李峻山，趙婉茹，許夢(mèng)宇，朱家明

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

基于嫦娥三號(hào)軟著陸目標(biāo)區(qū)域選取的研究*

李峻山，趙婉茹，許夢(mèng)宇，朱家明

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

針對(duì)嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星運(yùn)行過程，主要探究嫦娥三號(hào)軟著陸過程中著陸目標(biāo)區(qū)域的選取。根據(jù)不同地域所拍攝照片像素點(diǎn)數(shù)值大小不同的特性，通過構(gòu)造、計(jì)算平坦系數(shù)并建立合適的空間直角坐標(biāo)系，從而找出相對(duì)平坦區(qū)域，根據(jù)路徑最小原則，選取嫦娥三號(hào)的最佳著陸地點(diǎn)，并給出相應(yīng)的軌跡方程。

嫦娥三號(hào)；軟著陸；灰度圖像矩陣；MatlabR2010b；平坦系數(shù)

發(fā)射人造地球衛(wèi)星、載人航天和深空探測(cè)是人類航天活動(dòng)的三大領(lǐng)域。重返月球、開發(fā)月球資源、建立月球基地已成為世界航天活動(dòng)的必然趨勢(shì)和競(jìng)爭(zhēng)熱點(diǎn)。開展月球探測(cè)工作是我國(guó)邁出航天深空探測(cè)第一步的重大舉措。實(shí)現(xiàn)月球探測(cè)將是我國(guó)航天深空探測(cè)零的突破。月球已成為未來航天大國(guó)爭(zhēng)奪戰(zhàn)略資源的焦點(diǎn)。本文以2014年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題[1]為例，以嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星為研究對(duì)象，通過Matlab編程，來研究嫦娥三號(hào)軟著陸過程中的粗避障、精避障階段的著陸目標(biāo)選取。

1 研究準(zhǔn)備

1）對(duì)新名詞的解釋：平坦系數(shù)(d)：利用平面灰度圖像矩陣(Gmn)計(jì)算出的用以描述平面平整度的系數(shù)，數(shù)值越小表示平面越平坦。其具體計(jì)算公式如下：

Amn表示平面灰度圖像矩陣

2）坐標(biāo)系的建立：以飛船所拍攝照片的中心（月球的19.51W，44.12N）為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為z軸，x,y軸分別建立在數(shù)字高程圖中所顯示的水平面上并與圖片邊緣平行，坐標(biāo)系建立結(jié)果如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系的建立

2 粗避障階段的分析與求解

2.1 粗避障階段的分析

在粗避障階段要求我們避開較大的隕石坑，也就是說我們應(yīng)該把飛船引導(dǎo)向盡量平坦的地區(qū)降落，我們通過2 400 m高度拍攝的灰度圖像尋找平坦區(qū)域，根據(jù)灰度圖像矩陣數(shù)值大小可以反映地理相對(duì)高度大小的特性，我們對(duì)灰度圖像矩陣進(jìn)行分塊[2]，計(jì)算每一個(gè)分塊矩陣的平坦系數(shù)，這樣我們只要把飛船引導(dǎo)向平坦系數(shù)最小的區(qū)域即可。距月面2 400 m處的數(shù)字高程照片如圖2所示。

圖2 距月面2 400 m（左）和100 m（右）處的數(shù)字高程圖

2.2 挑選粗避障的著陸目標(biāo)區(qū)域

選取合適的分塊矩陣大?。?/p>

在粗避障階段拍出的數(shù)字高程圖的水平分辨率是1 m/像素，其數(shù)值的單位是1 m,矩陣大小是2 300×2 300；而在距月面100 m拍出的數(shù)字高程圖的水平分辨率為0.1 m/像素，數(shù)值單位是0.1 m，大小是1 000×1 000；為了與精避障階段的研究聯(lián)系起來，在現(xiàn)階段我們選擇100×100作為一個(gè)單位分塊矩陣大小。

計(jì)算平坦系數(shù)秩序矩陣：

第一步：用Matlab將（距2 400 m處的數(shù)字高程圖）圖像讀入[3]后得矩陣：

第二步：挑取出矩陣A中的每一個(gè)100×100矩陣：

對(duì)D排序得秩序矩陣D'[4]，那么合適的降落區(qū)域也必定在平坦系數(shù)秩序矩陣中排名靠前的平坦系數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域中產(chǎn)生，由于隕石坑都呈現(xiàn)倒錐狀，所以不可能出現(xiàn)區(qū)域位于坑底或坑頂而平坦系數(shù)計(jì)算值較小的情況。

按照以上算法利用Matlab求解出2 400 m處數(shù)字高程圖的平坦系數(shù)如表1所示。

表1 2 400 m處數(shù)字高程圖的平坦系數(shù)

關(guān)于表1中數(shù)據(jù)的意義，我們做以下說明：

（1）位置：表示該平坦系數(shù)對(duì)應(yīng)的子矩陣所在灰度圖像矩陣中的行列位置，比如(213∶312，1 878∶1 977)指平坦系數(shù)為6 473的那個(gè)100×100子矩陣在原矩陣中的第213至312行，1 878至1 977列。

（2）區(qū)域中心坐標(biāo)：表示該平坦系數(shù)對(duì)應(yīng)的子矩陣所表達(dá)的子灰度圖像投影在三維坐標(biāo)系的x，y坐標(biāo)平面上的中心坐標(biāo)。

2.3 求解最佳著陸點(diǎn)

根據(jù)上述解法，在秩序平坦系數(shù)矩陣中排在第一位的平坦系數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域就是降落目標(biāo)區(qū)域，但是考慮到飛船自帶的燃料有限，在避障階段消耗的燃料越多飛船的著陸失敗風(fēng)險(xiǎn)就越大，根據(jù)坐標(biāo)圖和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)容易知道飛船選取的著陸目標(biāo)偏離空間坐標(biāo)系軸越遠(yuǎn)，其所行走的路程就消耗越多燃料，所以在降落區(qū)域的選取上，我們可以在可行的降落區(qū)中選擇區(qū)域中心與原點(diǎn)的歐式距離最小的降落去作為最佳降落區(qū)。

假設(shè)飛船的自控范圍為平坦系數(shù)＜H且H= 6 635，根據(jù)平坦系數(shù)秩序矩陣挑選出的可降落區(qū)為，每個(gè)可行降落區(qū)的的中心坐標(biāo)為，那么每個(gè)可行降落區(qū)的中心與原點(diǎn)的歐氏距離[5]為：

由表1數(shù)據(jù)計(jì)算得出降落區(qū)域的平坦系數(shù)與歐氏距離如表2，歐式距離折線如圖3所示。

表2 降落區(qū)域的平坦系數(shù)與歐氏距離

圖3 歐式距離折線圖

2.4 確定避障飛行軌跡

利用上一個(gè)模型中確定的合適降落區(qū)域?yàn)镾,可以確定其對(duì)應(yīng)矩陣在原灰度圖像矩陣中是在第g至 g+99行，第h至h+99列即，從而可以確定該區(qū)域的中心坐標(biāo)為，在其100 m正上方的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，再有飛船在2 400 m高空時(shí)的坐標(biāo)為（0，0，2 400）,可以根據(jù)這2個(gè)點(diǎn)確定一條直線，可計(jì)算其軌跡方程[6]為：

這也就是飛船在粗避障階段的飛行軌跡。

根據(jù)歐式距離最小原則可以看出選取排序?yàn)?平坦系數(shù)為6 514的區(qū)域?yàn)橹扅c(diǎn)最合適，那么在其上方100 m處對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(-888.5,-777.5,100)，根據(jù)公式（1），求得粗避障階段的飛行軌跡方程為：

嫦娥三號(hào)應(yīng)該通過控制自身發(fā)動(dòng)機(jī)沿著該直線飛行，飛行軌跡如圖4所示。

圖4 嫦娥三號(hào)的粗避障階段飛行軌跡

3 精避障階段的分析與求解

精避障階段要求精細(xì)避開月面障礙物，也就是要求在可視范圍內(nèi)選擇最平坦的區(qū)域作為飛船的著陸點(diǎn)，所以這里可以利用和粗避障階段相同的模型，通過計(jì)算平坦系數(shù)來量化選擇最佳著陸點(diǎn)。在此階段我們選取40×40為一個(gè)分塊矩陣大小。主要是基于以下原因：嫦娥三號(hào)降落區(qū)域面積不到16 m2（嫦娥三號(hào)著陸器的底面是長(zhǎng)寬不到4 m的近似長(zhǎng)方形），當(dāng)嫦娥三號(hào)懸停在100 m高空時(shí)拍攝的圖像是0.1 m/像素，那么反映在圖像矩陣中一個(gè)40×40的像素點(diǎn)陣表示的實(shí)際月面面積就是16 m2，故而我們選取40×40為一個(gè)分塊矩陣大小。

求得100 m精避障階段的相應(yīng)數(shù)據(jù)如表3、表4和圖5所示。

表3 位于100 m處平坦系數(shù)

表4 降落區(qū)域的平坦系數(shù)與歐氏距離

圖5 歐式距離折線圖

根據(jù)歐式距離最小原則可以看出選取排序?yàn)?平坦系數(shù)為809的區(qū)域?yàn)橹扅c(diǎn)最合適，那么在其上方100 m處對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(-844,-337)，根據(jù)公式（1），求得精避障階段的飛行軌跡方程為：

飛船應(yīng)該通過控制自身發(fā)動(dòng)機(jī)沿著該直線飛行，那么嫦娥三號(hào)登月飛船在粗避障和精避障階段的運(yùn)行軌跡如圖6所示。

圖6 嫦娥三號(hào)精避障階段運(yùn)行軌跡

4 結(jié)語(yǔ)

本文所介紹的嫦娥三號(hào)著陸目標(biāo)區(qū)域選取方法利用了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)快速精確計(jì)算優(yōu)點(diǎn)，并且創(chuàng)造性地提出了平坦系數(shù)這一衡量平面平坦程度的概念。在模型中我們考慮到了所有的可能備降區(qū)域，給出一個(gè)精確的量化選擇著陸區(qū)的方法。這種方法不僅適用于嫦娥三號(hào)的著陸，對(duì)現(xiàn)實(shí)中其他的航空航天器在未知區(qū)域安全降落同樣具有重要意義。

注釋及參考文獻(xiàn)：

[1]2014全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題[EB/oL]．http://www．mcm．edu．cn/．

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[3]張巖．Matlab圖像處理超級(jí)學(xué)習(xí)手冊(cè)[M]．北京:人民郵電出版社,2014:80-93．

[4]吳禮斌,閆云俠．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模[M]．天津:天津大學(xué)出版社．2009:27-44．

[5]吳成東,賈子熙,張?jiān)浦?等．基于歐氏距離的分布式網(wǎng)格定位估計(jì)方法[J]．東北大學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(3):1-3．

[6]呂林根,許子道．解析幾何[M]．北京:高等教育出版社,2012．5:112-119．

The Landing Target Region Selection Based on the Chang'e No.3

LI Jun-shan，ZHAO Wan-ru，XU Meng-yu，ZHU Jia-ming
(School of Statistics and Applied Math，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu,Anhui 233030)

Aim ming at the process of the Chang'e 3 lunar exploration project,this paper,mainly studies to select the object region in the process of Chang'e 3 soft landing.According to characteristics that pictures photoed in different areas have different sizes of the numerical pixel,it will be established a suitable space rectangular coordinate system and find out a relatively flat areas by construting and calculating flat coefficient.and select the best landing point of Chang'e,and conclude a corresponding trajectory equation under the principle of the minimum path.

Chang'e 3;soft landing;gray scale image matrix;matlab R2010b;flat coefficient

V525

A

1673-1891（2015）04-0022-03

2015-10-14

安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目（acjyzd201429）。

李峻山（1993-），男，安徽淮南人，研究方向：信息與計(jì)算科學(xué)。