吳英

摘 要：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須“以學(xué)生的學(xué)為本”“以學(xué)生的發(fā)展為本”，從學(xué)生的認(rèn)知角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)出發(fā)，適當(dāng)加工，逐步深入，揭示知識(shí)本質(zhì)。從以問(wèn)題為中心、以探究性教學(xué)為中心、以變式教學(xué)為中心、以特殊化教學(xué)為中心、以信息技術(shù)教學(xué)為中心、以精講精練的教學(xué)為中心、以設(shè)置懸念的教學(xué)為結(jié)尾七個(gè)方面的教學(xué)技巧來(lái)闡述有效課堂教學(xué)。

關(guān)鍵詞：以學(xué)生的學(xué)為本；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；探究；變式

新課程理念倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須“以學(xué)生的學(xué)為本”“以學(xué)生的發(fā)展為本”，即數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是人的發(fā)展的“學(xué)程”教學(xué)，而不是單純以學(xué)科為中心的“教程”的教學(xué)。故教師在把握數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的科學(xué)性的同時(shí)，必須講究教學(xué)的藝術(shù)性。課堂上，教師在以學(xué)生為本的基礎(chǔ)上施以巧妙的教學(xué)方法、教學(xué)技巧，將起到事半功倍的效果。所以面對(duì)同樣的教材內(nèi)容，我們要從學(xué)生的認(rèn)知角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)出發(fā)，適當(dāng)加工，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步深入，揭示知識(shí)本質(zhì)。那如何實(shí)行有效的課堂教學(xué)呢？筆者有以下幾個(gè)建議，僅供參考。

一、以問(wèn)題為中心，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

1.創(chuàng)設(shè)有效問(wèn)題情境

有效的教學(xué)應(yīng)該把學(xué)生置于一種完整或逼真的問(wèn)題情境中，使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要，并通過(guò)師生有效互動(dòng)，促使他們主動(dòng)學(xué)習(xí)、生成性地學(xué)習(xí)，最終獲得問(wèn)題解決的技能。以問(wèn)題為中心的學(xué)習(xí)要避免“開(kāi)放過(guò)度”的問(wèn)題情境，要避免“探究無(wú)力”和“探究無(wú)味”的問(wèn)題情境，因此它必須具有如下特征：（1）問(wèn)題的“研究性”能否引起更多學(xué)生的興趣，引起更多學(xué)生的深入思考，從而有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題的科學(xué)素養(yǎng)。（2）問(wèn)題的“障礙性”與學(xué)生的認(rèn)知水平是否辯證統(tǒng)一，會(huì)不會(huì)嚴(yán)重阻礙學(xué)生的接受和興趣，影響研究質(zhì)量和效率。

例如，在雙曲線(xiàn)應(yīng)用教學(xué)中，設(shè)計(jì)如下問(wèn)題情境：一次，在海岸A、B兩個(gè)觀察所，收到大海中一所油輪出事的求救信號(hào)，而且在觀察所A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s。那么，爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線(xiàn)上，曲線(xiàn)方程是什么？

這是一個(gè)基于真實(shí)情景設(shè)計(jì)的問(wèn)題，解決問(wèn)題的全部信息已經(jīng)呈現(xiàn)出來(lái)。首先，學(xué)生必須把握情境中包含的有用信息，如聲音在空氣中傳播的速度，A、B兩個(gè)觀察所之間的距離等。其次，學(xué)生抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并獨(dú)立地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)找到解決問(wèn)題的辦法，如果學(xué)生不能獨(dú)立解決，則引導(dǎo)他們進(jìn)行討論。

課堂上學(xué)生所面對(duì)的問(wèn)題應(yīng)該是“跳一跳”能“夠得著”的才有意義，才能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。以此為切入點(diǎn)，在課堂教學(xué)中教師必須要有問(wèn)題意識(shí)，盡可能地以學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、主動(dòng)探究解決問(wèn)題為課堂的開(kāi)始與歸屬。

2.創(chuàng)設(shè)有效問(wèn)題串

問(wèn)題串的有效性應(yīng)具備以下幾個(gè)特征：（1）問(wèn)題的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生一般認(rèn)知規(guī)律，身心發(fā)展規(guī)律等；（2）開(kāi)發(fā)性：?jiǎn)栴}富有層次感，入手較易，開(kāi)發(fā)性強(qiáng)，解決方案多，學(xué)生思維與創(chuàng)造的空間較大；（3）挑戰(zhàn)性：能引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和學(xué)習(xí)心向，能激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)生能夠積極參與，接受問(wèn)題的挑戰(zhàn)；（4）體驗(yàn)性：能給學(xué)生提供深刻體驗(yàn)，人人有所得，包括操作、探究的機(jī)會(huì)或替代性經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)。

課堂上教師提出的每一個(gè)問(wèn)題都好比羅盤(pán)和路標(biāo)，直接引導(dǎo)學(xué)生的思維和方向。教師設(shè)計(jì)時(shí)就要明確提問(wèn)的目的：為引入新課？為解決難點(diǎn)？為引起學(xué)生的興趣和注意？為促使學(xué)生思考？為總結(jié)歸納？等等。教師課堂提問(wèn)一定要注意引發(fā)思考，恰到好處地掌握提問(wèn)的頻率，不能只求形式的熱鬧，創(chuàng)設(shè)的提問(wèn)要給學(xué)生造成心理的懸念，引起學(xué)生的好奇與認(rèn)知上的沖突，讓學(xué)生有好奇而到達(dá)求知的目的，達(dá)到“一石激起千層浪”的效果。例如，在《直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系》的復(fù)習(xí)課中，設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問(wèn)題：“已知a+b=1，直線(xiàn)l∶y=ax+b和橢圓兩點(diǎn)， （請(qǐng)你添加條件），求直線(xiàn)l的方程”。這一開(kāi)放題有較大的思維空間，不同層次的學(xué)生都能在這個(gè)問(wèn)題上有不同層次的施展，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題多種方案的解決，一方面可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。

設(shè)計(jì)符合學(xué)情的“問(wèn)題串”至關(guān)重要，只有這樣，才能使問(wèn)題串搭建起“適切”的“腳手架”，從而突破核心思想教學(xué)的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，并在過(guò)程中形成思想，讓教學(xué)做到真正有效，適度開(kāi)放。例如，高中數(shù)學(xué)必修五第三章“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”以問(wèn)題串的形式探究二元一次不等式表示的平面區(qū)域。我們先從二元一次不等式x-y<6的解集開(kāi)始研究。

問(wèn)題①：二元一次不等式x-y=6的解集是什么圖形？

問(wèn)題②：在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點(diǎn)被直線(xiàn)x-y=6分成幾類(lèi)？

問(wèn)題③：如何判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上？

問(wèn)題④：以不等式x-y<6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與直線(xiàn)x-y=6有怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題⑤：如果（x，y1）是直線(xiàn)x-y=6上的點(diǎn)，則x-y1=6。當(dāng)y1>y時(shí)，點(diǎn)（x，y）是否滿(mǎn)足x-y>6？

結(jié)論：一般地，平面直角坐標(biāo)系中，在直線(xiàn)Ax+By+C=0的一側(cè)Ax+By+C>0，另一側(cè)Ax+By+C<0（多媒體演示結(jié)論）

問(wèn)題⑥：怎樣判斷二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)Ax+By+C=0的哪一側(cè)呢？

問(wèn)題①到問(wèn)題④設(shè)計(jì)于學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展區(qū)，問(wèn)題⑤教師借助多媒體演示整個(gè)內(nèi)容，再提出問(wèn)題⑥。課堂上，教師緊緊地牽引著學(xué)生的思維，進(jìn)行針對(duì)性的指導(dǎo)和引領(lǐng)，使學(xué)生的新舊知識(shí)順利過(guò)渡，更易理解和掌握。當(dāng)然，教育現(xiàn)實(shí)中，任何設(shè)計(jì)都不可能同時(shí)適合幾十位學(xué)生，但我們要追求的是——讓我們的問(wèn)題串盡量去滿(mǎn)足盡可能多的學(xué)生，讓我們一起努力吧！

二、以探究性教學(xué)為中心，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

新一輪數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式。探究性教學(xué)是指在教師的幫助和支持下，學(xué)生圍繞一定的問(wèn)題、文本或材料，自主尋求或自主建構(gòu)答案、意義、理解或信息的活動(dòng)或過(guò)程。探究性教學(xué)應(yīng)該是全部數(shù)學(xué)教學(xué)模式的重要組成部分，但僅僅是一部分。筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)在傳授學(xué)生知識(shí)的同時(shí)更重要的目標(biāo)是：讓學(xué)生在經(jīng)歷探究的過(guò)程中，培養(yǎng)好奇心與求知欲；培養(yǎng)科學(xué)的推理能力；發(fā)展決策能力；培養(yǎng)抗挫力和克服困難的毅力以及形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度避免想當(dāng)然的思維方式才是探究性教學(xué)的真正目標(biāo)。

例如，在拋物線(xiàn)教學(xué)的習(xí)題中有這樣一道題。過(guò)拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)的一條直線(xiàn)和此拋物線(xiàn)相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-1。

經(jīng)過(guò)探究，學(xué)生可以反思，教師也可以設(shè)置如下問(wèn)題，繼續(xù)探究。

反思①：過(guò)x軸上的任一點(diǎn)（a，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數(shù)呢？

反思②：過(guò)y軸上的任一點(diǎn)（0，b）（b≠0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數(shù)呢？

反思③：過(guò)平面上的任一點(diǎn)（a，b）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數(shù)呢？

這樣可以使學(xué)生真正理解并掌握這塊知識(shí)并能正確運(yùn)用。通過(guò)探究可以培養(yǎng)學(xué)生不斷探究，不斷反思的良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的抗挫力并鍛煉學(xué)生克服困難的毅力，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)合理的推理能力并發(fā)展學(xué)生的決策能力。

三、以變式教學(xué)為中心，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

變式教學(xué)是在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事物說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類(lèi)事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。通過(guò)變式教學(xué)能讓學(xué)生對(duì)概念、定理、公式有多角度的理解；同時(shí)通過(guò)對(duì)問(wèn)題的多層次的變式構(gòu)造，可以使學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程及問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，也能有效地幫助學(xué)生積累問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)和提高解決其他問(wèn)題的能力。因此變式教學(xué)是提高課堂效率的有效途徑，是一種行之有效的教學(xué)方式。

變式時(shí)，適時(shí)改變問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生考察新情景中的結(jié)論、求解思路，有益于學(xué)生掌握類(lèi)比遷移的技能，提高觸類(lèi)旁通的解題能力。變式教學(xué)可以避免枯燥的重復(fù)演練，“重復(fù)經(jīng)過(guò)變式而得到發(fā)展”。例如，在高中教學(xué)必修5第三章“數(shù)列”有這樣一道習(xí)題：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列。在求證過(guò)程中我們?nèi)菀字?+q3=2q6是一個(gè)關(guān)鍵的式子，有了此式，我們很容易得到大量的新的“結(jié)果”。

變式①：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn，Sn+6，Sn+3成等差數(shù)列，求證：an，an+6，an+3成等差數(shù)列。

變式②：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N+）成等差數(shù)列，求證：ap，ap+m，ap+n（p∈N+））成等差數(shù)列。

變式是教學(xué)的一種手段，我們?cè)诮虒W(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生在變中悟，在變中練，有利于開(kāi)拓思維，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使教學(xué)收到事半功倍的效果。

四、以特殊化教學(xué)為中心，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

特殊化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)思想之一，可以起到形成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力的作用。在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)應(yīng)用這個(gè)載體，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉的能力的培養(yǎng)。特殊化思想作為解題技巧，它沒(méi)有既定的模式，需要解題者從不同的角度和層面去探求特殊值，特殊化狀態(tài)，特殊位置等來(lái)得到問(wèn)題的特殊情況。

特殊化思想作為一種技巧，關(guān)鍵在于選取“一針見(jiàn)血”的特例，但特例并非一貫的偶得，而是解題者的“數(shù)感”，是建立在合理的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，清晰的概念理解，廣泛而大膽的聯(lián)想與猜想之上的，是一種直接的領(lǐng)悟性的思維活動(dòng)。在邏輯推理上，由反例來(lái)否定命題，還可以運(yùn)用特例，得到問(wèn)題的必要條件，然后再通過(guò)檢驗(yàn)、證明，形成問(wèn)題的充要條件。教師應(yīng)在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽地聯(lián)想和猜想，然后通過(guò)比較和反思，去得到最優(yōu)的特例，并反思特例與問(wèn)題本質(zhì)之間的聯(lián)系，從而提高學(xué)生的思維的靈活性和敏捷度，培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維。英國(guó)心理學(xué)家瓦拉斯提出創(chuàng)造性思維的“準(zhǔn)備—醞釀—豁朗—驗(yàn)證”四個(gè)階段，在教學(xué)中以學(xué)習(xí)特殊化解題策略為載體，遵循這四個(gè)階段來(lái)培養(yǎng)創(chuàng)新思維，能夠達(dá)到很好的效果。

五、以信息技術(shù)教學(xué)為中心，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

當(dāng)今教育的側(cè)重點(diǎn)必須隨著計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用而有所改變，特別是幾何畫(huà)板的運(yùn)用，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更直觀化。教師可以讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，最后獲得概念、理解或解決問(wèn)題。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力，空間想象能力和運(yùn)算能力，還要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)處理能力和探究學(xué)習(xí)能力，加強(qiáng)在“用數(shù)學(xué)”方面的教育，使得學(xué)生明白數(shù)學(xué)是多么基礎(chǔ)又重要的學(xué)科。

六、以精講精練的教學(xué)為中心，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

由于高中新課程教材內(nèi)容的豐富性與教學(xué)時(shí)間的有限性之間的矛盾，教師只能通過(guò)提高教學(xué)效益來(lái)改變現(xiàn)狀。我覺(jué)得，在吃透課標(biāo)的同時(shí)要做到精益求精備課，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)預(yù)案。這就有“洗課”一說(shuō)，就是對(duì)教案進(jìn)行再思考，就是把課后進(jìn)行的反思提前到上課之先。數(shù)學(xué)課的“洗課”主要是“洗題”，這是因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，題目的選擇與配設(shè)更為關(guān)鍵?！跋搭}”應(yīng)有明確的價(jià)值取向，可以從以下幾個(gè)維度思考：（1）目標(biāo)指向的明晰性；（2）題目配設(shè)的典型性；（3）思維培養(yǎng)的有效性。

例如，高二“有限制條件的排列問(wèn)題”的數(shù)學(xué)內(nèi)容，課本中有這樣一道例題：用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？易見(jiàn)，課本中安排這道例題，旨在讓學(xué)生“提煉”解決有限制條件的排列問(wèn)題的三種最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、間接法。細(xì)細(xì)“揣摩”教材的用意以后，在設(shè)計(jì)本例時(shí)，給出以下兩個(gè)小問(wèn)題：

①?gòu)倪@10個(gè)數(shù)字中選出不重復(fù)的3個(gè)數(shù)字作為函數(shù)y=ax2+bx+c中a，b，c的值，問(wèn)可以組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)？

②從這10個(gè)數(shù)字中選出不重復(fù)的3個(gè)數(shù)字作為圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2中a，b，r的值，問(wèn)可以組成多少個(gè)不同的圓的方程？

第①小題后接著問(wèn)：可以組成多少個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的二次函數(shù)？可以組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)（把“二次函數(shù)”拓展為“函數(shù)”）？

第②小題后接著問(wèn)：可以組成多少個(gè)圓心在x軸上的圓方程？

練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練，鞏固概念，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法。訓(xùn)練內(nèi)容針對(duì)性和目的性要強(qiáng)，學(xué)習(xí)訓(xùn)練的設(shè)計(jì)要有層次，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平提出不同的訓(xùn)練要求，重視學(xué)習(xí)訓(xùn)練的質(zhì)量和效益。注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究和學(xué)習(xí)過(guò)程，不斷地反思、歸納、優(yōu)化解決問(wèn)題的策略，進(jìn)而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

七、以設(shè)置懸念的教學(xué)為結(jié)尾，建構(gòu)有效教學(xué)的課堂

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過(guò)程中課堂小結(jié)幾乎是少不了的，但教師在作課堂小結(jié)的時(shí)候，學(xué)生往往在做下課的準(zhǔn)備，至多記下小結(jié)的內(nèi)容和作業(yè)，很少再積極主動(dòng)深入地思考。因此，課堂小結(jié)成了課堂結(jié)束的序曲。教師應(yīng)在課堂結(jié)束時(shí)，提出一些富有啟發(fā)性的問(wèn)題，不作解答，以造成懸念，預(yù)示新課，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們渴盼“且聽(tīng)下回分解”，這樣，此課的“尾”就成了彼課的“頭”，使新舊課之間有了銜接，把一次次的課堂教學(xué)連貫起來(lái)。

教材中有許多開(kāi)放性和探究性的問(wèn)題，包括思考題、問(wèn)題探究及探究、拓展練習(xí)等，另外還有一些閱讀材料，這些都是設(shè)置懸念的好材料。優(yōu)秀教師在教學(xué)結(jié)課時(shí)常常會(huì)使用設(shè)置懸念的方法，使學(xué)生在“欲知后事如何”時(shí)戛然而止，從而給學(xué)生留下了一個(gè)有待探索的未知數(shù)，激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的強(qiáng)烈愿望。

數(shù)學(xué)教學(xué)是一門(mén)名副其實(shí)的藝術(shù)，數(shù)學(xué)課堂的“高效”設(shè)計(jì)，是科學(xué)與藝術(shù)的高度統(tǒng)一和完美結(jié)合。合理有效地安排教學(xué)內(nèi)容，合理有效地安排教學(xué)策略，努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程的最優(yōu)化。我們?cè)谔剿鲾?shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的科學(xué)性的同時(shí)要充分發(fā)揮它的藝術(shù)價(jià)值，不斷創(chuàng)新，追求高效課堂，有效教學(xué)。