董 陽(yáng)，彭曉宏，吳艷偉

（北京工業(yè)大學(xué) 北京 100124）

基于MATLAB的Sigma-Delta ADC中數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

董 陽(yáng)，彭曉宏，吳艷偉

（北京工業(yè)大學(xué) 北京 100124）

為了將Sigma-Delta ADC中的SDM（Sigma-Delta Modulator）的輸出碼流降采樣以達(dá)到Nyquist采樣頻率，基于實(shí)際的AUDIO CODEC項(xiàng)目，本文對(duì)兩種數(shù)字濾波器（FIR（Finite Impulse Response）和IIR（Infinite Impulse Response））的MATLAB設(shè)計(jì)進(jìn)行了描述和比較。其所需處理的SDM輸出碼流的過(guò)采樣頻率為11.2896MHz，數(shù)字濾波器完成256倍的降采樣最終達(dá)到采樣頻率為44.1MHz，在音頻范圍內(nèi)其最終仿真結(jié)果均達(dá)到SNDR在14bits以上。

Sigma-Delta ADC；降采樣；FIR；IIR

Sigma-Delta ADC在高精度ADC設(shè)計(jì)中廣泛得到應(yīng)用，其基本原理是通過(guò)SDM的過(guò)采樣將量化噪聲推向高頻，并通過(guò)數(shù)字濾波器完成濾波和降采樣，最終得到精度較高的信號(hào)。數(shù)字濾波器是Sigma-Delta ADC中至關(guān)重要的組成部分，幾乎占據(jù)整個(gè)IP的絕大部分，所以對(duì)數(shù)字濾波器的研究顯得尤為重要。

兩種數(shù)字濾波器（IIR和FIR）各有其優(yōu)缺點(diǎn)，在Sigma-Delta ADC的設(shè)計(jì)中，由于非遞歸FIR濾波器系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性和線性相位，其在實(shí)際電路設(shè)計(jì)中廣泛得到使用。但是其缺點(diǎn)是硬件消耗過(guò)大，為了解決這個(gè)問(wèn)題，許多學(xué)者通過(guò)算法分析提出來(lái)一些切實(shí)可行的方案。

例如：一種方法是Kaiser和 Hamming[1]提出來(lái)的，利用相互連接等同子濾波器并通過(guò)合理的加法乘法運(yùn)算得到的FIR濾波器結(jié)構(gòu)就能節(jié)省硬件消耗并且在文獻(xiàn)[2]中得到擴(kuò)展沿用；另一種方法是利用級(jí)聯(lián)互聯(lián)等同子濾波器實(shí)現(xiàn)FIR濾波器結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[3]中有詳細(xì)分析。相比FIR濾波器，在等同的頻率響應(yīng)系統(tǒng)中IIR濾波器通常會(huì)帶來(lái)相對(duì)較小的硬件消耗，以至于占用較小的芯片面積，這在特定的應(yīng)用中是可以考慮的?？梢?jiàn)，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求，對(duì)于兩種數(shù)字濾波器的折中選擇是尤為重要的。

1 FIR濾波器和IIR濾波器概述

關(guān)于FIR濾波器，應(yīng)用頻率轉(zhuǎn)換特性，將整個(gè)復(fù)合濾波器分解成幾個(gè)相同子模塊。其傳遞函數(shù)H（z）表示為：

其中，線性相位FIR濾波器的階數(shù)為2M+1。子濾波器HM（z）由頻率轉(zhuǎn)換特性決定的，系數(shù)a（n）是有原型濾波器決定的。如文獻(xiàn)[4]描述，通過(guò)控制a（n）和子濾波器的系數(shù)可以改變這個(gè)結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)特性。

然而，由于IIR濾波器具有較少的計(jì)算要求和較少的硬件消耗的優(yōu)勢(shì)，在對(duì)相位要求沒(méi)那么嚴(yán)格的應(yīng)用當(dāng)中，例如：Sigma-Delta ADC[5]音頻信號(hào)處理。采用IIR濾波結(jié)構(gòu)完成SDM輸出碼字的降采樣功能非常具有實(shí)際價(jià)值。其IIR濾波器的傳遞函數(shù)H（z）的表示為：

其中，ai和bi是IIR濾波器的系數(shù)。通過(guò)合理的設(shè)計(jì)ai和bi的值實(shí)現(xiàn)所要求IIR濾波器。

由于傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)是非常復(fù)雜的，尤其是涉及到高階濾波器結(jié)構(gòu)。故為了高效可行的完成對(duì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，本文利用FDATOOL完成對(duì)IIR濾波器架構(gòu)的設(shè)計(jì)，而FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是通過(guò)Simulink模型搭建和Toolbox工具箱來(lái)完成的。

2 IIR濾波器結(jié)構(gòu)

基于FIR濾波器本身所具備的穩(wěn)定性優(yōu)勢(shì)，其完成256倍降采樣的整體框架是由CIC，HBF1，HBF2三級(jí)級(jí)聯(lián)組成，其中CIC完成64降采樣，兩級(jí)HBF分別完成2倍降采樣，以最終達(dá)到Nyquist采樣頻率。系統(tǒng)頻率響應(yīng)的每一級(jí)輸出的數(shù)字碼流的采樣頻率分別為：176.4 kHz，88.2 kHz，44.1 kHz。如果采用一級(jí)直接完成256倍降采樣，對(duì)濾波器要求極高而引起極大的硬件消耗。

CIC模型結(jié)構(gòu)[6]如圖1所示，z-1為單位延遲單元，convert模塊（本文其他數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)均有此模塊，但未在圖中標(biāo)出）用于限定字長(zhǎng)。由于CIC的階數(shù)至少比SDM的多1，所以這里CIC為3階。其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

HBF1和HBF2采用的是Saramaki提出的結(jié)構(gòu)模型，分別如圖2和圖4所示，其中F2為HBF的子濾波器，圖3為HBF1的內(nèi)插子濾波器，圖5為HBF2的內(nèi)插子濾波器。相應(yīng)的系數(shù)（理想仿真值和CSD（Canonical Signed-Digit）值）如表1和表2所示，這些系數(shù)是通過(guò)Toolbox工具箱中的designHBF函數(shù)得到的。圖中的In1和In2是相同的輸入信號(hào)，只是相位相差π。

圖1 CIC模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure diagram of CIC

圖2 HBF1的結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Structure diagram of HBF1

圖3 HBF 1的子濾波器Fig.3 Subfilter of HBF1

3 IIR濾波器結(jié)構(gòu)

IIR濾波器屬于遞歸系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，占用的芯片面積小，但是相位隨頻率非線性變化，使得信號(hào)在時(shí)域會(huì)發(fā)生失真，這對(duì)于相位要求不是特別嚴(yán)格的場(chǎng)合有很重要的意義。由于FIR濾波器自身的缺陷，本文同樣設(shè)計(jì)了IIR濾波器，其整體結(jié)構(gòu)相對(duì)于FIR濾波器的區(qū)別是:把兩級(jí)HBF用一個(gè)二階IIR濾波器代替，如圖6所示。這里的IIR濾波器是根據(jù)切比雪夫原理通過(guò)FDAtool來(lái)實(shí)現(xiàn)的，F(xiàn)DATool設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具箱包含了信號(hào)處理中所有的濾波器設(shè)計(jì)方法，這里，只需設(shè)定既定的參數(shù)即可得到所需要的IIR數(shù)字濾波器。由于IIR濾波器本身的相位非線性，所以其不能設(shè)計(jì)成為高階系統(tǒng)（階數(shù)越高線性度越差），本設(shè)計(jì)完成的是2階系統(tǒng)。關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性，因?yàn)镃IC為FIR濾波器（穩(wěn)定），傳遞函數(shù)為X（z），chebyshev法實(shí)現(xiàn)的IIR濾波器（穩(wěn)定），傳遞函數(shù)為Y（z），當(dāng)把兩個(gè)傳遞函數(shù)相乘時(shí)，X（z）*Y（z），仍為IIR濾波器，其分母為Y（z）的分母，令其為零得到同Y（z）一樣的極點(diǎn)分布，故IIR數(shù)字濾波器部分依舊穩(wěn)定。最終模型同F(xiàn)IR濾波器一樣，IIR濾波器的系數(shù)同樣也要CSD化。

圖4 HBF2的結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Structure diagram of HBF2

圖5 HBF2的子濾波器Fig.5 Subfilter of HBF2

表1 HBF1的系數(shù)Tab.1 Coefficients of HBF1

表2 HBF2的系數(shù)Tab.2 Coefficients of HBF2

圖6 IIR整體結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Overall framework of IIR

4 仿真結(jié)果

數(shù)字濾波器主要是用來(lái)完成帶外噪聲的濾除和降采樣功能，首先看FIR濾波器，CIC結(jié)構(gòu)模型為3階，完成64倍的降采樣同時(shí)粗略濾除了帶外噪聲。兩級(jí)HBF進(jìn)一步完成濾波并降采樣到Nyquist采樣頻率，其中HBF1為151階，通帶紋波0.015 dB，阻帶衰減為-61.9 dB；HBF2為31階，通帶紋波0.000 8 dB，阻帶衰減-81.1 dB，這個(gè)結(jié)果可以通過(guò)頻域沖擊響應(yīng)分析得到。FIR濾波器系統(tǒng)最終輸出碼流的SNDR為92.8 dB，ENOB為15.12 bits，如圖7所示。本設(shè)計(jì)中，F(xiàn)IR濾波器和IIR濾波器主要的區(qū)別在于CIC模型后面的部分，IIR濾波器是切比雪夫模型結(jié)構(gòu)而FIR濾波器為兩級(jí)HBF濾波器。低階IIR濾波器切比雪夫模型的設(shè)計(jì)對(duì)相位的要求并沒(méi)有那么嚴(yán)格，故在時(shí)域內(nèi)并不會(huì)出現(xiàn)過(guò)于明顯的失真，出于較低硬件消耗的考慮，這種結(jié)構(gòu)在音頻信號(hào)處理中依舊是可以得到應(yīng)用的，其仿真結(jié)果如 8所示，SNDR為 86.8 dB，ENOB為14.13 bits，兩種結(jié)構(gòu)均達(dá)到預(yù)先要求的14 bits精度。

圖7 FIR仿真結(jié)果Fig.7 Simulation result of FIR

圖8 IIR仿真結(jié)果Fig.8 Simulation result of IIR

5 結(jié) 論

本文介紹的是AUDIO CODEC項(xiàng)目中Sigma-Delta ADC數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，其中FIR濾波器的結(jié)構(gòu)模型和系數(shù)CSD化為項(xiàng)目的實(shí)際要求所定，其結(jié)構(gòu)用Verilog硬件描述語(yǔ)言數(shù)字實(shí)現(xiàn)，完成了與MATLAB模型的精確數(shù)據(jù)比對(duì)，并且成功流片。IIR濾波器的設(shè)計(jì)是為了節(jié)省硬件消耗所作出的探索，其MATLAB實(shí)現(xiàn)符合本項(xiàng)目所要求的14 bits精度。兩種數(shù)字濾波器之間的折中選擇是本文所要重點(diǎn)闡述的內(nèi)容，如果芯片面積寬裕，采用線性相位的FIR濾波器來(lái)完成數(shù)字濾波和降采樣是首選方案，因?yàn)閺姆抡鎴D上可以看出，F(xiàn)IR濾波器相對(duì)IIR濾波器的最終仿真結(jié)果有效位數(shù)要多出近1bit。但是實(shí)際要求若對(duì)面積要求苛刻，在對(duì)相位要求沒(méi)那么高的系統(tǒng)當(dāng)中，例如本設(shè)計(jì)要求的14 bits Sigma-Delta ADC設(shè)計(jì)，IIR數(shù)字濾波器是非常具有實(shí)際價(jià)值的。

[1]Kaiser J F，Hamming R W.Sharpening the response of asymmetric nonrecursive filter by multiple use of the same filter[J].IEEE Trans.Acoust.，Speech，Signal Processing，1997:415-422.

[2]Hartnett R J，Boudreaux-Bartels G F.Improved filtersharpening[J].IEEE Trans.Signal Processing，1995，43（12）: 2805-2810.

[3]Oppenheim A V，Mecklenbrluker W F，Mersereau R M.Variable cutoff linear phase digital filters[J].IEEE Trans.CircuitsSyst.，1976:199-203.

[4]Saramaki T.Design of FIR filters as a tapped cascadedinterconnection of identical subfilters[J].IEEE Trans.Circuits Syst.，1987:1011-1029.

[5]Daneshgaran F，Laddomada M.A novel class of decimation filtersforΣ△A/D converters[J].W ireless Communications and MobileComputing，2002:867-882.

[6]HOGENAUER E B.An economical class of digital filters fordecimation and interpolation[J].IEEE Trans.Acoust.Speech SignalProcess.，1981:155-162.

Design of digitalfilter for Sigma-Delta ADC based on MATLAB

DONG Yang，PENG Xiao-hong，WU Yan-wei
（Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

In order to down-sample the output codes of SDM（Sigma-Delta Modulator）to Nyquist frequency within Sigma-Delta ADC.In this paper，two types of digital filters have been shown and the comparison of the FIR（Finite Impulse Response）and IIR （InfiniteImpulse Response）digital filter are presented based on MATLAB in the actual program AUDIO CODEC，the input signal need to be coped is 11.2896 MHz digital codes and 256 times down-sampling will be realized by digital filters to achieve 44.1MHz at the final output，both of the simulation results achieved SNDR above 14bits in audio frequency range.

Sigma-Delta ADC；down-sample；FIR；IIR

TN302；TN432

A

1674－6236（2015）10-0175-04

2014-08-30 稿件編號(hào)：201408114

國(guó)家自然科學(xué)基金(61204040,60976028)；北京市自然科學(xué)基金(4123092)；教育部博士點(diǎn)基金(20121103120018)

董 陽(yáng)（1989—），男，河北廊坊人，碩士研究生。研究方向：模擬集成電路設(shè)計(jì)。