測地曲率計算公式的推導方法

邢家省1，白璐1，羅秀華2

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室,

北京 100191;2.平頂山教育學院，河南 平頂山 467000)

摘要：考慮曲面上曲線測地曲率計算公式的推導問題，運用向量的外積運算，給出了直接推導的計算公式；在曲面正交曲線坐標網(wǎng)下，給出測地曲率計算公式的2種來源過程，并由此得出Liouville公式的推導方法.

關鍵詞：測地曲率;正交曲線；坐標網(wǎng)；Liouville公式

文章編號：1007-2985(2015)05-0007-06

收稿日期：2015-05-13

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11201020)；北京航空航天大學校級重大教改項目(201401)

作者簡介：邢家省(1964—),男,河南泌陽人,北京航空航天大學副教授，博士,主要從事偏微分方程和微分幾何研究.

中圖分類號：O186.1文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.002

關于曲面上曲線測地曲率的計算公式，文獻[1]中采用的是利用曲面論基本方程給出的推導過程，需要準備的知識較多，證明過程相當繁雜；文獻[2-6]中在曲面正交曲線坐標網(wǎng)下，給出測地曲率計算的Liouville公式[1-7]的直接證明.筆者運用向量的外積運算法則，就可以直接給出測地曲率的計算公式.在正交曲線坐標網(wǎng)下，給出了推導測地曲率的簡化公式的2種過程，并指出Liouville 公式的2種來源，利用直接方法給出測地線方程的最終形式.

1　曲面上曲線測地曲率的定義

設曲面Σ的參數(shù)方程為Σ:r=r(u,v),(u,v)∈Δ.若r(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且ru×rv≠0，稱則曲面Σ為C2類的正則曲面.現(xiàn)在任固定曲面Σ上一點P(u,v)，并設TP為曲面Σ在P點的切平面.

曲線Γ：r=r(u(s),v(s))是Σ上過P點的一曲線，其中s是曲線的自然參數(shù).設n為曲面Σ在P點的單位法向量，以α表示曲線Γ上P點處的單位切向量，以β表示曲線Γ上P點處的主法向量，γ是副法向量.

定義1 [1-9]曲面Σ上，曲線Γ在P點的單位切向量的導向量α′(s)在切平面TP上的投影向量為τP=α′(s)-(α′(s)·n)n，稱為曲線Γ在P點的測地曲率向量.

稱Dα=dα-(dα·n)n為切向量場α(s)沿曲線Γ的絕對微分.由α′(s)=r″(s)，故有τP=r″(s)-(r″(s)·n)n .顯然 α′(s)-(α′(s)·n)n與n,α都垂直.命 ε=n×α，則α,ε,n是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成一右手系，α′(s)-(α′(s)·n)n平行于ε.α′(s)在切平面TP上的投影向量也就是α′(s)在ε上的投影向量.

定義2 [1-9]曲面Σ上，曲線Γ的切向量的導向量α′(s)在ε上的投影向量為τP=(α′(s)·ε)ε，稱為曲線Γ在P點的測地曲率向量.

顯然有τP=α′(s)-(α′(s)·n)n，τP=(α′(s)·ε)ε，τP=(r″(s)·ε)ε .

定義3 [1-9]將r″(s)·ε稱為曲線Γ在P點的測地曲率，記作kg，kg=r″(s)·ε .

顯然kg=(r′(s),r″(s),n(s)) ，kgε=r″(s)-(r″(s)·n)n.

2　曲面上曲線測地曲率的一般計算公式的直接推導方法

設Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數(shù)方程為u1=u1(s),u2=u2(s),或r=r(u1(s),u2(s))=r(s)，這里s是該曲線的自然參數(shù).

(rk×rij)·(r1×r2)=(rk·r1)(rij·r2)-(rk·r2)(rij·r1)=gk1(rij·r2)-gk2(rij·r1).

代入測地曲率的計算公式，得

(1)

(1)式是測地曲率的一般計算公式，方便于直接使用.

這里僅用向量外積運算法就給出了測地曲率的一般計算公式，與利用曲面論的基本方程式[1-4]推導出測地曲率的計算公式是一致的.

3　正交坐標曲線網(wǎng)下測地曲率的計算公式

當曲面r=r(u1,u2)上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時，有 r1·r2=0，gij=ri·rj,g12=g21=0，g=g11g22.注意到

代入測地曲率的一般計算公式(1)中，整理后得

對于曲面r=r(u,v)上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時，有E=g11,G=g22,F=g12=0，u=u1,v=u2.從而有如下結(jié)論成立：

定理1 [1,7-8]設曲面Σ:r=r(u,v)上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng)，Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數(shù)方程為u=u(s),v=v(s),或r=r(u(s),v(s))=r(s)，這里s是該曲線的自然參數(shù)，則曲線Γ的測地曲率為

(2)

4　正交坐標曲線網(wǎng)下測地曲率的推導過程

定理2 [1,7-8]設曲面Σ:r=r(u,v)上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng)，Γ是曲面Σ上的一條曲線，其方程為r=r(u(s),v(s))，這里s是該曲線的自然參數(shù)，則曲線Γ測地曲率為

(3)

對r=r(s)=r(u(s),v(s))直接求導，得

(4)

(5)

將(4)，(5)式代入測地曲率的計算公式，得到

(6)

利用ru·ru=E，ru·rv=0，rv·rv=G，可得

(7)

將(7)式各項代入(6)式中，得

這正是(3)式的結(jié)果[8].

5　正交坐標曲線網(wǎng)下測地曲率的Liouville公式

設曲面r=r(u,v)上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng). 令曲面上曲線r=r(s)=r(u(s),v(s))的切方向與ru的夾角為θ，則有

(8)

又

(9)

比較(8)，(9)式，得

(10)

所以有

(11)

(12)

將(10)至(12)式代入(2)式，或者(3)式中，整理后得

(13)

(13)式稱為劉維爾(Liouville )公式[1,7]，可用于計算測地曲率和求解曲面上的測地線方程[1-6]，推導高斯-波涅公式[2-6]也用到(13)式.在文獻[2-6]中，給出了另一種推導方法.

例1 [1,10]如果在曲面上引進半測地坐標網(wǎng)ds2=du2+G(u,v)dv2，求證：

證明由題設，E= 1，F(xiàn)= 0，G=G(u;v)，代入Liouville公式，得

所以，

6　測地線的方程的最終顯式表示形式

對曲面Σ:r=r(u,v)，設Γ:r=r(s)=r(u(s),v(s))是曲面Σ上的測地線，s是曲線的自然參數(shù).

曲線Γ:r=r(s)=r(u(s),v(s))是測地線的充分必要條件為[8-9]r″(s)·ru=0,r″(s)·rv=0 .

由于

(14)

將(14)式分別與ru,rv作內(nèi)積，得

于是有

(15)

通常將(15)式改寫為如下的等價形式：

(16)

(16)式就是一般參數(shù)曲面上的測地線的方程，這里給出了直接的推導過程.利用(16)式可證明測地線的存在唯一性定理，求解曲面上的測地線方程及理論推導.

特別地，當曲面r=r(u,v)上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時，有ru·rv=F=0，此時曲面上的曲線為測地線的充分必要條件為[8]

(17)

(17)式可用于求解正交網(wǎng)下曲面上測地線的方程[8].

參考文獻：

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84；146-149.

[2]蘇步青，胡和生，沈純理,等.微分幾何[M].北京：人民教育出版社，1980：197-203.

[3]陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學出版社,2006：139-143；229-241.

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[6]陳維桓.微分幾何例題詳解和習題匯編[M].北京：高等教育出版社出版,2010：171-219.

[7]邢家省,張光照.曲面上曲線的測地曲率向量的注記[J].吉首大學學報：自然科學版，2013，34(4)：7-10.

[8]JOHNOPREA.DifferentialGeometryandItsApplications[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005：223-242.

[9]邢家省，高建全，羅秀華.曲面上測地線和短程線的性質(zhì)[J].四川理工學院學報：自然科學版，2015,28(1)：63-66.

[10]梅向明，王匯淳.微分幾何學習指導與習題選解[M].北京：高等教育出版社,2004：189-190.

Derivation of Calculation Formula of Geodesic Curvature

XING Jiasheng1，BAI Lu1，LUO Xiuhua2

(1.Department of Mathematics,LMIB of the Ministry of Education,Beihang University,Beijing 100191，China;

2.Pingdingshan Institute of Education,Pingdingshan 467000,Henan China )

Abstract:The derivation of the calculation formula of geodesic curvature on curved surface is discussed in this paper.The directly derived calculation formula is obtained by means of vector outer product.Two derivation processes of the calculation formula of geodesic curvature and the derivation of the Liouville formula are demonstrated in the coordinate grid of the orthogonal curve.

Key words:geodesic curvature;orthogonal curve;coordinate grid；Liouville formula

(責任編輯向陽潔)