張東偉 郭 英 齊子森 侯文林 張 波 李 教

1 引言

跳頻（Frequency Hopping, FH）通信因其優(yōu)越的抗干擾、抗截獲和多址組網(wǎng)等能力，在軍事通信系統(tǒng)及各式民用信息系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[1]。對FH偵察的研究一直是通信偵察和無線電頻譜監(jiān)測等領(lǐng)域的熱點問題。

針對FH信號的盲檢測識別，已有研究主要集中在對載頻、跳周期等參數(shù)的估計[26]-，較少關(guān)注空域信息。而FH信號方位對目標屬性識別、跟蹤、分選具重要作用。文獻[7]利用電磁矢量天線進行FH信號波達方向（Direction Of Arrival, DOA）估計，但最多僅能處理5個信號。文獻[8]提出了信源數(shù)已知前提下的FH信號DOA估計方法，但要求陣元數(shù)大于信源數(shù)，且計算量會隨著信號數(shù)目、跳速的增加成倍增加。文獻[9]提出了合作方FH信號DOA估計方法，難以應(yīng)用于缺少先驗信息的偵察環(huán)境。文獻[10]提出的空時頻方法具有良好的信號選擇性、干擾和噪聲抑制能力，在盲信號分離和線性調(diào)頻等信號 DOA估計中取得了優(yōu)于傳統(tǒng)方法的性能。文獻[11,12]基于空時頻處理分別實現(xiàn)了FH信號和跳頻/直擴（Frequency Hopping & Direct Sequence, FH/DS）混合擴頻信號的DOA欠定估計，但在多信號環(huán)境下測向性能易出現(xiàn)“地板效應(yīng)”。極化是電磁波的重要屬性。當多個輻射源的信號特征在時、頻、空域中均非常接近以至無法區(qū)分時，利用其極化域特征差異仍有可能將其分離。FH信號極化信息結(jié)合DOA可有效輔助信號分選、跟蹤等。同時，極化信息的引入利于提高陣列的 DOA估計精度?？紤]到實際應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)欠定情況。綜上所述，在欠定條件下開展FH信號DOA與極化狀態(tài)的聯(lián)合估計具有重要現(xiàn)實意義，但關(guān)于該問題的研究鮮有報道。

本文首先利用FH信號各跳的時頻聚集性和單源特性，將線性時頻分析引入極化敏感陣列信號，推導(dǎo)空間極化短時傅里葉變換（Spatial Polarimetric Short Time Fourier Transform, SPSTFT）矩陣形式；然后基于SPSTFT矩陣和空間極化時頻分布（Spatial Polarimetric Time-Frequency Distributions,SPTFD）矩陣，考慮頻率碰撞，提出3種不同方法估計FH信號DOA與極化參數(shù)；為抑制交叉項，精確定位各跳在時頻面上的自項區(qū)域，還給出一種高時頻聚焦性的FH信號時頻分析方法；最后給出了實驗仿真數(shù)據(jù)和性能分析結(jié)果。

2 FH信號的極化敏感陣列觀察模型

設(shè)FH信號 sn（ t）的跳周期為Tn，在觀測時間Δt內(nèi)共包含K個跳，第k（k = 1,2,…,K）跳載頻為ωnk，起始跳持續(xù)時長為Δt0n，則sn（t）可表示為[2]

其中，t ' = t - （ k - 1 ）Tn-Δt0n,vn（ t） 是 sn（t） 的基帶復(fù)包絡(luò)，φnk是第k跳的初相，rect（ t）為單位矩形窗。

M元極化敏感陣列如圖 1所示，陣元間距為d（d ＜ c/2fmax, fmax為偵測頻段內(nèi)FH信號載頻最大值），定義坐標原點的陣元為參考陣元。FH信號為寬帶信號，如果分析某一跳，可簡化為窄帶模型。假設(shè)極化參數(shù)為（γ, η）（γ ∈[0,π/2]為極化輔角，η∈[0,2π]為極化相位差）的窄帶平面波信號S以俯仰角 θ ∈ [ 0,π / 2]和方位角 φ ∈ [ 0,2π]沿單位方向矢量-u入射（為簡化模型并不失一般性，假定信源位于X-O-Y平面，即θ=90°），則極化矢量表示為[13]

式中，yγ,zγ分別表示沿y, z兩個方向的電場分量，上標T表示轉(zhuǎn)置。假設(shè)陣列單元增益均為 1，忽略單陣元共點接收通道不一致及互耦影響，陣列對信源S的導(dǎo)向矢量為

圖1 正交偶極子對均勻線陣

其中，c為光速，ωin為瞬時頻率，“?”為Kronecker積。若空間存在N個信源 s1～sN，陣列流型矩陣為

則陣列的快拍數(shù)據(jù)矩陣為

式中，（）tS為空間信源的1N×維數(shù)據(jù)矢量；（）tN為陣列的2 1M× 維噪聲數(shù)據(jù)矢量。

3 SPTFD及其線性時頻擴展形式SPSTFT

空間極化時頻分布（SPTFD）是指將時頻分布擴展至極化敏感陣列信號處理。對于信號x1（ t）和x2（ t），離散時間形式的Cohen類互時頻分布為其中，（,）lφτ為核函數(shù)。SPTFD矩陣定義為[13]

其中，[DXX（ t, f） ]ij=Dxixj（t, f） ,i, j = 1,2,… ,2 M 為陣列輸出信號間的互時頻分布。根據(jù)式（5），得時頻域陣列協(xié)方差模型

E[DXX（t, f ）]與A具有相同的子空間特性。為確保E[DXX（t, f ）]滿秩，通常選擇關(guān)注信號的多個自項時頻點采取聯(lián)合對角化或平均處理對其進行估計[13]。

相比于Cohen分布，STFT無交叉項干擾、計算量小，實際中FH信號出現(xiàn)頻率碰撞的概率很小，無需借助 SPTFD矩陣子空間多源處理能力，因此在要求快速估計場合，可將Cohen分布用STFT替代。極化敏感陣列信號STFT形式為

式中， i = y1, y2, … ,yM,z1, z2,… ,zM,g（ t） 是時間窗函數(shù)。以 S TFTxi（t, f）為元素構(gòu)造SPSTFT矩陣，有

由式（9）可見，構(gòu)造SPSTFT矩陣的計算量顯著低于SPTFD矩陣。

4 DOA與極化參數(shù)聯(lián)合估計

在構(gòu)造各跳信號的SPTFD/SPSTFT矩陣基礎(chǔ)上，利用其蘊含的空-極化域特征信息估計DOA和極化參數(shù)。推導(dǎo)中假設(shè)：（1）任一時頻點對應(yīng)的信號數(shù)小于陣元數(shù)（即使出現(xiàn)頻率碰撞，該假設(shè)也易滿足）；（2）各FH信號不相關(guān)，陣元間噪聲不相關(guān)。

4.1 基于SPSTFT/SPTFD矩陣和多項式求根的FH信號DOA與極化參數(shù)聯(lián)合估計

方法 1 基于SPSTFT矩陣的估計方法

根據(jù)式（10），對于信號 sn第i跳的有效時頻點（ta,fa），其SPSTFT矩陣為

由上式得此跳所在信號DOA與極化參數(shù)估計為

式中，arcsin{}?為反正弦函數(shù)，angle（）?表示取相位。

式中，arctan{}?為反正切函數(shù)，abs（）?表示取模運算。

方法 2 基于SPTFD矩陣的估計方法

根據(jù)式（8），時頻點（ta,fa）的SPTFD矩陣為

對該跳的全部有效時頻點求平均，得到

其中， σ2為噪聲方差。令 b =e-jωindsinφi/c，有

分 別 令 Q1=E{ DXyXy（t, f ）}|in, Q2=E{ DXyXz（t,f） } |in,Q3=E{DXzXy（t, f ）}|in和 Q4=E{ DXzXz（t ,f） } |in，由式（19）得此跳對應(yīng)FH信號DOA與極化參數(shù)估計為

方法 3 基于參數(shù)“去耦”和多項式求根的估計方法

當某跳出現(xiàn)頻率碰撞的多源情況時，方法1、方法2不再適用（當然，方法3同樣適用于無頻率碰撞情況）。此時對SPTFD矩陣 E { DXX（t, f）}|in進行特征分解，得到噪聲子空間 UN，由子空間原理有

考慮噪聲和有限快拍數(shù)影響，定義如式（24）所示的優(yōu)化問題估計信源方位和極化狀態(tài)

通過式（25）的參數(shù)“去耦”，（）φF中只包含波程差導(dǎo)致的相位差，而極化參數(shù)只包含于Υ中。將式（25）代入式（23）得到

當且僅當φ為信源真實方位時，式（26）成立。由于Υ不全為 0，根據(jù)秩損理論[14]，可通過 1維角度搜索得到此跳對應(yīng)FH信號的DOA估計值

其中， λmin[?]為求矩陣最小特征值算子。通過式（27）估計仍需1維搜索，為進一步降低運算量，下面通過多項式求根估計。由式（25）和式（26），有

n1n2足UN=[U]T。令 b =e-jωindsinφi/c，重寫α（φ）為

此時，式（27）轉(zhuǎn)換為一個關(guān)于b的多項式求根問題，等價為

式中， k = 1 ,2,3,4;l = 1,2,… , 2 M -1。因此，多項式m1m4和 m2m3的系數(shù)向量 gp,q分別為

選擇式（33）的L個最靠近單位圓不等根用于估計方位角。此時,k =1,2,… ,L 的計算式為

這里kb表示用于估計的一個根。對于每一個，極化矢量估計值為

式中，mine[]?表示求矩陣最小特征值對應(yīng)特征矢量算子。因此極化參數(shù)估計值為

由以上分析可知：

（1）方法1和方法2直接利用SPTFD/SPSTFT矩陣元素估計FH信號參數(shù)，計算量很小，利于實時處理。方法3通過參數(shù)“去耦”和多項式求根避免了角度搜索和配對，且能處理頻率碰撞的跳。

（2）只要空間各FH信號在時頻域上存在差異，就可分別構(gòu)造其SPTFD/SPSTFT矩陣，利用所提方法依次估計各信號參數(shù)，從而使陣列系統(tǒng)所能處理的FH信號總數(shù)不受陣元數(shù)限制。

4.2 FH信號時頻分析和SPTFD/SPSTFT矩陣高效構(gòu)造方法

選取自項時頻點構(gòu)造SPTFD/SPSTFT矩陣是4.1節(jié)所提方法估計性能正常發(fā)揮的前提。Wigner-Ville分布（WVD）具有最佳的時頻聚焦性能，但對FH信號存在嚴重的交叉項干擾且抗噪性能一般。平滑偽 WVD（Smoothed Pseudo WVD, SPWVD）經(jīng)過時、頻域兩次平滑，在交叉項抑制、時頻聚焦性和抗噪能力三方面取得了很好平衡?？梢?，WVD與 SPWVD性能上互為補充。為此，將 WVD和SPWVD組合，使兩者的優(yōu)勢均得以保留用于 FH信號分析。將參考陣元的SPWVD, WVD結(jié)果分別記為 S PWVDx1x1（t, f ）,W VDx1x1（t, f ） 。構(gòu)造方法為：

步驟 1 將 S PWVDx1x1（t, f ） 與 W VDx1x1（t, f ） 點乘，得到時頻模具矩陣 T FMx1x1（t, f），即

其中，‘⊙’表示Hadamard積。

步驟 2 將 T FMx1x1（t, f ） 進行截斷處理得到自項時頻地圖 T FAx1x1（t, f ）并進一步降噪，有

式中，Th為截斷門限，計算公式為

其中，μ為門限因子，Mean{?}為取均值算子。

步驟 3 將 T FAx1x1（t, f ） 與 S PWVDx1x1（t, f ） 點乘得到組合時頻分布 T FSYx1x1（t, f），為

圖2為3個FH信號在信噪比5 dB時的WVD,SPWVD和組合時頻分布結(jié)果?？梢?，組合時頻分布沿襲了WVD時頻分辨率，交叉項和噪聲也消除殆盡。由式（39）和式（41）知， T FSYx1x1（t, f ）中各跳的自項區(qū)域為 S PWVDx1x1（t, f ）中對應(yīng)跳的子集，因此，根據(jù)參考陣元確定的各跳自項區(qū)域提取各陣元時頻點構(gòu)造SPSTFT/SPTFD矩陣。對于SPTFD，時頻分布采用與SPWVD性能近似計算量卻大為降低的SPW分布。

4.3 多參數(shù)聯(lián)合估計算法步驟

根據(jù)以上推導(dǎo)和闡述，可得 FH信號多參數(shù)聯(lián)合估計算法步驟為：

步驟 1 根據(jù)式（38）～式（41）對參考陣元快拍數(shù)據(jù)進行組合時頻分布，定位各跳自項時頻區(qū)域；

步驟 2 估計某跳對應(yīng)的信源數(shù)L，若L大于1，轉(zhuǎn)入步驟6；

步驟 3 選擇估計方法，方法 1轉(zhuǎn)入步驟 4，方法2轉(zhuǎn)入步驟5，方法3轉(zhuǎn)入步驟6；

步驟 4 由式（9）構(gòu)造 SPSTFT 矩陣，根據(jù)式（13）～式（15）估計信源參數(shù)；

步驟 5 由式（7）構(gòu)造 SPTFD 矩陣，根據(jù)式（20）～式（22）估計信源參數(shù)；

步驟 6 由式（7）構(gòu)造 SPTFD矩陣，對其進行特征值分解得到噪聲子空間 UN，求解式（33），選擇最靠近單位圓的L個根，根據(jù)式（34）～式（37）估計各信源參數(shù)；

步驟 7 返回步驟2直至完成所有跳估計。

5 仿真與分析

實驗 1 暫無頻率碰撞，空間存在FH1, FH2和FH3，為檢驗各方法性能，同時比較方法1和方法3與文獻[12]對應(yīng)方法的性能差異，用z軸方向短偶極子輸出構(gòu)造各跳的空時頻矩陣，得到性能曲線如圖3～圖7所示。

圖3～圖7表明，本文所提3種方法對信源方位和極化參數(shù)均取得了優(yōu)異的估計性能：SNR≥4 dB時，方位角RMSE已降至1°以內(nèi)；SNR≥6 dB時，極化參數(shù)RMSE已降至1°以內(nèi)。由于3種方法原理上都是利用信號與噪聲之間的不相關(guān)性實現(xiàn)信號與噪聲分離，再利用陣列相差完成測向，故3種方法的估計性能差別不大（相比之下，方法3略優(yōu)于方法1和方法2，主要因為方法3為子空間類方法，具超分辨能力）；相對于信源方位，極化參數(shù)的RMSE略大，這是因為極化參數(shù)的估計誤差受噪聲和信源方位估計精度的綜合影響。

從圖3和圖6可見，關(guān)于DOA估計性能，本文方法1優(yōu)于文獻[12]的線性空時頻法，方法3優(yōu)于文獻[12]的二次空時頻法。這主要由于本文方法基于雙極性陣列展開，相比于文獻[12]采用的單極性陣列，陣列流型的空間維度加倍，可供利用的有效信息更多。

實驗 2 4個FH信號同時存在，為驗證方法3在欠定條件和頻率碰撞時的估計性能同時比較方法3與文獻[13]算法的性能差異，設(shè)定兩FH信號發(fā)生頻率碰撞的概率為1（每次實驗隨機選擇一跳發(fā)生碰撞），3個信號以上碰撞概率為0，其余條件與實驗1相同，得到性能曲線如圖8～圖10所示。

圖2 多跳頻信號的時頻分布結(jié)果

圖3 方法1和文獻[12]的DOA估計性能

圖4 方法1的極化參數(shù)估計性能

圖5 方法2的DOA和極化參數(shù)估計性能

圖6 方法3和文獻[12]的DOA估計性能

圖7 方法3的極化參數(shù)估計性能

圖8 方法3和文獻[13]的DOA估計性能

圖10 方法3和文獻[13]的極化相差估計性能

圖9 方法3和文獻[13]的極化幅角估計性能

由圖8～圖10可見，在欠定條件和存在頻率碰撞時，方法3性能依然良好：SNR＞8 dB時RMSE＜3°,SNR≥14 dB時RMSE＜1°。SNR≤10 dB時，實驗 2的估計性能差于實驗 1，原因在于：一是頻率碰撞時對應(yīng)跳為多源估計，性能差于無碰撞的單源情況；二是相比于實驗1, 4個信號共存在一定程度上加劇了信號間互擾。單看RMSE值，方法3的估計性能稍優(yōu)于文獻[13]中的算法。這主要由于本文采取組合時頻分布選取時頻點構(gòu)造 SPTFD矩陣，相比于文獻[13]采用的PWVD具有更好的時頻聚焦性，即對多信號間互擾具有更好的抑制能力。同時，方法3無需角度搜索。

實驗2設(shè)定的碰撞概率條件非?？量?，已遠超實際情況，通常兩個電臺某跳發(fā)生頻率碰撞已屬小概率事件，因此方法3處理頻率碰撞情況FH信號多參數(shù)估計具有優(yōu)異性能。實際中可綜合考慮處理性能要求（尤其是碰撞跳的分離）與計算量對 3個方法進行靈活選擇。

6 結(jié)束語

信源方位結(jié)合極化信息可有效輔助多跳頻網(wǎng)臺分選和信號識別、跟蹤。實際偵察活動中，空間信源數(shù)未知而偵察系統(tǒng)陣元數(shù)有限，特別是戰(zhàn)時跳頻組網(wǎng)密度高，易出現(xiàn)欠定情況。本文詳細推導(dǎo)建立了 FH信號的極化敏感陣列快拍數(shù)據(jù)模型，在此基礎(chǔ)上提出3種不同方法實現(xiàn)了FH信號DOA與極化參數(shù)的高效聯(lián)合估計。理論分析和仿真實驗表明所提方法可以很好地解決欠定條件和頻率碰撞情況下FH信號的多參數(shù)聯(lián)合估計問題。

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