文 萍

(玉溪師范學院理學院,云南玉溪653100)

冪和公式系數(shù)L7,3≠291

文 萍

(玉溪師范學院理學院,云南玉溪653100)

冪和公式;系數(shù)值;李善蘭數(shù)

研究了自然數(shù)冪和公式中的系數(shù)值問題,并對文獻[1～3]存在的個別問題及系數(shù)L7,3的取值錯誤進行求正.

眾所周知,所謂“冪和公式”是指求自然數(shù)的前n項方冪和的公式,這是一個古老的問題,具體例子也已多見.其一般形式由我國清代數(shù)學家李善蘭首先完整給出,用現(xiàn)代形式表示如下：(1)式中的Lp,i就稱為李善蘭數(shù)[1,2].文獻[2]和文獻[3]中都給出了Lp,i的數(shù)值表.而通過研究,筆者可以發(fā)現(xiàn)其中的L7,3≠291,下面詳細說明推導方法.

當p=7時,

也就是：

從文獻[2]和文獻[3]給出的Lp,i的數(shù)值表,具體到L7,i為：

而對于L7,3=L7,5≠291,我們可以從以下三個角度來來進行判定：

其一：取n=1,利用上面的公式(2),有：

其中,Cmn當n＜m時均定義為0,即L7,1=1.

再取n=2,有

即129=C89+L7,2,得7,2=120.

現(xiàn)取n=3,有

也就是2316=45+120×9+L7,3,于是可得L7,3=L7,5=1191.所以說,李善蘭數(shù)L7,3=L7,5≠291.

其二：根據(jù)李善蘭數(shù)的遞推公式

可知

相應的

還可以從L8,3=(8-3+1)L7,2+3L7,3算得L7,3=1191.

其三：觀察文獻[2]、[3]給出的李善蘭數(shù)值表,當i＞1時Lp,i都是關于p的遞增數(shù)列,為何對于Lp,3卻有：1,11,66,302,291,4 293,14 608,…,即其中L6,3=302,L7,3=291,突然呈下降趨勢,顯然與遞推公式的變化態(tài)勢有矛盾.

而對于上述錯誤,由于筆者所掌握的資料有限,很難對其原因進行詳盡的考證,但根據(jù)文獻[1]提供的圖表4-9、4-10、4-11、4-12等的寫法,筆者猜測,其是否是將中文大寫的“一一九一”當成291所致.

另外還要說明的是,文獻[3]第197頁第2行的遞推公式也有錯,等式右端第一項里的Lp-1,j應為Lp-1,j-1,表1-5中的L5,4=20也是錯的,應為L5,4=26.

[1]李迪.中國數(shù)學史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社,1984.

[2]汪曉勤,韓祥臨.中學數(shù)學中的數(shù)學史[M].北京：科學出版社,2002.

[3]沈康身.數(shù)學的魅力：(四)[M].上海：上海辭書出版社,2006.

The Coefficient of the Formula of the Sum Powers L7,3≠291

WEN Ping
(School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100,China)

the Formula of the Sum Powers;coefficient;Li Shanlan Numbers

In this paper,the coefficient of the Formula of the Sum Powers was studied and some problems in Documents 1～3 and the errors in the coefficient L7,3were corrected.

文 萍,碩士,講師,研究方向：數(shù)學教育和代數(shù)學.

O157.1

A

1009-9506(2015)08-0039-02

2015年5月9日