李建麗

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

兩個(gè)幾何總體具有部分缺失數(shù)據(jù)時(shí)參數(shù)倒數(shù)的估計(jì)

李建麗

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

文章討論了具有部分缺失數(shù)據(jù)情形下兩個(gè)幾何總體參數(shù)倒數(shù)的MLE,同時(shí)證明了所求參數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸進(jìn)正態(tài)性,且給出了兩參數(shù)倒數(shù)差的近似置信區(qū)間.

缺失數(shù)據(jù)；MLE；幾何分布；強(qiáng)相合性；漸進(jìn)正態(tài)性

幾何分布是離散型壽命分布中一種重要的分布。文[1]中介紹了其參數(shù)在完全數(shù)據(jù)情況下的MLE，但是在處理實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到缺失數(shù)據(jù)的情形。文獻(xiàn)[2-3]中研究了部分缺失數(shù)據(jù)下的兩個(gè)指數(shù)總體、兩個(gè)Possion總體的參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[4-5]中討論了具有部分缺失數(shù)據(jù)下兩個(gè)幾何總體的參數(shù)估計(jì)，但文中所給參數(shù)的估計(jì)形式較為復(fù)雜，觀察幾何分布參數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)幾何分布的參數(shù)倒數(shù)的估計(jì)有很好的形式。文獻(xiàn)[6]討論了一個(gè)幾何總體具有部分缺失數(shù)據(jù)時(shí)參數(shù)倒數(shù)的估計(jì)和檢驗(yàn)。文章將進(jìn)一步探討兩個(gè)幾何總體均具有部分缺失數(shù)據(jù)時(shí)參數(shù)倒數(shù)的估計(jì)問題。

在伯努利試驗(yàn)序列中，記X和λ分別表示事件首次發(fā)生時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)和事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則X～Ge(λ)，其概率函數(shù)為

其中0＜λ＜1是未知參數(shù)。

其中θ＞1。

1 參數(shù)倒數(shù)的極大似然估計(jì)

假設(shè)有兩個(gè)形如（2）式的概率函數(shù)為pi(x;θi),i= 1,2的幾何總體，θi＞1是未知參數(shù)。獨(dú)立重復(fù)地分別對(duì)這兩個(gè)幾何總體進(jìn)行n次觀測(cè)，其樣本分別記(X1,…，Xn)和(Y1,…，Yn)。但在對(duì)第一個(gè)總體進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，每個(gè)Xi會(huì)以概率1-p1被丟失，即實(shí)際得到的觀測(cè)值為(Xj，δj（)j=1，2，…，n）,其中(X1,…，Xn)與(δ1,…，δn)相互獨(dú)立則有民n1～b(n,p1).用U1,U2,…Un1表示對(duì)第一個(gè)總體的n1個(gè)實(shí)際觀測(cè)值，則有同樣對(duì)第二個(gè)總體進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，每個(gè)Yi會(huì)以概率1-p2被丟失，則最后實(shí)際得到的觀測(cè)值為(Yk,σk)(k=1,2,…n),其中(Y1,Y2…，Yn)與(σ1,σ2…,σn)獨(dú)立,σk～b(1,p2),記則n2～b(n, p2),用V1,…Vn2表示相對(duì)于第二個(gè)總體的n2個(gè)實(shí)際觀測(cè)值，則有

由對(duì)第一個(gè)總體觀測(cè)實(shí)際得到的樣本觀測(cè)值（U1,U2,…Un1）可得似然函數(shù)為

取對(duì)數(shù)得對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

求導(dǎo)并令其為0可得:

解得θ1的MLE為:

同理可得θ2的MLE為:

兩樣本是否來(lái)自同一個(gè)總體的問題通常可歸結(jié)為檢驗(yàn)兩總體參數(shù)是否相等的檢驗(yàn)問題。本文中即是考慮假設(shè)H0:θ1=θ2=θ(未知)vsH1:θ1≠θ2。在H0不成立時(shí)，θ1，θ2的估計(jì)即為(3)、(4)兩式，在H0成立的條件下，關(guān)于θ的觀測(cè)的似然函數(shù)為：

同理θ1的求解過程可得θ的MLE為：

2極大似然估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì)

在1中討論了參數(shù)倒數(shù)的MLE，下面將給出估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸進(jìn)正態(tài)性。

Proof：由于δ1,…,δn,σ1，…,σn，X1，…,Xn，Y1，…,Yn分別獨(dú)立同分布,且（δ1，…,δn）與（X1，…,Xn）相互獨(dú)立,（Y1，Y2…,Yn）與（σ1，σ2…,σn）相互獨(dú)立，當(dāng)原假設(shè)為真時(shí),有

由強(qiáng)大數(shù)定律[7]可知

證明過程中可見θi，i=1,2的結(jié)論亦成立。

定理2（漸進(jìn)正態(tài)性）

Proof：當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，則有

所以由Slutsky定理[1]可證得

證明過程中θi，i=1,2的結(jié)論可見成立。

3 兩總體參數(shù)倒數(shù)差的近似置信區(qū)間

由定理2知，當(dāng)n很大時(shí)，

故可取

作為樞軸量,對(duì)于給定的置信水平1-α?(0,1),有

解得θ1-θ2的近似置信區(qū)間為

［1］茆詩(shī)松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)［M］.北京:高等教育出版社,2006.

［2］劉銀萍.具有部分缺失數(shù)據(jù)兩個(gè)指數(shù)總體的估計(jì)和檢驗(yàn)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2002,(4): 255-257

［3］武大勇,萬(wàn)建平.具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)Possion總體的估計(jì)與檢驗(yàn)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué),2005,18 (增):102-106

［4］朱五英.具有部分缺失數(shù)據(jù)兩個(gè)幾何總體的估計(jì)［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(1):11-15.

［5］趙志文,宋立新,劉銀萍.具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)幾何分布總體參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)［J］.統(tǒng)計(jì)與決策,2010,(5):22-23.

［6］龔雙輝,萬(wàn)建平.具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)幾何總體參數(shù)倒數(shù)的估計(jì)和檢驗(yàn)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué),2006, 19(增):203-206.

［7］楊振明.概率論(第二版)［M］.北京:科學(xué)出版社, 2008.

Li Jian-li
（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O212

A

1673-2015（2015）05-0035-03

長(zhǎng)治學(xué)院科研項(xiàng)目(2013201)。

2015—05—11

李建麗（1983—）女，山西高平人，講師，碩士，主要從事概率統(tǒng)計(jì)方面的研究。