張友梅

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽合肥238000)

不定積分∫csc xdx的解法研究①

張友梅

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽合肥238000)

不定積分;余割函數(shù);恒等變形;湊微分

通過對(duì)余割函數(shù)作不同的恒等變形,利用湊微分、換元等方法得到不定積分∫csc xd x的多種解法.不定積分的求解具有方法靈活性大、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn),而通過對(duì)不定積分多種求解方法的練習(xí),不僅可以選擇出問題簡(jiǎn)潔的求解方法,同時(shí)有效地培養(yǎng)了學(xué)生的靈活性和創(chuàng)造性. [作者簡(jiǎn)介]張友梅,碩士,講師,研究方向：泛函微分方程及數(shù)學(xué)教育教學(xué).

不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),其求解方法靈活性大,技巧性強(qiáng),而且同一個(gè)不定積分往往有多種不同的求解方法[1].例如,對(duì)于不定積分∫csc xdx的求解,很多高等數(shù)學(xué)教材都給出不同的

解法,如教材[2～4]都給出兩種不同的解法.實(shí)際上,不定積分∫csc xd x還有一些更為簡(jiǎn)便的解法,當(dāng)然也有一些解法是較為復(fù)雜的.對(duì)此,本文通過對(duì)余割函數(shù)作不同的恒等變形,利用湊微分、換元等方法對(duì)不定積分∫csc xdx的多種解法進(jìn)行分析和求解,目的是培養(yǎng)學(xué)生的靈活性與創(chuàng)造性.

例 求不定積分∫csc xdx

分析 顯然∫,csc xdx不能直接用基本積分公式來求解,且被積函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,這給求積分帶來一定的困難.但是,考慮到余割函數(shù)屬于三角函數(shù),而三角函數(shù)有諸多的恒等變形公式,這就給解題打開了廣闊的思路.通過對(duì)余割函數(shù)csc x作不同的恒等變形,利用湊微分、換元等方法,我們可以得到不定積分∫csc xdx的多種解法.

思路一 利用倒數(shù)關(guān)系sin x csc x=1和倍角公式,對(duì)余割函數(shù)csc x進(jìn)行恒等變形,滿足湊微分,再運(yùn)用基本積分公式解題.

解法一

解法二

這是一種最常見的解法,大多數(shù)教材都采取這種解法.

思路三 對(duì)余割函數(shù)分子分母同乘以函數(shù)csc x-cot x,直接湊微分解題.

解法三

思路四 利用倒數(shù)關(guān)系sin x csc x=1和平方關(guān)系sin2x=1-cos2x對(duì)余割函數(shù)csc x進(jìn)行恒等變形,再湊微分求解.

解法四

解法五

思路六 數(shù)學(xué)的各部分之間是相互聯(lián)系、相互滲透的,例如解方程組和求不定積分就有一定的內(nèi)在聯(lián)系,對(duì)于某些不定積分,可以通過構(gòu)造方程組來求解,而且能夠降低求解的難度[5].本題根據(jù)所求積分的特點(diǎn),可構(gòu)造另一積分,聯(lián)立方程組求解.

思路七 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)時(shí)有理式時(shí),其積分總是可以使用萬能代換進(jìn)行換元,將被積函數(shù)由三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成有理函數(shù),再根據(jù)有理函數(shù)的積分法求出其解[6].

思路八 換元是求不定積分的最常用最重要的方法,本題亦可通過多次換元求解.

思路九 利用公式1=cot x tan x,嘗試用分部積分法解題.

解法九

比較而言,解法三形式上最為簡(jiǎn)潔,但思維上不易想到,解法一與解法七是最常見的解法,也是較好的解法,而解法八與解法九都較為復(fù)雜.由此可見,不定積分的解法是靈活多變的,其結(jié)果在形式上也不盡相同,但利用三角恒等式化簡(jiǎn),本題結(jié)果中的四種不同形式均是一致的.通過一題多解的訓(xùn)練,不僅可以選擇出問題簡(jiǎn)潔的求解方法,同時(shí)有效地培養(yǎng)了學(xué)生的靈活性和創(chuàng)造性.

[1]吳維峰.對(duì)不定積分一題多解的分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(6)：11-13.

[2]高汝熹.高等數(shù)學(xué)：(一)：微積分[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,1998：234-235.

[3]柳重堪.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)：第一分冊(cè)[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社,2002：260.

[4]同濟(jì)大學(xué)等編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2003：229.

[5]毛北行,李新芳.方程組解法在求不定積分中的應(yīng)用[J].河南機(jī)電高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2013,21(6)：99-100.

[6]胡靜波.高等數(shù)學(xué)的發(fā)散思維培養(yǎng)研究[J].湖北科技學(xué)院學(xué)報(bào),2013,33(12)：29-30

The Solution to Indefinite Integral∫csc xdx

ZHANG Youme

(Department of Basic Courses,Hefei Vocational&Technical College,Hefei,Anhui,238000,China)

indefinite integral;cosecant function;identical deformation;improvising differentiation

The solution to indefinite integral∫csc xdx is obtained by using various methods such as improvising differentiation and variable change through different identical deformation of cosecant function.Practice with various solving methods of indefinite integral can help students choose a simple one and cultivate their flexibility and creativity.

O157.1

A

1009-9506(2015)08-0035-04

2015年4月27日

安徽高校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目《高等數(shù)學(xué)》精品課程,編號(hào)：2013gxk161;合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目《高等數(shù)學(xué)》精品課程,編號(hào)：JPKC201302.