費(fèi)嶺峰

【編者按】符號(hào)意識(shí)，主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，也有助于學(xué)生形成熟練地用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)，而這是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。本專輯圍繞“滲透符號(hào)意識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思考”這一主題展開。

這是人教版三下“數(shù)學(xué)廣角——搭配中的數(shù)學(xué)問題”的教學(xué)片段。執(zhí)教老師用“吃早餐”的情境（2飲料，3點(diǎn)心）引入后，提出問題：飲料和點(diǎn)心只能各選1種，可以有多少種不同的搭配？學(xué)生自主嘗試完成后，組織反饋。有學(xué)生是用文字來寫的；有學(xué)生則是這樣畫的（圖1）；當(dāng)然，也有學(xué)生畫出了類似于教材上提示的幾種方式（圖2與圖3）。

反饋中，教師重點(diǎn)讓學(xué)生各自說明思路，然后引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“搭配”的結(jié)果：像這樣2種飲料和3種點(diǎn)心各選一種搭配，可以有6種不同的搭配方法。期間對(duì)學(xué)生呈現(xiàn)的不同方法，教師沒有進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏贤?，特別是對(duì)后面“字母表示”“圖形表示”等符號(hào)化表達(dá)的方法所隱含著的思維價(jià)值幾乎沒有探討。對(duì)于這樣的教學(xué)過程，筆者感到遺憾。在筆者看來，能夠用后面幾種方法的學(xué)生，是具有較強(qiáng)的符號(hào)意識(shí)的。如果能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論比較，會(huì)讓更多的學(xué)生體會(huì)到符號(hào)表示的優(yōu)勢(shì)，從而激發(fā)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。從以上教學(xué)片段可以看出，實(shí)際教學(xué)中，一線教師對(duì)符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)的重要性還缺乏足夠的重視，能夠適時(shí)把握時(shí)機(jī)，有效滲透符號(hào)意識(shí)的理念落實(shí)尚需時(shí)日。筆者現(xiàn)結(jié)合一些實(shí)例，就這一問題從三個(gè)層面談一些想法與做法。

一、經(jīng)歷符號(hào)化的過程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將生活問題提煉抽象成數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要過程，這一過程中，無疑包含了符號(hào)化的方式。如對(duì)“數(shù)”作為一種符號(hào)的產(chǎn)生過程的體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，便是一個(gè)典型的例子。

研究表明，兒童對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)，一般需要經(jīng)歷從實(shí)物逐步抽象的過程，且在開始認(rèn)識(shí)時(shí)，需要豐富的、多樣的實(shí)物支持。如對(duì)數(shù)“3”的認(rèn)識(shí)，教材主題圖中便已呈現(xiàn)了“3只小鳥”“3只蝴蝶”和“3盆花”等一些事物，當(dāng)學(xué)生多次感知了“3個(gè)不同事物”的“量”之后，才能理解數(shù)字符號(hào)“3”其實(shí)是一個(gè)對(duì)事物某種“量”的表征。這樣一個(gè)過程，既是一個(gè)符號(hào)意義理解的過程，同時(shí)也是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程。

當(dāng)然，因?yàn)榉?hào)化的過程，是學(xué)生符號(hào)意識(shí)和抽象能力發(fā)展的重要過程，所以在有些內(nèi)容的教學(xué)中，需要專門設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷符號(hào)化”的教學(xué)環(huán)節(jié)，從而滲透符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

例如，在教學(xué)人教版一下“找規(guī)律”一課時(shí)，當(dāng)學(xué)生對(duì)“重復(fù)排列規(guī)律”有了一定的理解基礎(chǔ)后，教師可以設(shè)計(jì)如下的練習(xí)。先借助課件呈現(xiàn)：先駛過1輛摩托車，接著駛過摩托車，再是汽車。重復(fù)3次后，提出學(xué)習(xí)任務(wù)：剛才屏幕上出現(xiàn)的車輛有怎樣的規(guī)律？請(qǐng)你試著在作業(yè)紙上將這種規(guī)律表示出來。此時(shí)，因?yàn)槟ν熊?、小汽車圖案相對(duì)比較復(fù)雜，要求學(xué)生在作業(yè)紙上快速表示規(guī)律，學(xué)生畫摩托車、小汽車實(shí)物圖案，顯然不是最佳的方法。于是逼迫學(xué)生去思考用既簡潔，又能準(zhǔn)確表示規(guī)律的方法來記錄。有可能寫字的；有可能畫圖案的（△△□△△□……）；當(dāng)然也有可能寫數(shù)字的（224224……）。

這些方法中，顯然已經(jīng)有符號(hào)意識(shí)在發(fā)生作用了。如果寫字還不能算是數(shù)學(xué)化的表達(dá)的話，那么用“△△□△△□”這樣圖案表示就已經(jīng)是符號(hào)化的表達(dá)了。學(xué)生顯然已經(jīng)理解了屏幕上出現(xiàn)的車輛以“AAB”為一組重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律了。出現(xiàn)第三種“用數(shù)表示”的方法，從另一種角度同樣說明了學(xué)生將事物本身具有的特征（摩托車2個(gè)輪子，汽車4個(gè)輪子）作了符號(hào)化的表達(dá)，這也是一種數(shù)學(xué)化的理解。顯然，這樣的練習(xí)，目標(biāo)有二：一是鞏固學(xué)生對(duì)重復(fù)排列規(guī)律特征的認(rèn)識(shí)；二是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過程，體會(huì)符號(hào)思想，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)。一線教師如能在教學(xué)中經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象能力的提高不會(huì)再是一句空話了。

二、結(jié)合符號(hào)化的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)生能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為符號(hào)進(jìn)行研究，一則反映出了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握能力，二來也有利于問題分析過程的簡單明了。

回到本文開頭提到的“搭配中的數(shù)學(xué)問題”教學(xué)片段，筆者認(rèn)為，教師如果能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方法進(jìn)行比較，關(guān)注符號(hào)化表達(dá)方式的優(yōu)勢(shì)，不但可以讓學(xué)生更直觀地理解“搭配”的過程，同時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生把握“搭配”所蘊(yùn)含著的“乘法原理”的本質(zhì)。

我們對(duì)這些材料作較為深入地解讀，便會(huì)發(fā)現(xiàn)：

1.用文字表達(dá)的學(xué)生，其思維停留于羅列水平，即將所有的搭配狀況全部寫出來，窮盡所有可能。當(dāng)然，羅列的過程也有優(yōu)劣之分：無序?qū)懀赡軙?huì)遺漏，特別是數(shù)量再多些，更容易出現(xiàn)這種問題；有序?qū)?，如一種飲料配三種點(diǎn)心寫完后，再寫另一種飲料配三種點(diǎn)心（反之，以點(diǎn)心配飲料來寫也可以），這樣才能做到不遺漏、不重復(fù)。

2.用文字（或?qū)嵨飯D案）+連線表達(dá)的學(xué)生，思維的抽象水平高于用文字表達(dá)的學(xué)生，他們邁出了符號(hào)化的第一步。當(dāng)然，連線雖易，同樣需要有序連，才能更好地做到不遺漏與不重復(fù)。此種方法因?yàn)楸容^直觀，且情境中材料也不多，較容易畫全。

3.用字母（或符號(hào)）+連線表達(dá)的學(xué)生，抽象思維能力已經(jīng)比較強(qiáng)了。雖然，有些學(xué)生能夠這樣表達(dá)，卻不是出于自覺，而是處于思想的朦朧狀態(tài)，還無法深刻認(rèn)識(shí)到這種表達(dá)方式的模型價(jià)值。但這種方式，已經(jīng)是一種比較典型的符號(hào)化思維了。教學(xué)中，如果教師把這種方法拿出來，引導(dǎo)學(xué)生與前面的方法進(jìn)行比較，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注方法的異同，相信會(huì)有更多的學(xué)生能夠體會(huì)到“符號(hào)化”策略的優(yōu)勢(shì)，從而讓更多的學(xué)生對(duì)用符號(hào)、字母或數(shù)字的表達(dá)價(jià)值有較為充分地感悟，為他們符號(hào)意識(shí)和數(shù)學(xué)思維能力提供進(jìn)一步發(fā)展的可能性。反之，當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)了文字表達(dá)和符號(hào)、字母、數(shù)字表達(dá)的材料時(shí)，教師僅僅從結(jié)果角度加以肯定，忽視揭示表達(dá)方式的不同所蘊(yùn)含的思維價(jià)值不同的話，就會(huì)在符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)上失去一個(gè)極佳的機(jī)會(huì)。endprint

三、借助符號(hào)化的過程，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》提出的“課程內(nèi)容”十大核心詞中，我們發(fā)現(xiàn)符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)與模型思想的建立有著密切的關(guān)系，甚至可以說符號(hào)化是數(shù)學(xué)建模的必要途徑。因此，借助符號(hào)化的過程，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，也是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的重要內(nèi)容。

例如，筆者在教學(xué)人教版一上“加法的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，就有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物到數(shù)字符號(hào)表達(dá)，以符號(hào)思維建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程。核心環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下：

環(huán)節(jié)一：圖形拼組，初步感知加法的意義。

呈現(xiàn)1個(gè)小方塊：，請(qǐng)學(xué)生說一說用什么數(shù)來表示？（用數(shù)“1”表示）

呈現(xiàn)兩個(gè)圖形（圖4），動(dòng)態(tài)演示：把兩個(gè)小長方體拼成一個(gè)大長方體（圖5）。先請(qǐng)學(xué)生描述看到的情境，再用一個(gè)算式表示。

請(qǐng)學(xué)生說算式“2+3=5”的意思，即說明2和3分別表示什么意思？算式“2+3”表示什么意思？5呢？

這是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生初步理解加法意義的環(huán)節(jié)。結(jié)合小方塊的拼組——把兩個(gè)圖形拼成一個(gè)圖形，在學(xué)生用數(shù)字和算式表示事件的過程中，既有符號(hào)意識(shí)的體現(xiàn)，又有初步建立加法模型的體驗(yàn)。

環(huán)節(jié)二：積累經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步理解加法的意義。

觀察情境圖，說圖意，寫算式。

情境圖逐題呈現(xiàn)。圖6、圖7的情境直接呈現(xiàn)，讓學(xué)生觀察圖意后列出算式，然后說一說為什么這樣列式？圖8的情境動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)：屏幕上飛來了2只小鳥，又飛來了3只小鳥。學(xué)生理解圖意后列式。期間，學(xué)生首先需要將實(shí)物用數(shù)字符號(hào)表示出相應(yīng)的數(shù)量，同時(shí)還需要從實(shí)物情境中理解把握“加法就是把兩部分合并起來的過程”的模型特征。

環(huán)節(jié)三：看圖直接寫算式，體會(huì)加法模型的數(shù)學(xué)化本質(zhì)。

直接呈現(xiàn)：

算式：

動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)：停車場(chǎng)原有3輛小汽車，又來了1輛。

算式：

動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)：3個(gè)小方塊拼在一起，后又拼上1個(gè)。

算式：

質(zhì)疑啟思：這些圖中的物品不同，為什么列出的算式都是“3+1=4”呢？與前面各例相比，此時(shí)的“3”“1”和“4”作為數(shù)字符號(hào)，內(nèi)涵更為豐富，因?yàn)槠浔磉_(dá)的事物是多樣的，于是算式“3+1=4”也具有了同樣豐富的內(nèi)涵。

三個(gè)層次的活動(dòng)，以數(shù)字符號(hào)作基礎(chǔ)，同時(shí)從實(shí)物場(chǎng)景抽象出加法算式的過程，又讓算式有了符號(hào)化思想的滲透，既實(shí)現(xiàn)了發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的目的，又承載了數(shù)學(xué)建模的思想。

最后想說的是，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的“課程目標(biāo)”與“核心概念”，在實(shí)際的教學(xué)中并不是孤立的。它是一個(gè)系統(tǒng)工程，需要在適當(dāng)?shù)闹R(shí)學(xué)習(xí)中，把握時(shí)機(jī)，適時(shí)地加以發(fā)展。這樣的教學(xué)才是真正符合課標(biāo)理念的。符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，當(dāng)然也不例外。

（作者單位：浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）endprint