王洪彬

(淄博師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)理科學(xué)系，山東 淄博 255130)

?

變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的Marcinkiewicz積分

王洪彬

(淄博師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)理科學(xué)系，山東 淄博 255130)

摘要：Marcinkiewicz積分是調(diào)和分析中的重要算子，其有界性研究一直是調(diào)和分析中的重要課題之一. 應(yīng)用其在變指標(biāo)Lebesgue空間中的有界性以及變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的原子分解定理, 證明了Marcinkiewicz積分算子在齊次和非齊次變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的有界性.

關(guān)鍵詞：Marcinkiewicz積分；變指標(biāo)；Herz型Hardy空間；有界性

1　預(yù)備知識(shí)和記號(hào)

賦予如下Luxemburg-Nakano范數(shù)

則Lp(?)(Ω)是Banach空間, 稱(chēng)之為變指標(biāo)Lp空間.

p(·)∶Ω→[1,)的集合, 使得p-=essinf{p(x)∶x∈Ω}>1,p+=esssup{p(x)∶x∈Ω}<.記p′(x)=p(x)/(p(x)-1). 令(Ω)為p(·)∈(Ω)并使得Hardy-Littlewood極大算子M滿足Lp(?)(Ω)有界的指數(shù)函數(shù)p(·)的集合.

在變指標(biāo)Lp空間中有如下幾個(gè)重要的引理.

引理 1[4]設(shè)p(·)∈(n). 則存在常數(shù)C>0使得對(duì)所有n中的球B, 都有

引理 2[4]令p(·)∈(n). 則存在正常數(shù)C使得對(duì)所有n中的球B和所有可測(cè)子集S?B, 都有

其中δ1,δ2是常數(shù)且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1, δ2都同引理2中的一樣).

引理3[1]令p(·)∈(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp′(·)(n), 則fg在n上可積并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱(chēng)為廣義H?lder不等式.

下面我們給出變指標(biāo)Herz空間的定義. 對(duì)于k∈, 令且Ak=BkBk-1. 記+和分別是所有正整數(shù)和所有非負(fù)整數(shù)的集合, 對(duì)k∈有χk=χAk, 若k∈+則且其中χAk是Ak的特征函數(shù).

定義 1[4]令α∈, 0

在此基礎(chǔ)上我們給出變指標(biāo)Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無(wú)窮可微且在無(wú)窮遠(yuǎn)處迅速遞減的函數(shù)所構(gòu)成的,S′(n)表示S(n)的對(duì)偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數(shù), 其定義為

定義2[6]令α∈, 0n+1.齊次變指標(biāo)Herz型Hardy空間(n)定義為

對(duì)于x∈我們用[x]表示小于等于x的最大整數(shù).

定義3[6]令nδ2≤α<,q(·)∈(n)且非負(fù)整數(shù)s≥[α-nδ2].n上的函數(shù)a被稱(chēng)為中心(α,q(·))-原子, 如果它滿足：(i) 對(duì)某個(gè)r>0有suppa?；；(iii) 對(duì)任意滿足的多重指標(biāo)β有∫a(x)xβdx=0.n上的函數(shù)a被稱(chēng)為是限制型中心(α,q(·))-原子, 如果它滿足上述條件(ii), (iii)以及對(duì)某個(gè)r≥1有suppa?B(0,r).

引理 4[6]令nδ2≤α<, 0

其中下確界是對(duì)f的所有上述分解而取的.

2　主要結(jié)論及證明

設(shè)Sn-1為n(n≥2)上的單位球面，Ω∈Lipβ(Sn-1)(0<β≤1)是零次齊次函數(shù)且滿足∫Sn-1Ω(x′)dσ(x′)=0, 其中對(duì)任意x≠0有年Stein[8]定義了如下與Littlewood-Paleyg函數(shù)相關(guān)的Marcinkiewicz積分算子:

其中

近來(lái)，Cruz-Uribe等[9]給出了Marcinkiewicz積分算子的Lp(?)(n)有界性，下面將其推廣到變指標(biāo)Herz型Hardy空間中.

定理1令Ω∈Lipβ(Sn-1)(0<β≤1/2),nδ2≤α

因此, 得

(1)

我們首先估計(jì)I1. 由aj的消失矩條件和廣義H?lder不等式, 得

C2-kn+(j-k)β‖aj‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n).

綜合J1,J2有

所以由引理1和引理2,有

‖μ(aj)χk‖Lq(·)(n)≤C2-kn+(j-k)β‖aj‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq′(·)(n)‖χk‖Lq(·)(n)≤

(2)

因此, 當(dāng)0

(3)

當(dāng)1

(4)

現(xiàn)在我們來(lái)估計(jì)I2. 類(lèi)似地,考慮p的兩種情形. 當(dāng)0

(5)

當(dāng)1

(6)

結(jié)合式(1)和式(3)~(6), 有

因此, 定理得證.

參考文獻(xiàn)：

[1]KovácikO,RákosníkJ.OnspacesLp(x)andWk,p(x)[J].CzechoslovakMathJ, 1991, 41(4)：592-618.

[2]DieningL,HarjulehtoP,H?st?P,et al.LebesgueandSobolevspaceswithvariableexponents[M].Heidelberg：Springer, 2011.

[3]XuJS.VariableBesovandTriebel-Lizorkinspaces[J].AnnAcadSciFennMath, 2008, 33: 511-522.

[4]IzukiM.BoundednessofsublinearoperatorsonHerzspaceswithvariableexponentandapplicationtowaveletcharacterization[J].AnalMath, 2010, 36(1): 33-50.

[5]NakaiE,SawanoY.HardyspaceswithvariableexponentsandgeneralizedCampanatospaces[J].JFunctAnal, 2012, 262(9):3 665-3 748.

[6]WangHB,LiuZZ.TheHerz-typeHardyspaceswithvariableexponentandtheirapplications[J].TaiwaneseJMath, 2012, 16(4): 1 363-1 389.

[7]HarjulehtoP,H?st?P,Lê úV, et al.Overviewofdifferentialequationswithnon-standardgrowth[J].NonlinearAnal, 2010, 72(12): 4 551-4 574.

[8]SteinEM.OnthefunctionofLittlewood-Paley,LusinandMarcinkiewicz[J].TransAmerMathSoc, 1958, 88(2): 430-466.

[9]Cruz-UribeD,SFO,FiorenzaA, et al.TheboundednessofclassicaloperatorsonvariableLpspaces[J]. Ann Acad Sci Fen Math, 2006, 31: 239-264.

(編輯：郝秀清)

MarcinkiewiczintegralsonHerz-typeHardyspaceswithvariableexponent

WANGHong-bin

(DepartmentofMathematicalandPhysicalScience,ZiboNormalCollege，Zibo255130，China)

Abstract:Marcinkiewicz integrals are very important in harmonic analysis. The research on boundedness of Marcinkiewicz integrals has been one of important subjects in harmonic analysis. Using the boundedness of Marcinkiewicz integrals on variable Lebesgue spaces and the atomic decomposition characterizations of Herz-type Hardy spaces with variable exponent, we obtain the boundedness of Marcinkiewicz integrals on the homogeneous and non-homogeneous Herz-type Hardy spaces with variable exponent.

Key words:Marcinkiewicz integral；variable exponent；Herz-type Hardy space；boundedness

中圖分類(lèi)號(hào)：O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2015)04-0016-05

作者簡(jiǎn)介：王洪彬, 男, hbwang2006@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171345)；淄博師范高等專(zhuān)科學(xué)校研究課題(13xk023)

收稿日期：2014-12-04