柳杰，張中慶

（浙江大學(xué)海洋科學(xué)系，浙江 杭州310058）

0 引 言

直流電測(cè)井的正演方法研究由最初的解析方法逐步發(fā)展為以數(shù)值計(jì)算為主體的仿真模擬。有限元法［1－2］、數(shù)值模式匹配法［3］、有限差分法［4］等非均勻介質(zhì)數(shù)值計(jì)算方法引入到電法測(cè)井的數(shù)值模擬中。仵杰等［5］提出一種基于有限元數(shù)值計(jì)算離散電位數(shù)據(jù)的電流線繪制方法得到了側(cè)向測(cè)井儀器在地層中的電流線近似分布情況，這種處理本質(zhì)上屬于數(shù)據(jù)后處理技術(shù)，得到的并不是真實(shí)的電流線分布，其效果依賴于步長(zhǎng)選擇、方向判斷、突變點(diǎn)的處理和終止點(diǎn)的控制。張庚驥等［6］最早將電流勢(shì)方法應(yīng)用在自然電位測(cè)井中，取得了良好的效果，繪制出了自然電位在井中的電流線分布情況。

絕大多數(shù)數(shù)值算法都是基于電位勢(shì)方程求解空間中離散點(diǎn)的電位值，對(duì)電位值求微分得到電流值?；谏鲜霾蛔?，本文利用電流勢(shì)的偏微分方程求解電流場(chǎng)，采用有限元方法進(jìn)行模擬。以雙側(cè)向測(cè)井儀器為例，研究表明，電流勢(shì)方法不僅能夠準(zhǔn)確繪制出儀器激勵(lì)在地層中真實(shí)電流線分布，還能夠?qū)x器的探測(cè)深度、分辨率以及不同地層模型下的探測(cè)特性進(jìn)行考察，為儀器的設(shè)計(jì)制造和結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析提供有效的依據(jù)。

1 電流勢(shì)算法

1．1 穩(wěn)流場(chǎng)的電流勢(shì)描述

理論上，場(chǎng)量描述標(biāo)量勢(shì)和向量勢(shì)是等價(jià)的，電流勢(shì)屬于向量勢(shì)描述。定義J表示電流勢(shì)，其在極坐標(biāo)中任意一點(diǎn)（r，z）的大小可以表示為［7］

式中，I為電源電流。

由式（1），考慮對(duì)井軸具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的情況，電流密度的r分量和z分量可以表述為

式（2）和式（3）是均勻介質(zhì)中點(diǎn)電極所形成電流密度，并且可以得到從點(diǎn)電源出發(fā)的任一直線上J為常數(shù)，即電流線和等J線一致。

二維直流電場(chǎng)中，求解區(qū)Ω內(nèi)滿足場(chǎng)強(qiáng)旋度為0，即

微分形式歐姆定律可以表示為

式中，ρ為介質(zhì)電阻率。

由式（2）至式（5）可得

式（6）就是電流勢(shì)方式描述下的直流電場(chǎng)控制微分方程。求解式（6）得到空間求解域各點(diǎn)的離散電流勢(shì)值，繪制電流勢(shì)的等值線圖即可得到測(cè)井儀器激勵(lì)在地層中真實(shí)的電流線分布圖，這也是電流勢(shì)法處理的優(yōu)勢(shì)所在。

1．2 電流勢(shì)方程的有限元法求解

在具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的地層介質(zhì)中，求解域退化為子午面上的矩形區(qū)域。雙側(cè)向測(cè)井的求解域Ω中，電流勢(shì)在電極表面和絕緣環(huán)表面分別滿足的邊界條件

式中，n為邊界的法向單位向量；C為常數(shù)。

由式（6）以及電流勢(shì)所滿足的邊值條件可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求泛函極值問(wèn)題。泛函式

式中，Ω為求解域；Φ1（J）為求解區(qū)域的功率損耗之半；Φ2（J）為電極系提供的功率源［8］；UE為電極電壓；IE為電極電流。

由泛函表達(dá)式的積分特點(diǎn)，在程序中優(yōu)先選用矩形元素對(duì)求解域空間進(jìn)行離散剖分。離散式（9）從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于各個(gè)結(jié)點(diǎn)電流勢(shì)的二次函數(shù)。對(duì)該多元二次函數(shù)取極值可得到關(guān)于各結(jié)點(diǎn)Ji（i＝1，2，…，N）的代數(shù)方程組

式中，系數(shù)矩陣［P］具有電阻的量綱，Ji為各結(jié)點(diǎn)的電流勢(shì)；右端項(xiàng)Ui為各結(jié)點(diǎn)的電壓值。

求解式（10）就可以得到所需參數(shù)［9－10］。

2 數(shù)值模擬分析

2．1 儀器探測(cè)深度考察

由徑向積分幾何因子理論可知，側(cè)向測(cè)井的探測(cè)深度可以定義為徑向積分幾何因子為0．5時(shí)的圓柱體半徑，此時(shí)該無(wú)限厚圓柱體介質(zhì)對(duì)側(cè)向測(cè)井視電阻率的貢獻(xiàn)率為50%，視電阻率可以表示為

由式（11）可計(jì)算偽幾何因子

式中，Jx0（γ）為侵入半徑為γ時(shí)的偽幾何因子；Ra為視電阻率；Rxo為侵入半徑無(wú)窮大時(shí)的視電阻率；Rt為無(wú)侵入時(shí)原狀地層視電阻率。

地層模型參數(shù)為井眼直徑0．2032m；泥漿電阻率0．1Ω·m；侵入帶電阻率1Ω·m；原狀地層電阻率10Ω·m。在實(shí)際測(cè)井中通常要考慮儀器的組合使用，為了不使儀器的總體長(zhǎng)度變長(zhǎng)，可采取不對(duì)稱的電極系結(jié)構(gòu)，此時(shí)必然會(huì)對(duì)儀器的探測(cè)特性造成影響。通過(guò)改變雙側(cè)向測(cè)井儀器最外側(cè)A2屏蔽電極和主電極A0的尺寸參數(shù)（見表1）考察儀器探測(cè)深度的變化規(guī)律。從圖1的偽幾何因子曲線可知，當(dāng)A2屏蔽電極長(zhǎng)度一定時(shí)，隨著主電極A0長(zhǎng)度變短，深側(cè)向和淺側(cè)向的探測(cè)深度都變淺，且對(duì)深側(cè)向的影響更大；當(dāng)A0電極長(zhǎng)度保持不變時(shí)，隨著外側(cè)屏蔽電極A2長(zhǎng)度的變小，深側(cè)向和淺側(cè)向的探測(cè)深度均減小，且對(duì)深側(cè)向探測(cè)深度影響更大。

表1 儀器外側(cè)屏蔽電極A2和主電極A0結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖1 偽幾何因子曲線

2．2 儀器分辨率考察

儀器分辨率主要通過(guò)2個(gè)方面進(jìn)行考察，一是不同長(zhǎng)度的A2外側(cè)屏蔽電極情形下儀器的分辨率；二是不同長(zhǎng)度主電極A0情形下儀器的分辨率（尺寸參數(shù)見表1）。

地層模型參數(shù)為井眼半徑為0．1016m；泥漿電阻率0．1Ω·m；目的層電阻率10Ω·m；圍巖電阻率1Ω·m；目的層厚度由薄到厚依次為0．1524、0．3048、0．6096、0．762、1．524m。

圖2 Case1和Case2不同目的層厚的響應(yīng)曲線圖

從圖2和圖3可以看出，改變電極A2和A0的長(zhǎng)度對(duì)雙側(cè)向儀器的分辨率基本沒(méi)有影響。同樣，可以通過(guò)電流線的分布情況考察儀器的薄層識(shí)別特性。以Case1的深側(cè)向模式和淺側(cè)向模式為例，地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1016m；泥漿電阻率1Ω·m；目的層電阻率10Ω·m；圍巖電阻率1Ω·m；目的層厚度0．6m。圖4和圖5中2條平行紅色虛線間的地層表示0．6m厚的薄層，從這2幅圖中可以看出，當(dāng)?shù)貙雍穸刃∮?．6m時(shí)，不論是深側(cè)向還是淺側(cè)向，主電極均只有1條電流線進(jìn)入目的層，過(guò)少的電流進(jìn)入目的層導(dǎo)致無(wú)法獲取真實(shí)的地層信息，雙側(cè)向儀器對(duì)于薄層的識(shí)別失效。

圖3 Case1和Case3不同目的層厚的響應(yīng)曲線圖

圖4 深側(cè)向薄層電流線分布圖

圖5 淺側(cè)向薄層電流線分布圖

2．3 不同地層模型下的電流線分布圖

非均質(zhì)無(wú)泥漿侵入地層模型，高背景圍巖，地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1016m；泥漿電阻率1Ω·m；上下背景層電阻率100Ω·m；目的層電阻率1Ω·m；層厚取為0．6m。儀器結(jié)構(gòu)參數(shù)使用表1中Case1的對(duì)稱電極系結(jié)構(gòu)。從圖6中可以看出，① 目的層為薄層以及高圍巖背景層的情況下，深淺側(cè)向發(fā)射電極的電流線能夠流進(jìn)目的層，可更加有效地測(cè)得薄層的電阻率，對(duì)低電阻率薄層進(jìn)行識(shí)別；② 深側(cè)向的電流聚焦能力明顯好于淺側(cè)向。

圖6 高背景層電流線分布圖

非均質(zhì)有侵入地層模型，地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1m；泥漿電阻率1Ω·m；上下背景層電阻率5Ω·m；侵入帶半徑0．5m。低侵時(shí)，侵入帶電阻率10Ω·m；目的層電阻率200Ω·m。高侵時(shí)，侵入帶電阻率50Ω·m；目的層電阻率2Ω·m；層厚取為3m。儀器結(jié)構(gòu)參數(shù)使用表1中Case2的對(duì)稱電極系結(jié)構(gòu)。

淺側(cè)向低侵和高侵情況下電流線分布如圖7所示。圖7中，① 在不同性質(zhì)地層的交界面處電流線會(huì)發(fā)生明顯的偏折，而且地層對(duì)比度越大，偏折程度越大，低侵時(shí)的偏折程度高于高侵，并且可以從電流線分布圖上直接識(shí)別出侵入帶半徑和地層層界面；② 電流線低侵時(shí)比高侵時(shí)發(fā)散的更快，聚焦能力更差，在徑向大于0．5m時(shí)電流線便開始回流，還有一部分電流直接流入低電阻的侵入帶而未進(jìn)入原狀地層；③ 高侵時(shí)有較多的電流線流向目的層，在這種情況下可更加有效地測(cè)得目的層的電阻率。

圖7 淺側(cè)向電流線分布圖

2．4 三層地層模型的連續(xù)測(cè)井

三層地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1016m；泥漿電阻率0．1Ω·m；上下圍巖電阻率1Ω·m；目的層電阻率20Ω·m；層界面位置為－2m和2m，無(wú)侵入模型。

針對(duì)上述模型，分別采用電流勢(shì)方式和電位勢(shì)方式計(jì)算連續(xù)測(cè)井響應(yīng)曲線，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出，2種方式無(wú)論是深探測(cè)模式還是淺探測(cè)模式，測(cè)井響應(yīng)曲線具有很好的一致性。

圖8 三層地層模型連續(xù)測(cè)井響應(yīng)

雙側(cè)向電極系測(cè)井響應(yīng)在層界面處通常會(huì)出現(xiàn)犄角現(xiàn)象。通過(guò)分別繪制儀器處于地層中心位置和層界面－1．5m位置時(shí)的淺探測(cè)模式電流線分布圖可以說(shuō)明這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因（電流線分布情況見圖9和圖10）。儀器處于層界面－1．5m時(shí)電流線多數(shù)集中在該層界面以上，層界面以下電流線很少，整個(gè)電場(chǎng)分布呈不對(duì)稱形態(tài)，異常的電場(chǎng)分布形態(tài)可以很好地用來(lái)解釋犄角現(xiàn)象出現(xiàn)的原因。

圖9 儀器處于地層中心位置電流線分布圖

圖10 儀器處于－1．5m位置電流線分布圖

在數(shù)值模擬程序中，通常將參考電極N放在無(wú)限遠(yuǎn)處。三層地層模型的模擬結(jié)果也將參考電極N放在了無(wú)限遠(yuǎn)邊界上。現(xiàn)考慮將參考電極N放置在有限遠(yuǎn)處對(duì)電場(chǎng)形態(tài)進(jìn)行考察，設(shè)置N電極在－33m處，地層模型同上述三層模型（電場(chǎng)分布情況見圖11）。從圖11中可以看出，主電極和屏蔽電極發(fā)射的電流都返回到參考電極N，電場(chǎng)分布的直觀描述可以解釋雙側(cè)向電極系測(cè)量時(shí)出現(xiàn)的格羅寧根和德雷伏影響等現(xiàn)象，這也是電流勢(shì)法相對(duì)于其他數(shù)值模擬算法的優(yōu)勢(shì)所在。

圖11 N電極處于有限遠(yuǎn)時(shí)電流線分布圖

3 結(jié) 論

（1）應(yīng)用電流勢(shì)法對(duì)常規(guī)雙側(cè)向電極系的探測(cè)特性進(jìn)行分析。電流勢(shì)法不僅能夠給出儀器對(duì)地層的響應(yīng)信息，同時(shí)能夠給出真實(shí)的電流線分布情況。

（2）相比較其他數(shù)值算法，電流勢(shì)法最大特點(diǎn)是能夠直觀描述電極系的電場(chǎng)特性，在分析模擬曲線特征和問(wèn)題等方面具有一定的優(yōu)勢(shì)；可直觀地從電流線圖中獲取地層層界面，侵入半徑等信息，了解電流在不同地層模型中的流向；可通過(guò)計(jì)算并結(jié)合電流線分布圖的方式分析儀器的分辨率等信息，有效考察電極尺寸參數(shù)對(duì)雙側(cè)向儀器探測(cè)特性的影響，便于對(duì)儀器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，從而改善儀器的探測(cè)特性。

（3）電流勢(shì)方法同樣也可以應(yīng)用在其他側(cè)向類測(cè)井儀器中。

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