(欽州學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，廣西 欽州535000)

0 引言

近年來(lái)，隨著全球人口日益增長(zhǎng)，陸地有限的可再生資源已難以滿(mǎn)足人類(lèi)社會(huì)發(fā)展的需要，人類(lèi)開(kāi)始把目光投向海洋，有學(xué)者說(shuō)21世紀(jì)是人類(lèi)開(kāi)發(fā)的海洋世紀(jì)，從中可以看出從海洋中獲取資源是多么重要.尤其是漁業(yè)的捕撈顯得尤為重要.盡管漁業(yè)生產(chǎn)是可再生的，但是如果過(guò)度捕撈，魚(yú)類(lèi)最終也會(huì)走向滅亡，嚴(yán)重影響人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展.所以漁業(yè)生產(chǎn)必須要適度，決不能“竭澤而漁”.因此，如何對(duì)漁業(yè)進(jìn)行開(kāi)發(fā)和捕撈，在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的前提下，如何對(duì)可再生生物資源進(jìn)行管理，實(shí)現(xiàn)人與自然環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展就成為擺在我們面前的課題.

建立數(shù)學(xué)模型研究漁業(yè)生產(chǎn)已經(jīng)引起了一些學(xué)者的興趣［1－5］，漁業(yè)生產(chǎn)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，尤其是魚(yú)類(lèi)的捕獲系統(tǒng)，C W Clark 對(duì)魚(yú)類(lèi)捕獲模型研究進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)［6］.文［7］作者對(duì)一類(lèi)自治單種群模型及其最優(yōu)捕獲策略模型進(jìn)行研究，得到了一定條件下單種群的最優(yōu)捕獲模型，從中可以看出作者對(duì)漁業(yè)生產(chǎn)數(shù)學(xué)模型的研究并沒(méi)有考慮時(shí)滯的影響，而這方面研究的學(xué)者不多.直到最近幾年，學(xué)者李晶晶從漁業(yè)資源信息的動(dòng)力學(xué)探討了含有時(shí)滯捕撈模型的穩(wěn)定性［8］.目前，對(duì)漁業(yè)生產(chǎn)的時(shí)滯模型的研究?jī)?nèi)容不多，所以本文將研究具有時(shí)滯的捕獲模型.

受文［9］啟發(fā)，考慮了如下無(wú)窮時(shí)滯單種群Logistic 模型

其中:x(t)是t 時(shí)刻的該魚(yú)類(lèi)生物種群的密度，a，b，c，d，E 是正常數(shù);a 為內(nèi)凜增長(zhǎng)率;E 表示捕撈或收獲量;積分核k 連續(xù)且滿(mǎn)足，并且.根據(jù)生物的實(shí)際意義，考慮系統(tǒng)(0－1)的解都在［0，+∞］上存在且是非負(fù)的.由于直接分析系統(tǒng)(0－1)具有的性態(tài)比較困難，因此，考慮對(duì)此模型進(jìn)行鏈變換，令，則系統(tǒng)(0－1)可化為下面的等價(jià)方程組:

通過(guò)變換，模型(0－2)和模型(0－1)具有等價(jià)性，b，c 表示密度制約系數(shù)，由于滯后滿(mǎn)足正態(tài)分布，因此d表正態(tài)分布的參數(shù)，y(t)表示t 時(shí)刻該魚(yú)類(lèi)種群密度的滯后效應(yīng)，本文將研究模型(0－2)具有性質(zhì)，從而知道模型(0－1)具有的性質(zhì).考慮到實(shí)際的生物意義，本文將在R+2={(x(t)，y(t))|x(t)＞0，y(t)＞0}內(nèi)研究.

1 平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))存在性及它的穩(wěn)定性

1.1 平衡點(diǎn)存在性

對(duì)于系統(tǒng)(0－2)，令

由(1－1)得方程(bd2+cd)y2－ady+E=0，又令Δ=a2d2－4E(bd2+dc)，易知

當(dāng)E=0 時(shí)，實(shí)際中沒(méi)有捕撈，所以對(duì)該情形不予考慮.

1.2 平衡點(diǎn)的性質(zhì)以及它的穩(wěn)定性

(I)對(duì)于平衡點(diǎn)A1，令有下面定理.

定理1.2.1 (1)當(dāng)k≠d 時(shí)，系統(tǒng)正平衡點(diǎn)A1是一個(gè)鞍點(diǎn);(2)當(dāng)k=d 時(shí)，系統(tǒng)正平衡點(diǎn)A1是一個(gè)中心.

(2)當(dāng)k=d 時(shí)，特征方程有一對(duì)純實(shí)根，平衡點(diǎn)A1是中心，其外圍被一團(tuán)軌線所圍繞，不同的軌線對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(0－2)的不同周期解.說(shuō)明該魚(yú)類(lèi)種群的規(guī)模受其它種群或環(huán)境的影響，周而復(fù)始的循環(huán)，不會(huì)發(fā)生絕滅，也不會(huì)無(wú)限的增長(zhǎng)，處于動(dòng)態(tài)的平衡.

定理1.2.2 (1)若k2＞d＞0 時(shí)，正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn);(2)若0＜k2＜d 時(shí)，正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

當(dāng)k2＞0 時(shí)，討論:

定理1.2.3 (1)若0＜k2＜d，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn);(2)若k2＞d＞0，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)不穩(wěn)定的焦點(diǎn).

證明 由定理1.2.2 過(guò)程知，λ1，2=下面討論.

(1)當(dāng)0＜k2＜d，則特征根λ1，2是實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，說(shuō)明是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)，如果適度控制捕撈，那么它趨于平衡點(diǎn)，周期性發(fā)生變化.

定理1.2.4 (1)若0＜k2＜d，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn);(2)若k2＞d＞0，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)不穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn).

類(lèi)似上面的證明過(guò)程，可得出如下一些定理.

定理1.2.5 當(dāng)k2＜0 時(shí)，(1)若時(shí)，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)結(jié)點(diǎn);(2)若k1＞時(shí)，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn);(3)若時(shí)，則正平衡點(diǎn)aA2是一個(gè)穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn).

定理1.2.6 當(dāng)k2=0 時(shí)，(1)若時(shí)，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)結(jié)點(diǎn);(2)若時(shí)，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn);(3)若k1=時(shí)，則正平衡點(diǎn)是一個(gè)臨界的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

定理1.2.7 當(dāng)k2=d 時(shí)，則正平衡點(diǎn)A2是一個(gè)中心.

在建筑結(jié)構(gòu)之中包含了很多與水相關(guān)的結(jié)構(gòu)，如衛(wèi)生間、廚房等等。在這些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上，防水工作的開(kāi)展屬于重中之重，應(yīng)做好施工技術(shù)選擇工作。在整個(gè)建筑工程施工之中，應(yīng)采用恰當(dāng)?shù)氖┕ぜ夹g(shù)，來(lái)維護(hù)建筑結(jié)構(gòu)的防水性。因此，工作人員需要提前做好實(shí)際情況調(diào)查工作，將相關(guān)技術(shù)和防水建材工作結(jié)合到一起，避免在后續(xù)建筑使用時(shí)出現(xiàn)漏水問(wèn)題。在防水建材選用上也要提高重視程度，可以通過(guò)取樣分析來(lái)驗(yàn)證建材質(zhì)量，最終避免整個(gè)建筑工程質(zhì)量受到影響。

證明 對(duì)系統(tǒng)(0－2)在該平衡點(diǎn) A3處的線性近似方程的特征根方程為 f (λ)==0，整理得由此可知平衡點(diǎn)A3為該系統(tǒng)的高階奇點(diǎn).

1.3 系統(tǒng)不存在極限環(huán)

由Dulac 判別法知道系統(tǒng)(0－2)在R+2={(x(t)，y(t))|x(t)＞0，y(t)＞0}上不存在極限環(huán).1.4 平衡點(diǎn)的全局分析

我們沿著系統(tǒng)(0－2)求導(dǎo)，得出

2 對(duì)該數(shù)學(xué)模型收獲量的分析

在實(shí)際捕撈中，我們通常以最大捕撈量為可持續(xù)均衡收獲為管理目標(biāo)，設(shè)均衡收獲函數(shù)為F(E)，F(xiàn)(E)=xiE，實(shí)際上就是求函數(shù)F(E)的極值.時(shí)，對(duì)于正平衡點(diǎn)A2，滿(mǎn)足定理1.2.1(2)，1.2.2(2)，1.2.3(1)，1.2.4(1)，1.2.5(1)，1.2.5(2)，1.2.5(3)，1.2.6(1)，1.2.6(2)，1.2.6(3)，1.2.7 的其中之一條件時(shí)，A2要么是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，要么是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，要么是中心.此時(shí)

3 結(jié)語(yǔ)

考慮了無(wú)窮時(shí)滯單種群Logistic 模型，得出了一定條件下存在正平衡點(diǎn)，分析了在存在正平衡點(diǎn)的情況下，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，解釋了在平衡點(diǎn)附近，該種群如果受環(huán)境變化或是人類(lèi)捕撈活動(dòng)的干擾，該魚(yú)類(lèi)種群會(huì)發(fā)生何種變化，這對(duì)人們了解種群的性態(tài)，持續(xù)進(jìn)行捕撈有著實(shí)際的指導(dǎo)意義.

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