周紹磊，閆 實，劉 偉，李瑞濤

（中國人民解放軍海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺 264001）

輸入飽和約束下一類多智能體編隊系統(tǒng)魯棒一致性分析

周紹磊，閆 實，劉 偉，李瑞濤

（中國人民解放軍海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺 264001）

針對輸入飽和約束條件下具有不對稱時滯的二階多智能體編隊系統(tǒng)的魯棒一致性問題，本文綜合利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法和線性矩陣不等式的方法對其進行了研究。首先在n維歐氏空間中建立了二階多智能體所組成的編隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；然后設(shè)計了分布式的基于一致性的具有飽和約束和不對稱時滯的編隊控制律；進一步，利用非線性扇區(qū)法處理了飽和項，將其轉(zhuǎn)化為一種簡單的非線性項，從而建立了Lyapunov-Krasovskii泛函，并利用LMI方法對編隊系統(tǒng)進行了魯棒一致性分析，得到了系統(tǒng)達到魯棒一致時的線性矩陣不等式條件，并通過仿真分析驗證了所得條件的正確性。

輸入飽和；時滯；魯棒一致性；編隊控制

編隊控制是智能群體自主協(xié)同控制中最為基礎(chǔ)的一項技術(shù)，在軍事、航天、工業(yè)、生活等各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。所謂編隊控制，是指由多個智能體組成的群體向某一特定目標(biāo)運動的過程中，相互之間保持預(yù)定的幾何形態(tài)（即隊形），同時又要適應(yīng)環(huán)境約束（如避障）的控制問題。

近年來，基于一致性的編隊控制理論受到了廣泛關(guān)注。所謂一致性（有些也稱為“趨同性”），就是指多智能體系統(tǒng)中的每個個體通過相互之間的信息交互，最終在各項協(xié)同變量（如，位置、速度、能量等）上趨于一致。

在實際的控制系統(tǒng)中，控制器通過執(zhí)行器來驅(qū)動受控對象，而環(huán)境或者系統(tǒng)自身的物理結(jié)構(gòu)決定著執(zhí)行器的輸出量及其變化率不能任意大，因而執(zhí)行器一般都存在幅值飽和約束問題。而編隊控制輸入（隊形、速度、過載等）往往也是有著嚴(yán)格約束的，目前基于分布式多智能體系統(tǒng)的飽和約束問題的研究目前還比較少。

本文綜合考慮輸入飽和受限條件下，對同時具有不對稱時滯以及通訊噪聲的情況下的多智能體編隊的魯棒一致性問題進行分析。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論以及線性矩陣不等式方法（LMI方法）得到了多智能體編隊達到魯棒一致的充分條件。

1 問題描述

1.1 具有輸入飽和約束和外界擾動的多智能體編隊系統(tǒng)

考慮n維歐氏空間中一個由N個具有輸入飽和約束和外界干擾的二階智能體組成的編隊系統(tǒng)，其中第i個智能體的動力學(xué)方程由下式描述：

其中，xi(t)∈Rn，vi(t)∈Rn，ui(t)∈Rn分別表示n維歐氏空間中智能的位置向量、速度向量和控制輸入向量；umax∈R為常值,表示控制輸入幅值約束；w(t)∈L2[0,∞)為系統(tǒng)有界干擾。

無向圖G=(V,E,A)表示智能體間的通訊拓撲結(jié)構(gòu)，其中V={V1,V2,…，Vn}為節(jié)點集合，也可用其下標(biāo)代指。E?V×V為邊集合，A=[aij]，?i，j=1,…,n為鄰接矩陣，用于描述系統(tǒng)的通信拓撲結(jié)構(gòu)。如果(i,j)是G圖的一條邊，表示智能體j和i可以交換信息，記aij=1。L=[LT1LT2…LTN]為拉普拉斯矩陣，且有以下形式：

編隊隊形是智能體在空間中建立并能保持的一種特定的幾何位置關(guān)系。描述編隊隊形的方法有多種[1-3]。很多情況下，分布式控制系統(tǒng)中的單個智能體很難知道自身的絕對位置，因而從實際出發(fā)，本文采用基于相對位置向量的方法描述隊形，其具體描述方式下：

定義1基于相對位置向量的隊形描述方法

n維歐氏空間中，智能體i和智能體j之間理想的位置偏差向量為hij∈Rn，i=1,2,3,…,N。其中向量hi∈Rn，i=1,2,3,…,N表示智能體i在空間中期望的位置，則，hij=hi-hj，?i,j= 1,2,3,…,N。編隊向量為，其中Ni表示當(dāng)前時刻智能體i的鄰居個數(shù)，則編隊向量與編隊隊形是一一對應(yīng)的。

為驗證所設(shè)計的控制協(xié)議能夠使得編隊系統(tǒng)達到一致且對外界干擾具有良好的抑制能力，引入了性能輸出變量zi(t)由下式給出：

進一步，令z(t)=[z1(t)，z2(t),…,Zn(t)]T

其中，

注意到對于矩陣C=In-1n1nT/n，0是其特征值，重數(shù)為1；1是其特征值，重數(shù)為n-1；向量inT、1n分別是特征值0的左右特征向量且有CTC=C。

定義2系統(tǒng) EE（Energy-to-Energy）增益指標(biāo)

‖Twz‖ee越小，表明外界擾動對系統(tǒng)的影響越小，因此反映了系統(tǒng)抑制外部擾動的能力。

定義3編隊系統(tǒng)的次優(yōu)H∞一致性

對于給定的多智能體編隊系統(tǒng)（1）以及和可實現(xiàn)的性能指標(biāo)γ＞0，如果

1）當(dāng)wi(t)=0時，編隊能夠形成并保持，即對于任意的智能體i和智能體j，如果存在某一有界時刻t0，當(dāng)t≥t0時，等式xi(t)-xj(t)=hij和vi(t)=vj(t)=vd始終同時成立，則稱編隊形成并保持，其中vd是智能體期望的速度。

2）當(dāng)wi(t)≠0時，‖Twz‖ee＜γ，則控制律ui為γ次優(yōu)一致性魯棒H∞編隊控制律。那么編隊系統(tǒng)實現(xiàn)了次優(yōu)H∞一致性。

1.2 基于一致性的編隊控制律設(shè)計

假定編隊的位置通訊拓撲與速度通訊拓撲是相同的。文獻[4]給出了編隊控制中經(jīng)典的靜態(tài)一致性算法（3），該算法已經(jīng)被驗證能夠使得編隊中的所有個體達到同一位置：

在實際系統(tǒng)中不僅存在著輸入飽和現(xiàn)象，還存在著時滯現(xiàn)象。時滯往往降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其他性能。記τij(t)為t時刻，智能個體j從它的鄰居i接受信息時的通信時滯。關(guān)于通訊時滯我們規(guī)定以下兩點假設(shè)：

假設(shè)1通訊網(wǎng)絡(luò)中僅存在不對稱時滯。智能體獲取自身狀態(tài)信息沒有時滯，即τij(t)=0；時滯僅存在于智能體獲取鄰居狀態(tài)信息時，即0＜τij(t)＜τ。

假設(shè)2多智能體編隊系統(tǒng)中的通訊時滯是均等的。即對任意的智能體i、j、k均有等式τij(t)=τkj(t)=τjk(t)=τ(t)成立。如果系統(tǒng)內(nèi)的通信時滯滿足τ(t)=τ＞0，τ˙(t)=0，則該時滯為恒定均等時滯；如果τ＞0，τ˙(t)＞0為常數(shù)，則該時滯為時變均等時滯。

這兩點假設(shè)是具有實際意義的。在通訊網(wǎng)絡(luò)中智能體檢測自身狀態(tài)信息的時間相對于檢測鄰居狀態(tài)信息的時間往往是可以忽略不計的；同時，在通訊網(wǎng)絡(luò)協(xié)議中可以引入時間隊列機制，即在規(guī)定的時刻點，所有個體統(tǒng)一進行信息更新，這樣做會一定程度上避免出現(xiàn)異步通訊，同時也可以近似認為出現(xiàn)了均等通訊時滯。

在經(jīng)典的靜態(tài)一致性算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計了新的具有不對稱時滯的動態(tài)一致性算法（4）：

其中，xj(t-τ)),vj(t-τ(t))∈Rn分別為具有通信時滯τ(t)的個體j的位置和速度向量；uid(t)∈Rn為個體i的控制輸入向量；vd∈Rn，∈Rn表示期望的編隊速度和編隊加速度；α＞0，β＞0為有界控制參數(shù)；hij是個體i，j的期望相對距離向量；N為智能群體內(nèi)個體的個數(shù)，Ni是個體i當(dāng)前時刻的鄰居個數(shù)。

定義4非線性飽和函數(shù)

非線性飽和函數(shù)記為sat(·)，當(dāng)y∈R時sat(y)=sign(zi)min

當(dāng)y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn時，非線性飽和函數(shù)可以寫成向量形式，sat(y)=(sat(y1),sat(y2),…,sat(yn))T

則輸入飽和約束下的具有不對稱時滯的一致性編隊控制律為：

利用Kroneck積的形式得到編隊系統(tǒng)在輸入飽和約束下的一致性編隊控制律為u(t)：uds(t)=sat(ud(t))

1.3 預(yù)備引理

引理1[5]不存在控制輸入約束、外界干擾、時滯等情況下，若編隊速度vd和期望的編隊向量h是精確已知的，控制系數(shù)α＞α0，β＞0且有界，則當(dāng)系統(tǒng)通信拓撲強連通且存在最小有向生成樹時，系統(tǒng)（1）是穩(wěn)定的。其中，

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)的等價代數(shù)變換

為方便進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，首先要對系統(tǒng)進行代數(shù)等價變換。令：

將含不均等時滯的編隊控制律 (4)等價變換并利用Kroneck積的形式整理得智能群體的不對稱時滯編隊控制律(9)

2.2 基于非線性扇區(qū)法的飽和項處理

考慮到飽和函數(shù)的非線性特性，直接運用Lyapunov第二方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性較為困難。 而將飽和函數(shù)建模成一個滿足扇形條件的普通非線性模型是一個常用的方法[6]。因為

不妨設(shè)：

則有：

由此，我們可以得到閉環(huán)狀態(tài)方程：

2.3 基于Lyapunov-K rasovskii泛函方法與LM I方法的編

隊穩(wěn)定性分析與魯棒性分析

定理1：輸入飽和約束下考慮存在外界干擾和不對稱均等時滯的滿足引理1的多智能體編隊編隊系統(tǒng)。如果存在對稱正定矩陣P∈R2nN×2nN，Q∈R2nN×2nN使得Γ＜0，則智能群體系統(tǒng)編隊能夠?qū)崿F(xiàn)次優(yōu)H∞一致性，干擾抑制度γ，其中：

證明：

1）首先討論系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函為如下形式：

其中，

則有：

根據(jù)定義3，首先考慮當(dāng)w(t)=0時的編隊閉環(huán)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，若以下不等式成立：

由此可知，當(dāng)定理1中LMI（11）成立時，

根據(jù)定義3，編隊形成并保持等價于下列等式同時成立：

因此，由lyapunov穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)V(t)正定，且其沿著軌線的倒數(shù)V˙(t)負定時，閉環(huán)編隊系統(tǒng)（10）的輸出解是一致漸進穩(wěn)定的，因而滿足等式（13）的要求，所以編隊可以形成并保持。

2）其次討論編隊系統(tǒng)（10）的問題。

結(jié)合定義2中的EE（Energy-to-Energy）增益指標(biāo)‖Twz‖ee的形式，定義如下H∞的性能指標(biāo)：

其中，T＞0，w(t)∈L2[0,∞)為系統(tǒng)有界干擾。

記為：

并且利用矩陣C=In-1n1n/n的性質(zhì)，可得：

其中：

由引理2,矩陣的schur補性質(zhì)可知：

所以，當(dāng)Γ＜0時，以下不等式成立：

證畢。

3 仿真驗證

在不對稱均等時滯下，研究包含3個智能個體的群體系統(tǒng)在平面內(nèi)編隊運動的情況。每個智能個體動態(tài)方程均為二階模型。個體的初始位置隨機分布在[0,60]×[0,60]的范圍內(nèi)，初始速度向量均為0；通信連接拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示，期望的編隊向量是hT，h=[0,-100,100,0,100,100,100,0,200,-100,0,0,-100,-200,0,-100,0,0];

圖1 編隊通訊拓撲Fig.1 Fleet communication topology

期望的初始編隊速度為v=[6,6]T，編隊加速度=[1,2]T；控制參數(shù)；仿真時間40 s，仿真步長0.1 s。根據(jù)通信拓撲結(jié)構(gòu)圖1，可以得到編隊系統(tǒng)的鄰接矩陣、度矩陣和歸一化拉普拉斯矩陣為：

圖2 編隊隊形與運動軌跡Fig.2 The motion path of the group

給定系統(tǒng)時滯為0.36將個體的控制輸入約束限定為umax=50，繼續(xù)在系統(tǒng)中引入隨機分布在區(qū)間[0,10]內(nèi)的噪聲，使用MATLAB的LMI工具箱求解線性矩陣不等式，存在可行解。則同時存在輸入約束、時滯和噪聲的情況下，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 編隊位置誤差變化情況Fig.3 The formation error of the fleet

通過圖2可以看出期望的編隊隊形基本可以形成并保持。圖3表明個體間的期望相對距誤差并未收斂到零，而是收斂到恒定值，說明了基本隊形形成并保持；圖4表明描述了個體速度和期望編隊速度編隊的變化，個體速度達成一致，但是受到時滯和噪聲的影響，個體速度與編隊速度之間存在較小的偏差并未收斂到編隊速度。

圖4 編隊速度誤差變化情況Fig.4 The velocity error of the fleet

4 結(jié)論

文中結(jié)合實際情況，設(shè)計了輸入飽和約束情況下，存在不對稱時滯與外界干擾條件時的多智能體系統(tǒng)編隊控制律。通過理論推導(dǎo)得到了編隊系統(tǒng)達到魯棒一致的LMIs條件，仿真結(jié)果證明了結(jié)論的正確性。

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[6]蘇宏業(yè),潘紅華.一類具有非線性飽和執(zhí)行器的不確定時滯系統(tǒng)魯棒控制[J].控制與決策,2001(15):23-26.SU Hong-ye,PAN Hong-hua.Robust control or a class of uncertain time-delay systems containing nonlinear saturating actuator[J].Control and Decision,2001(15):23-26.

Robust consensus analysis for a class of multi-agent group formation w ith input saturation constraints

ZHOU Shao-lei，YAN Shi，LIU Wei，LI Rui-tao
（Department of Control Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai 264001，China）

In this paper,we research the robust consensus problems for a second-order Multi-Agent group formation with input saturation constraints and asymmetric delays using the Lyapunov-Krasovskii factional method and the LMI method.The double-integrator dynamical model with input saturation constraints is established in the n-dimensional Euclidean space.Then,according to the superposition principle the distributed consensus control algorithm for the model is designed.Further, the nonlinear sector method is used to deal with the saturated elements,then the Lyapunov-Krasovskii factional is established, then the LMI method is used to analysis the robust consensus of the formation systems.After that the LMIs conditions when the formation system is robust consensus.In the last,the simulation proves the correctness of these idea.

input Saturation Constraints;delay;robust consensus;formation control

V21

A

1674－6236（2015）10-0125-05

2014-08-26 稿件編號：201408151

國家自然科學(xué)基金（61273058）

周紹磊(1963—)，男，山東泰安人，博士，教授。研究方向：智能導(dǎo)彈協(xié)同控制。