基于Schur引理證明方法的矩陣酉三角化

鮮思東，薛文婷，盧崇霞，羅海燕

(重慶郵電大學(xué)理學(xué)院，重慶 400065)

摘要：在Schur引理3種證明方法的基礎(chǔ)上，給出了矩陣酉三角化的3種方法.

關(guān)鍵詞：Schur引理；酉矩陣；三角化

文章編號：1007-2985(2015)05-0001-06

收稿日期：2014-12-20

基金項目：重慶市研究生教育教學(xué)改革項目(YJG143010，YJG133006，YJG142009，YJG152016，1202033)；重慶郵電大學(xué)校級教學(xué)研究項目(XJG1328)

作者簡介：鮮思東(1971—)，男，四川南部人，重慶郵電大學(xué)理學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事統(tǒng)計分析建模與不確定優(yōu)化決策等研究.

中圖分類號：O151.21文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.001

1　預(yù)備知識

定義1 [1-3]設(shè)A,B∈Cn×n(或Rn×n)，若存在U∈Un×n(或En×n)，使得UHAU=U-1AU=B(或UTAU=U-1AU=B)，則稱A酉相似(或正交相似)于B.

引理1 [3]n階λ-矩陣A(λ)與B(λ)等價的充要條件是它們的秩相等和有相同的初等因子.

引理2 [3]設(shè)A,B是2個n階數(shù)字矩陣，則A～B的充要條件是(λE-A)?(λE-B).

引理3 [3-4]設(shè)A∈Cn×n，A的初等因子為(λ-λ1)n1,(λ-λ2)n2,…,(λ-λs)ns，則A～J.其中，

引理4上(下)三角可逆矩陣的逆矩陣也是上(下)三角矩陣.

引理52個上(下)三角矩陣的乘積還是上(下)三角矩陣.

2　Schur引理的3種證明方法

下面，先給出Schur引理，再給出3種證明方法：數(shù)學(xué)歸納法、特征向量法和若當(dāng)矩陣法.

定理1 [3] (Schur引理)任何一個n階復(fù)矩陣A酉相似于一個上(下)三角矩陣.

證明方法1(數(shù)學(xué)歸納法)[3]當(dāng)n=1時，定理1顯然成立.

令U1=(α1,α2,…,αk)，則顯然U1是一酉矩陣，且

方法2(特征向量法)設(shè)A的特征值為λi，特征子空間Vλi的基為αi1,αi2,…,αisi，i=1,2,…,r.

令P1=(α11,α12,…,α1s1,…,αr1,αr2,…,αrsr),則

①當(dāng)A的這n個線性無關(guān)的特征向量是Cn的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，即P1∈Un×n時，定理1成立；

②當(dāng)A的這n個線性無關(guān)的特征向量不是Cn的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，即P1?Un×n時，應(yīng)用Schmidt正交化方法將得到Cn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基β1,β2,…,βn，并且α11,α12,…,α1s1,…,αr1,αr2,…,αrsr與β1,β2,…,βn滿足

(β1,β2,…,βn)=(α11,α12,…,α1s1,…,αr1,αr2,…,αrsr)Q，

其中Q是以上三角可逆矩陣.

AP1= (Aα11,Aα12,…,Aα1s1,…,Aαr1,Aαr2,…,Aαrsr,Aαm+1,…,Aαn)=

(λ1α11,λ1α12,…,λ1α1s1,…,λrαr1,λrαr2,…,λrαrsr,Aαm+1,…,Aαn).

其中

所以

(1)當(dāng)α1,α2,…,αn是Cn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基時，由于Jordan矩陣J已經(jīng)是上三交矩陣了，因此定理1得證.

(2)當(dāng)α1,α2,…,αn不是Cn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基時，應(yīng)用Schmidt正交化方法將得到Cn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基β1,β2,…,βn，并且α1,α2,…,αn與β1,β2,…,βn滿足(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Q，其中Q是以上三角可逆矩陣.

令U=(β1,β2,…,βn)，則U=PQ，故UHAU=U-1AU=Q-1P-1APQ=Q-1JQ=B.由引理4和引理5知，B是一上三角矩陣.

3　基于Schur引理的矩陣酉三角化

在用上述3種方法證明Schur引理的過程中，其實也給出了尋找酉矩陣U的過程.下面，通過一個例子詳細(xì)介紹運用3種方法將矩陣三角化的過程.

解方法1(數(shù)學(xué)歸納法)

于是，得其特征值為λ1=λ2=λ3=-1.

令

方法2(特征向量法)

方法3(若當(dāng)矩陣法)

當(dāng)λ=-1時，

計算結(jié)果為ν0=0,ν1=2,ν2=3,m0=2.

基于此，A的屬于(σ=3)重特征值λ的有廣義特征向量組分塊如表1所示.

表1　矩陣A的屬于(σ=3)重特征值λ的廣義特征向量分塊

因此

通過例1可以看出，3種方法均能求出將矩陣A上三角化的酉矩陣U，但存在一些區(qū)別和聯(lián)系.具體為：

(1)通過不同的方法找到的酉矩陣U有可能不相同，并且上三角矩陣也可能不相同；

(2)通過相同的方法找到的酉矩陣U也可能不相同，得到的上三角矩陣也會不相同.

不論利用哪種方法找到的酉矩陣U，使得UHAU是上三角矩陣，這些上三角矩陣對角線上的元素是相同的，都是A的特征值，并且λi(i=1,2,…,r)的個數(shù)為它的代數(shù)重數(shù).

參考文獻(xiàn):

[1]王炎生，陳宗基.基于系統(tǒng)矩陣實Schur分解的集結(jié)法模型降階[J].自動化學(xué)報，1996,22(5):560-597.

[2]TSIT-YUENLAM.AFirstCourseinNoncommutativeRings[M].Berlin：NewYork:Springer-Verlag，2001.

[3]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].第3版.北京：北京理工大學(xué)出版社，2010.

[4]袁暉坪,陳尚杰.酉對稱矩陣的Schur分解[J].西南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012(10):12-15.

Unitary Triangularization for Matrix Based on Schur Lemma

XIAN Sidong,XUE Wenting,LU Chongxia,LUO Haiyan

(School of Mathematics and Physics，Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

Abstract:This paper gives the three methods of the unitary triangularization matrix based on the three proving methods of Schur lemma.

Key words:Schur lemma;unitary matrix;triangularization

(責(zé)任編輯向陽潔)