一階常系數(shù)非奇次線性微分方程的通解

鄧雪1，趙俊峰2，張雄鋒3

(1.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640；2.廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程系，

廣東 廣州 510510；3.華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院，廣東 廣州 510640)

摘要：通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，利用待定系數(shù)法，對(duì)于一階常系數(shù)非奇次線性微分方程y′+py=Q(x)，給出了Q(x)的不同情況的特解的具體表達(dá)式，以及帶有不同表達(dá)形式的特解的通解公式.

關(guān)鍵詞：通解；特解；線性微分方程；待定系數(shù)法

文章編號(hào)：1007-2985(2015)05-0013-03

收稿日期：2015-04-07

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)規(guī)劃

作者簡(jiǎn)介：鄧雪(1974—)，女，遼寧沈陽(yáng)人，華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要從事高等數(shù)學(xué)研究.

中圖分類號(hào)：O172文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.003

1　問(wèn)題的提出

2　主要結(jié)果

定理1對(duì)于一階常系數(shù)非奇次線性微分方程y′+py=Q(x)，其中p為常數(shù)，Q(x)已知，根據(jù)Q(x)的不同情況，對(duì)應(yīng)特解的具體表達(dá)式為：

(1)

證明針對(duì)一階常系數(shù)非奇次線性微分方程

y′+py=Q(x)，

(2)

用待定系數(shù)法求其對(duì)應(yīng)的非齊次的特解.現(xiàn)考慮3種情況：

(3)

則

(4)

將(3)，(4)式代入(2)式中，有

mb0xm-1+ (m-1)b1xm-2+…+2bm-2x+bm-1+pb0xm+pb1xm-1+…+

pbm-2x2+pbm-1x+pbm=a0xm+a1xm-1+…+

am-2x2+am-1x+am.

(5)

比較(5)式兩端同類項(xiàng)的系數(shù)得

(6)

(7)

(8)

aAcosax-aBsinax+pAsinax+pBcosax=λsinax+γcosax，

進(jìn)而得

(9)

綜上所述，由(7)，(8)，(9)式，推導(dǎo)出(1)式.證畢.

3　應(yīng)用

例1求方程3y′+2y=6x的通解.

3b0+2b0x+2b1=6x.

(10)

比較(10)式兩端同類項(xiàng)的系數(shù)得

例2求方程y′+2y=5e2x的通解.

2Ae2x+2Ae2x=5e2x.

(11)

例3求方程y′+y=sinx的通解.

(Acosx-Bsinx)+(Asinx+Bcosx)=sinx，

整理得

(A-B)sinx+(A+B)cosx=sinx.

(12)

比較(12)式兩端同類項(xiàng)的系數(shù)得

4　結(jié)語(yǔ)

針對(duì)Q(x)的不同情況，利用待定系數(shù)法推導(dǎo)出一階常系數(shù)非奇次線性微分方程y′+py=Q(x)的通解的具體表達(dá)式.同時(shí)，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證這一結(jié)果是有效的.在實(shí)際教學(xué)中，這一結(jié)論為講授“一階常系數(shù)非奇次線性微分方程”的教師和學(xué)習(xí)該課程的學(xué)生擴(kuò)展了思路，同時(shí)在求解過(guò)程中省去了繁瑣的計(jì)算.

參考文獻(xiàn)：

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[5] 黃慶懷.2012考研高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)教材[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

General Solutions of One Order Constant Coefficient

Non-Homogeneous Linear Differential Equation

DENG Xue1,ZHAO Junfeng2,ZHANG Xiongfeng3

(1.School of Mathematics,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China;2.Department of Mechanical

Engineering,Guangdong College of Industry and Commerce,Guangzhou 510510,China;3.School of Physics and

Photoelectricity,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)

Abstract:For one order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation y′+py=Q(x),the concrete expression of special solution with different situations of Q(x) is given through the undetermined coefficient method.The general solution formula with special solution of different expression is presented as well.

Key words:general solution;special solution;linear differential equation;undetermined coefficient method

(責(zé)任編輯向陽(yáng)潔)