唐正明，章三妹，馮正勇

(1.西華師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，四川 南充 637009)

用有限差分法分析電介質(zhì)靜電場(chǎng)特性

唐正明1，章三妹2，馮正勇1

(1.西華師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，四川 南充 637009)

電介質(zhì)內(nèi)的電位分布、電場(chǎng)分布和極化等特性相對(duì)常規(guī)靜電場(chǎng)問題難于理解.在介紹有限差分法求電位分布原理的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了介質(zhì)中拉普拉斯方程的有限差分形式；通過巧妙設(shè)計(jì)非均勻介質(zhì)區(qū)域并運(yùn)用Matlab求解，分析了電介質(zhì)的靜電場(chǎng)特性.理論分析與仿真計(jì)算結(jié)果符合較好.

有限差分法；介質(zhì)極化；靜電場(chǎng)；Matlab

常用的計(jì)算電磁場(chǎng)問題的方法主要有兩大類:第一類是解析法；第二類是數(shù)值法.伴隨工程問題復(fù)雜度的提升及計(jì)算機(jī)處理能力的顯著提高，數(shù)值法應(yīng)用日趨廣泛.二維靜態(tài)電磁場(chǎng)的邊值問題是求解電磁場(chǎng)的基礎(chǔ)，有較為經(jīng)典的解析法[1].然而，就其數(shù)值法求解來說，一方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)所介紹的多為典型的“電解槽”類問題，且常局限于單一媒質(zhì)[2-4]，這對(duì)理解電介質(zhì)的靜電場(chǎng)特性，尤其是電介質(zhì)的極化特性[5]極為不利；另一方面，實(shí)際媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系具有多樣性[6]，局限于單一媒質(zhì)的基礎(chǔ)研究，已不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需要.由于有限差分法(Finite Difference Method)求解靜電場(chǎng)邊值問題較為有效，同時(shí)，其也是廣泛應(yīng)用于時(shí)諧場(chǎng)分析的時(shí)域有限差分法(Time Domain Finite Difference Method)的基礎(chǔ)[7-10].為實(shí)現(xiàn)對(duì)電介質(zhì)極化問題和有限差分法更為準(zhǔn)確而全面的掌握，本文在傳統(tǒng)有限差分法求電位分布問題的基礎(chǔ)上，將有限差分法運(yùn)用到介質(zhì)極化問題分析中，導(dǎo)出了介質(zhì)中拉普拉斯方程的有限差分法形式，并借此分析了電介質(zhì)的靜電場(chǎng)特性.

1 電介質(zhì)的極化特性

無論是極性還是無極性分子中的束縛電荷，在外電場(chǎng)的作用下均會(huì)產(chǎn)生一定的位移，并形成順著外電場(chǎng)方向規(guī)則排布的電偶極子.大量電偶極子的存在，將在電介質(zhì)內(nèi)形成附加電場(chǎng)，而最終使得電介質(zhì)區(qū)域的總電場(chǎng)

其中，χe為電介質(zhì)的電極化率.將真空中的高斯定律推廣應(yīng)用于電介質(zhì)中，可得

式中，ρf、ρP分別為自由電荷密度和因電介質(zhì)極化而產(chǎn)生的極化電荷體密度

同時(shí)，由(5)知電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，滿足

其中，εr稱為介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)，用于表征電介質(zhì)的極化特性，比電介質(zhì)的電極化率χe更為常用.在同一外電場(chǎng)照射下的兩種不同電介質(zhì)，設(shè)其相對(duì)介電常數(shù)分別為εr1和εr2，由靜電場(chǎng)的法向邊界條件，有

其中，E1n，E2n和E2n'分別為入射電場(chǎng)、介質(zhì)1內(nèi)部和介質(zhì)2內(nèi)部電場(chǎng)的法向分量.由此可見，在所加外電場(chǎng)不變的情況下，相對(duì)介電常數(shù)ε較大的介質(zhì)內(nèi)的總電場(chǎng)E較小.這與前面提及的電介質(zhì)附加電場(chǎng)的“克服作用”相符合.

2 介質(zhì)區(qū)域的有限差分法形式

有限差分法的原理在于，在變量增量充分小的前提下，函數(shù)可進(jìn)行泰勒展開，并忽略掉高階項(xiàng)，進(jìn)而利用差分近似的替代微分運(yùn)算[11-13].例如，可通過泰勒公式得到關(guān)于函數(shù)f(x)微分的中心差分形式

由于Maxwell方程由偏微分方程所描述，而偏微分方程也可以做類似的差分表示.因此，有限差分法可用于靜電場(chǎng)問題分析中.在數(shù)值實(shí)現(xiàn)上，首先將求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，然后將區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布，按照有限差分法理論，用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替.為了描述方便，將區(qū)域采用邊長(zhǎng)為h的正方形網(wǎng)格離散(h即為離散步長(zhǎng))，并將相應(yīng)節(jié)點(diǎn)放大顯示，其中，坐標(biāo)為(i，j)的節(jié)點(diǎn)電位的電位為φi，j，其周圍4個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位分別為φi+1，j、φi，j+1、φi-1，j、φi，j-1，如圖所示1.

圖1 節(jié)點(diǎn)順序圖Fig.1 Diagram of node sequence

顯然，離散步長(zhǎng)h將直接影響到數(shù)值解的精度，這從泰勒展開也可看出.泰勒級(jí)數(shù)的近似條件要求增量充分小(即要求離散步長(zhǎng)h充分小，此為相對(duì)概念，工程上一般標(biāo)準(zhǔn)為，如計(jì)算域沿著某個(gè)方向的長(zhǎng)度為l，則可令).此情況下，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位可表示成以φi，j為基點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)形式，在保證精度的前提下略去高階項(xiàng)，進(jìn)而可得到周圍4點(diǎn)電位與中心點(diǎn)電位的關(guān)系.

由于靜電場(chǎng)中的任何點(diǎn)均滿足泊松方程

聯(lián)立(10)—(13)，得介質(zhì)區(qū)域拉普拉斯方程的有限差分形式

3 電介質(zhì)區(qū)域的靜電特性分析

為驗(yàn)證電介質(zhì)的靜電場(chǎng)特性，設(shè)計(jì)了如下圖所示的非均勻介質(zhì)區(qū)域:無限長(zhǎng)矩形腔，橫截面為3m?2m，其中央有一截面方向1m長(zhǎng)，直流電壓為1V的無限長(zhǎng)平板，由相對(duì)介電常數(shù)為19的介質(zhì)區(qū)域所支撐，腔的其余部分為空氣填充，相對(duì)介電常數(shù)為1，四周為理想接地導(dǎo)體.

圖2 求解區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic diagram of solving region

將計(jì)算區(qū)域劃分為30?20個(gè)單元格，非均勻介質(zhì)中電位的有限差分形式用賽德爾迭代法表示并采用Matlab編程[14-15].為了顯示上的直觀，程序選擇輸出了電位分布三維曲面圖和等位線、電場(chǎng)線分布圖.

圖3 電位、電場(chǎng)分布圖Fig.3 Potential，electric field distribution

從結(jié)果來看，等位線在介電常數(shù)較高的區(qū)域相對(duì)密集，即電位梯度較小，因而該區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)相對(duì)較小.就其根源，是因?yàn)樵诮殡姵?shù)較高的區(qū)域，電介質(zhì)的極化產(chǎn)生的附加電場(chǎng)更大，從而使得該區(qū)域內(nèi)的總場(chǎng)相對(duì)于介電常數(shù)較低的區(qū)域，有所減小.上述結(jié)果與前述相關(guān)基礎(chǔ)理論相吻合.

4 結(jié)論

在對(duì)電介質(zhì)的極化特性和有限差分法做簡(jiǎn)要介紹的基礎(chǔ)上，詳細(xì)分析了介質(zhì)極化強(qiáng)度與區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度間的關(guān)系，并運(yùn)用有限差分方法計(jì)算對(duì)比了不同介電常數(shù)區(qū)域內(nèi)的電位、電場(chǎng)分布.所做分析使得相對(duì)抽象的電介質(zhì)極化特性等理論具體化且易于理解.可將類似的方法拓展到討論含自由電荷的介質(zhì)區(qū)域，進(jìn)一步用數(shù)值方法直觀分析電介質(zhì)極化電荷體密度、面密度，邊界條件等相關(guān)特性.

[1]王禮祥.靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的分離變量法理論研究[J]西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，37(3):360-367.

[2]王潔，陳超波.基于MATLAB的靜態(tài)場(chǎng)邊值問題有限差分法的研究[J]微計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2010，31(3):1-5.

[3]趙德奎，劉勇.MATLAB在有限差分法數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，18(4):61-64.

[4]宋燎原，王平，張海峰等.靜態(tài)電磁場(chǎng)邊值問題計(jì)算方法[J].大學(xué)物理，2007，26(8):23-26.

[5]P勞蘭，D R考森.電磁場(chǎng)與電磁波[M].陳成鈞，譯.北京:人民教育出版社，1979:62-87.

[6]肖峻，肖培.電磁媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，37(5):72-74.

[7]HYUN S Y，KIM S Y.3-D Thin-wire FDTD analysis of coaxial probe fed in asymmetric microwave components[J].Microwave Theory and Techniques，IEEE Transactions on，2011，59(11):2808-2815.

[8]OHTANI T，KANAI Y，COLE J B.A stability improvement technique using PML condition for the three-dimensional nonuniform mesh nonstandard FDTD method[J].Magnetics，IEEE Transactions on，2013，49 (5):1569-1572.

[9]王為，覃宇建，劉培國(guó)，等.基于高階時(shí)域有限差分法與改進(jìn)節(jié)點(diǎn)分析法混合求解復(fù)雜傳輸線網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2012，34(12):2999-3005.

[10]朱小敏，任新成，郭立新.指數(shù)型粗糙地面與上方矩形截面柱寬帶電磁散射的時(shí)域有限差分法研究[J].物理學(xué)報(bào)，2014，63(5):1 -7.

[11]BOOTON R C.Computational methods for electromagnetics and microwaves[M].New York:Wiley，1992:19-39.

[12]孫小東，李振春，王小六.三角網(wǎng)格有限差分法疊前逆時(shí)偏移方法研究[J].地球物理學(xué)進(jìn)展，2012，27(5):2077-2083.

[13]馮慈璋.電磁場(chǎng)[M].2版.北京:高等教育出版社，1979:226-244.

[14]鄭阿奇，曹弋.科學(xué)計(jì)算中的偏微分方程有限差分法[M].北京:電子工業(yè)出版社，2006:127-140.

[15]何紅雨.電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算法與MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2004:93-127.

(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Application of finite difference method in analyzing the electrostatic properties of dielectric

TANG Zheng-ming1，ZHANG San-mei2，F(xiàn)ENG Zheng-yong1
(1.School of Physics and Electronic Information，China West Normal University，Nanchong 637009，P.R.C.；
2.Experiment Center，China West Normal University，Nanchong 637009，P.R.C.)

It is more difficult to understand potential distribution，electric field distribution and the polarization characteristics in dielectric than conventional electrostatic field problems.This paper introduces the principle of finite difference method used in analyzing the potential distribution，and presents the calculation formula for dielectric region.Through the ingenious design and using Matlab to solve the inhomogeneous medium area，the static electric field properties of dielectric are analyzed.Theoretical analysis coincides with simulation results very well

finite difference method；dielectric polarization；electrostatic field；Matlab

O412.3

A

2095-4271(2015)04-0494-04

10.11920/xnmdzk.2015.04.019

2014-12-29

唐正明(1981-)，男，四川安岳人，講師，博士研究生，主要從事微波、電子技術(shù)等方面的教學(xué)和科研工作.E-mail: zhengmtang＠163.com.

四川省教育廳項(xiàng)目(13BZ0010)