量函數(shù)或模糊控制規(guī)則的選取還需要進(jìn)一步優(yōu)化。

［1］趙世敏，楊飚.倒立擺控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)探討［J］.實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2005(10):113－115.

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