王濤+沈銳利

摘要：為了研究大跨度鐵路斜拉橋的索-梁相關(guān)振動，基于拉索非線性振動理論，開發(fā)了有限元索動力單元，該單元在靜力計算中為普通直桿單元，動力特性計算中可以計算拉索局部自振頻率，動力時程計算中可以計算拉索非線性振動與整體結(jié)構(gòu)振動的相互作用；編制了計算程序，建立了大跨度鐵路斜拉橋有限元模型，同時使用索動力單元模擬斜拉索，最后研究了列車通過斜拉橋時梁、塔的帶動下拉索發(fā)生索-梁相關(guān)振動的特性。結(jié)果表明：對于大跨度鐵路斜拉橋，列車在設(shè)計速度范圍內(nèi)通過橋梁時索-梁相關(guān)振動不會導(dǎo)致拉索產(chǎn)生大幅振動。

關(guān)鍵詞：斜拉橋；拉索；索-梁相關(guān)振動；有限元法；列車；荷載

中圖分類號：U441.3 文獻標志碼：A

0 引 言

對于單根斜拉索，理論分析、數(shù)值計算與試驗研究均表明當(dāng)拉索端點位移激勵頻率與拉索自振頻率達到1∶1或2∶1時，拉索容易發(fā)生較大幅度的振動[1-10]。從工程實際來看，斜拉橋是一個包含多根拉索的復(fù)雜索-梁組合結(jié)構(gòu)，拉索振動的情況較為復(fù)雜。為了研究實際斜拉橋上拉索是否容易在端點位移激勵的作用下發(fā)生較大幅度的振動，Gattulli等[11]于2002年使用理論方法建立了索-梁作用下振動的精細模型，使用振型分解法研究了拉索局部振動與全橋振動特性之間的關(guān)系，建立了全橋有限元模型，分析了斜拉橋在風(fēng)荷載和地震荷載作用下索-梁耦合振動情況。Lorenzo等[12]于2003年進行了索-梁相互作用的振動試驗研究，測試了汽車荷載通過橋梁時拉索的振動情況。Caetano等[13]于2008年使用有限元法對橋梁的振動特性進行了分析，通過對比拉索的振動頻率與全橋自振頻率的關(guān)系來判定拉索發(fā)生大幅振動的可能性，使用有限元法研究了在車輛荷載和風(fēng)荷載激勵下拉索的振動情況，并通過對實際橋梁的測試來驗證數(shù)值計算的結(jié)果。Zhang等[14]于2011年使用車橋動力計算程序得到了斜拉橋拉索端點在車輛作用下的振動位移時程作為激勵條件，提取端點位移時程，使用非線性有限元法分析單根斜拉索的振動響應(yīng)，在其研究中忽略了拉索非線性振動對斜拉橋整體結(jié)構(gòu)振動的影響。Caetano[15]于2011年在其關(guān)于拉索振動的著作中闡明：根據(jù)現(xiàn)有世界各地的實際斜拉橋調(diào)查研究資料，拉索大幅振動通常發(fā)生于較為惡劣的天氣狀況下，橋面的振動頻率與拉索頻率達到一定的匹配關(guān)系是造成拉索大幅振動的部分原因。

根據(jù)現(xiàn)有的研究資料可以發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于單根斜拉索在端點位移作用下大幅振動的研究較多，但斜拉橋全橋模型中拉索在端點位移激勵作用下發(fā)生振動的研究相對較少，對于拉索與全橋振動的相互動力作用考慮還不夠全面。

文獻[16]中分析了索-梁組合結(jié)構(gòu)中在整體結(jié)構(gòu)振動的帶動下拉索發(fā)生振動的本質(zhì)規(guī)律，提出了索-梁相關(guān)振動的概念，其主要包括拉索上常見的強迫振動與參數(shù)振動，認為拉索有可能在索-梁相關(guān)振動的作用下發(fā)生1∶1的主共振與2∶1的參數(shù)共振。建立了包含3根拉索的索-梁組合結(jié)構(gòu)計算模型，初步分析了簡單索-梁組合結(jié)構(gòu)發(fā)生大幅度索-梁相關(guān)振動的性質(zhì)，認為當(dāng)拉索發(fā)生大幅振動時，拉索局部振動與整體結(jié)構(gòu)振動不能分開考慮，應(yīng)當(dāng)充分考慮拉索局部振動與整體結(jié)構(gòu)振動之間的相互關(guān)系來分析索-梁組合結(jié)構(gòu)中拉索在端點位移激勵下大幅振動的現(xiàn)象，否則計算結(jié)果可能與實際情況有較為明顯的偏差。

為了研究大跨度鐵路斜拉橋在列車荷載作用下索-梁相關(guān)振動的特性，考察列車荷載作用下索-梁相關(guān)振動是否容易導(dǎo)致拉索的大幅振動，本文中筆者在文獻[16]的基礎(chǔ)上開發(fā)索動力單元，該單元在動力時程計算中可以計算斜拉橋拉索局部非線性振動與整體結(jié)構(gòu)振動的相互作用，編制有限元程序，針對有代表性的鐵路斜拉橋進行研究，本文結(jié)果可以為大跨度鐵路斜拉橋的設(shè)計提供理論參考。

1 計算理論

1.1 拉索動拉力計算

圖1為拉索在端點位移激勵下的振動模型，其中，ΔU（t）為拉索端點位移激勵，ΔUX（t），ΔUY（t）分別為ΔU（t）沿拉索局部坐標系下X，Y方向的位移分量，θ為拉索傾角，v為拉索振動曲線，y為拉索下垂曲線，t為時間。

根據(jù)拉索振動理論[1]與試驗研究[10]，ΔUY（t）位移激勵導(dǎo)致拉索發(fā)生強迫振動，當(dāng)頻率成分與拉索自振頻率接近1∶1時，拉索容易發(fā)生主共振；ΔUX（t）位移激勵容易導(dǎo)致拉索發(fā)生參數(shù)振動，當(dāng)頻率成分與拉索自振頻率接近2∶1時，拉索容易發(fā)生參數(shù)共振。

在實際斜拉橋上，拉索發(fā)生上述2種振動通常均是由梁、塔的帶動導(dǎo)致的[15，17]。與文獻[16]相同，本文將這種斜拉橋拉索在端點位移激勵作用下發(fā)生的振動統(tǒng)稱為索-梁相關(guān)振動。

若考慮拉索上同時發(fā)生了j（j=1，2，3，…）階模態(tài)的大幅振動，拉索的振型函數(shù)v（x，t）為[1]

v（x，t）=ji=1Visin（iπxl）

（1）

式中：Vi為拉索振動響應(yīng)函數(shù)；sin（·）為拉索的振型函數(shù)；x為拉索上某一點的位置坐標；l為拉索兩端點之間的距離。

由圖1中的理論模型及文獻[16]的方法，可以推導(dǎo)得到拉索在端點位移激勵作用下第n（n∈[1，j]）階振動的單自由度非線性振動方程為

n+2εωnn+ω2nVn+a1Vn+a2V2n+

a3V3n+a4+B=F

（2）

其中

ω2n=-（Hcnmen+EAdnanlemen）

a1=-EAcnmen[ΔUX（t）l0+ΔU2Y（t）2l20]

a2=-EA（2ancn+bndn）2menle

a3=-EAbncn2menle

a4=-EAdnmen[ΔUX（t）l0+ΔU2Y（t）2l20]

F=-fnenΔY（t）

B=B1+B2

B1=-EAVncnlemen[ji=1Viai-Vnan+

12（ji=1V2ibi-V2nbn）]

B2=-EAdnlemen[ji=1Viai-Vnan+

12（ji=1V2ibi-V2nbn）]

式中：H為拉索在自重靜力狀態(tài)下的軸力；le為拉索長度的換算值；l0為拉索的無應(yīng)力長度；E為彈性模量；A為拉索截面面積；m為單位長度質(zhì)量；n為模態(tài)階數(shù)；Vn為拉索第n階振動響應(yīng)；ωn為拉索第n階自振頻率；ε為全橋結(jié)構(gòu)阻尼比；a1為邊界條件變動造成的參數(shù)激勵項；a2為由垂度效應(yīng)導(dǎo)致的非線性項系數(shù)；a3為由大幅振動位移導(dǎo)致的非線性項系數(shù)；a4為由于垂度效應(yīng)使軸向力在橫向產(chǎn)生的外激勵；F為由拉索橫向位移加速度導(dǎo)致的橫向外激勵；B為拉索上包含的j階模態(tài)中其他階模態(tài)的大幅振動對第n階模態(tài)振動方程的影響。

對于第n階模態(tài)，設(shè)模態(tài)函數(shù)為sin（nπx/l），可以推導(dǎo)得到上述各系數(shù)分別為

an=-lmgcos（θ）[cos（nπ）-1]nHπ，bn=n2π22l，cn=-n2π22l，dn=lmgcos（θ）[cos（nπ）-1]nHπ，en=l2，fn=-lcos（nπ）nπ

式中：g為重力加速度。

不同于文獻[1]，[10]，[15]的推導(dǎo)，本文拉索端點位移激勵作用下非線性振動方程式（2）中多了B這一項，B表示拉索上包含的j階模態(tài)中其他階模態(tài)的大幅振動對第n階模態(tài)振動方程的影響。

由文獻[1]，[16]可知，平面拉索大幅振動動拉力h為

h=EAle（∫l0yxvxdx+12∫l0v2xdx）

（3）

式中：vx為對拉索局部坐標系下的x坐標求導(dǎo)。

將式（1）代入式（3），將拉索下垂曲線y近似為拋物線[18]，可以得到拉索上同時存在j階振動時拉索非線性振動的動拉力表達式為

h=EAle{2mglcos（θ）πHji=1[1-cos（iπ）]Vi2i+

π24lji=1（iVi）2}

（4）

1.2 索動力單元

基于拉索的直桿單元開發(fā)索動力單元，其單元剛度、質(zhì)量矩陣與一般直桿單元相同[19]。當(dāng)考慮索-梁相關(guān)振動時，有限元整體結(jié)構(gòu)的振動方程為

M（t）+C（t）+Kδ（t）=F（t）+Fc（t）

（5）

式中：M為結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量矩陣；K為總體剛度矩陣；C為總體阻尼矩陣；F（t）為結(jié)構(gòu)上的總體外力向量；Fc（t）為在每一步計算中拉索非線性振動造成的等效總體節(jié)點外力向量；（t），（t），δ（t）分別為結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量和位移向量。

在本文編制的有限元計算程序中，為了使用索動力單元計算拉索振動，需要在有限元建模時通過設(shè)置，將某一根直桿單元標記為索動力單元，并設(shè)置拉索振動包含的模態(tài)階數(shù)。

在動力特性計算中，程序會提取拉索靜力構(gòu)型下的軸力，根據(jù)式（2）各參數(shù)中拉索自振頻率計算公式來計算拉索各階自振頻率。

在動力時程計算中，程序首先根據(jù)拉索靜力構(gòu)型下的軸力計算索動力單元中拉索振動方程式（1）的各個參數(shù)，然后在積分步循環(huán)中提取單元兩端的位移響應(yīng)，根據(jù)式（1）使用4階Runge-Kutta數(shù)值積分方法計算拉索各階模態(tài)振動響應(yīng)，再根據(jù)式（4）疊加各個模態(tài)振動造成的拉索動拉力，按照式（5）計入有限元總體節(jié)點力中，從而計算得到拉索大幅度非線性振動與整體結(jié)構(gòu)振動的互相作用。

在方程式（1）的建模過程中，拉索單元局部坐標系的解析方程建模坐標始終保持不變，而有限元模型單元坐標系中單元始末端可能不同，拉索的傾斜方向不同導(dǎo)致有限元單元坐標系的變化。在有限元計算中，提取節(jié)點在總體坐標系下的位移、速度、加速度后，程序自動按圖2所示轉(zhuǎn)換到理論方程建模坐標系，以保證端點位移激勵的方向與理論方程式（1）的描述相統(tǒng)一，這樣才能得到正確的拉索振動力，然后按照有限元法的規(guī)則得到拉索非線性振動力造成的單元節(jié)點力向量。

1.3 算法流程

斜拉橋全橋模型使用Newmark-β法動力時程積分[19]計算列車通過時動力荷載作用下的索-梁相關(guān)振動，本文程序基本計算流程見圖3。

由圖3可以看出，由于在有限元Newmark-β法動力時程計算中計入了各拉索大幅度非線性振動的動拉力導(dǎo)致的總體節(jié)點力，結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時拉索與整體有限元結(jié)構(gòu)振動是相互影響的。

當(dāng)列車過橋時，在每一步動力時程積分中提取的拉索端點位移反映了列車荷載對拉索的作用。拉索索力（對應(yīng)端點位移變化）導(dǎo)致的振動狀態(tài)變化在式（2）的參數(shù)激勵項中可以體現(xiàn)出來。為了修正列車過橋時結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的變化，在動力時程計算每個時間步中首先計算列車通過時拉索索力的增量，然后計算每個索動力單元的應(yīng)力剛度矩陣，再疊加到自重靜力構(gòu)型狀態(tài)的總體剛度矩陣上。

由于本文主要研究橋梁結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，所以在計算中模擬列車通過橋梁時，列車模型使用了較為簡單的平面雙軸模型。列車與橋梁的耦合振動作用迭代計算方法與文獻[20]相同，如圖4所示。

2 算例分析

對于大跨度鐵路斜拉橋，列車通過時的動力荷載是一個長期荷載，如果由于橋梁結(jié)構(gòu)本身的特性，索-梁相關(guān)振動導(dǎo)致較大幅度的拉索振動，對橋梁結(jié)構(gòu)安全是一個較大的威脅[21]。本文以具有代表性的天興洲大橋南汊主橋為研究對象，考察其在列車通過時索-梁相關(guān)振動的特性。天興洲大橋各設(shè)計參數(shù)可參考文獻[17]。

2.1 拉索與全橋的動力特性

使用本文程序建立了天興洲大橋簡化的二維有限元模型（圖5），主梁、橋塔使用平面梁單元模擬，單元參數(shù)按照實際橋梁的設(shè)計參數(shù)來換算。由于天興洲大橋為三索面的斜拉橋，拉索處使用3根重合的索動力單元，各拉索編號如圖5所示。全橋共202個節(jié)點，549個單元。

有限元模型的各約束設(shè)置為：各橋塔、橋墩底部完全約束，主梁兩端約束Y0方向（豎向），主梁跨中約束X0方向（橫向），塔梁連接處使用桿單元連接模擬支座。重力加速度g=9.8 m·s-2，拉索阻尼比設(shè)置為ε=0.001。文獻[20]認為對于鋼橋全橋結(jié)構(gòu)阻尼比可設(shè)置為ε=0.02，為了得到偏于安全的結(jié)果，本文設(shè)置偏小的全橋結(jié)構(gòu)阻尼比ε=0.01。

使用本文程序計算得到全橋在自重靜力狀態(tài)下的前6階模態(tài)，如圖6所示。

由圖6可以看出，由于天興洲大橋的主梁剛度較大，整體結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)以主梁的振動為主。本文計算得到的全橋面內(nèi)自振頻率與文獻[17]中的結(jié)果較為接近。

使用索動力單元可以一次計算得到所有拉索的前n階自振頻率。全橋為對稱結(jié)構(gòu)，全橋整體前10階自振頻率與第1～36號拉索的前2階自振頻率對比如圖7所示，其中，J1表示全橋第1階自振頻率，其余類推。

由圖7可以看出，對于天興洲大橋，全橋振動的1階自振頻率接近跨中最長的32號拉索的1階自振頻率（0.430 1 Hz），全橋振動的2階自振頻率接近部分拉索的1階自振頻率，而全橋的3階自振頻率也接近部分拉索的2階自振頻率等。

由圖7還可以看出，按照頻率匹配的原則[1]，從理論上可以判斷，由于跨中最長的32號拉索1階自振頻率接近全橋的1階自振頻率，主梁發(fā)生振動時，索-梁相關(guān)振動導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅共振的可能性是最大的。筆者認為列車通過時動力荷載作用下是否容易導(dǎo)致拉索產(chǎn)生較大幅度的振動需要通過計算才能明確判斷。

2.2 外激勵作用下斜拉橋索-梁相關(guān)振動特性

為了討論拉索產(chǎn)生大幅度索-梁相關(guān)振動時全橋結(jié)構(gòu)的振動特性，在模型跨中最長的32號拉索主梁上端點處施加動態(tài)力P=P0sin（ωt）（P0為力的幅值，ω為激勵頻率），見圖8。

根據(jù)非線性振動理論可知[1-10]，拉索發(fā)生2∶1的參數(shù)共振相對于1∶1的主共振需要更大的外激勵頻率。本文只考慮主共振的情況，探討拉索發(fā)生大幅索-梁相關(guān)振動時橋梁結(jié)構(gòu)的振動特性。

由拉索非線性振動理論可知，當(dāng)端點位移激勵頻率接近拉索的1階自振頻率時，拉索容易在索-梁相關(guān)振動的作用下發(fā)生1∶1的主共振。設(shè)P0=-5×105 N，激勵頻率ω=0.430 Hz，接近跨中最長拉索的1階自振頻率。在動力時程積分中取時間步長為0.02 s，共計算12 500步。使用索動力單元，得到各拉索的1階最大響應(yīng)（最大振動響應(yīng)絕對值），如圖9所示。

從圖9可以看出，32號拉索與33號拉索發(fā)生較大幅度的1階振動，根據(jù)加載條件，可以判斷拉索在索-梁相關(guān)振動的作用下發(fā)生1階主共振。

由于斜拉橋為一個整體結(jié)構(gòu)，所以外激勵能量通過主梁與橋塔傳遞，導(dǎo)致全橋中與32號拉索自振頻率接近的各拉索（1，33，64號拉索）都發(fā)生了較為明顯的1階振動。

得到32號拉索的1階振動響應(yīng)（圖2中的局部坐標系下）以及拉索在主梁（節(jié)點39豎向振動）、橋塔上（節(jié)點177橫向振動）端點振動響應(yīng)的時程、頻譜曲線如圖10，11所示，其中，f為頻率。

由圖10，11可以看出，當(dāng)外激勵造成拉索端點位移激勵頻率接近拉索的1階自振頻率時，即使橋梁端點位移激勵幅值較小，拉索也發(fā)生了較為明顯的1階主共振。拉索與主梁的振動體現(xiàn)了較為明顯的非線性振動“拍振”現(xiàn)象[1]。

根據(jù)本文的研究，對于大跨度鐵路斜拉橋，如果列車動力荷載造成拉索端點的位移激勵頻率接近拉索的自振頻率，則索-梁相關(guān)振動必然會導(dǎo)致拉索發(fā)生較大幅度的共振。

2.3 列車通過時的全橋索-梁相關(guān)振動

與文獻[20]類似，本文研究采用的列車模型為CRH2動車組平面雙軸模型，共10節(jié)車廂，動力時程計算時空間步長取為0.15 m，時間步長按照車速與空間步長進行換算，軌道高低不平順采用美國6級譜進行模擬，考慮拉索非線性振動包含前4階模態(tài)。

以列車通過天興洲大橋的最高設(shè)計時速250 km·h-1為上限，每隔10 km·h-1計算1次列車通過天興洲大橋時的振動狀態(tài)，共計算25次，從列車第1輪對進入橋梁開始計算，列車完全通過橋梁后第1輪對行駛至1 546 m時計算結(jié)束。

根據(jù)本文計算方法得到各拉索1，2階振動最大響應(yīng)與列車速度的關(guān)系，如圖12所示，即列車過橋時各拉索1，2階振動位移響應(yīng)最大絕對值。

從圖12（a）可知，邊跨和跨中較長拉索在列車作用下有相對較為明顯的響應(yīng)，隨著列車速度的增加，各拉索1階最大響應(yīng)的整體特性并無明顯變化，只是隨著列車速度的增加有了相對較小的增加。由圖12（b）可以看出，拉索的2階最大響應(yīng)分布規(guī)律相對不明顯，不同列車速度下拉索的2階響應(yīng)都很小。

為了考察不同速度下跨中最長拉索（32號拉索）在圖2中拉索局部坐標系下的振動響應(yīng)，以列車第1輪對位置為橫坐標，繪制出在不同速度下一列列車通過天興洲大橋時拉索的1階振動響應(yīng)，如圖13所示。

由圖13可以看出，跨中最長拉索在列車達到橋梁跨中（650 m處）時拉索有最大響應(yīng)。當(dāng)列車速度較小時，通過橋梁后拉索的周期振動不明顯，當(dāng)列車速度較大時，通過橋梁后拉索有較小的周期振動，幅值很?。s為0.01 m）。

以列車第1輪對位置為橫坐標，繪制出不同速度下一列列車通過天興洲大橋時32號拉索在主梁上的端部節(jié)點（靠近主梁1/2點的節(jié)點39）的豎向振動響應(yīng)，如圖14所示。

從圖14可以看出，隨著列車速度的增加，在設(shè)計速度250 km·h-1范圍內(nèi)，列車經(jīng)過橋梁時主梁的振動響應(yīng)特性是接近的。列車以較快速度通過橋梁時主梁有相對較為明顯的周期振動，但幅值很小。

本文模擬的軌道不平順中包含較高的頻率成分，但靠近主梁1/2點的節(jié)點39響應(yīng)曲線較為平滑，這說明由于天興洲大橋主梁質(zhì)量較大，軌道不平順導(dǎo)致的列車振動力相對較小，對主梁作用不明顯。3 計算結(jié)果分析與討論

由以上分析可以看出，盡管跨中最長拉索較接近全橋的1階自振頻率，但對于天興洲大橋，列車在設(shè)計時速范圍內(nèi)通過橋梁時各拉索并未觀察到大幅度的索-梁相關(guān)振動現(xiàn)象。

根據(jù)本文第2節(jié)中的討論以及文獻[1]，[10]中的研究，斜拉橋上的拉索如果在端點位移激勵下發(fā)生較大幅度的振動，激勵必須滿足的條件為：①拉索端點具有相對較大激勵幅值；②端點位移激勵頻率與拉索自振頻率達到1∶1（主共振）或2∶1（參數(shù)共振）的匹配。筆者認為列車經(jīng)過橋梁時，動力荷載未導(dǎo)致拉索發(fā)生較大幅度振動的原因在于列車通過時端點位移激勵未達到上述條件。

從圖14還可以看出，列車通過時拉索端部節(jié)點最大響應(yīng)約為0.05 m，端點位移激勵幅值已經(jīng)達到激發(fā)共振的條件[1]。拉索雖然在列車通過時有較為明顯的響應(yīng)，但周期振動響應(yīng)很?。▓D12）。因此，拉索未發(fā)生大幅振動的主要原因在于列車作用下拉索的端點位移激勵頻率相對拉索的自振頻率較小。

列車作用下等效外激勵頻率與其通過速度有關(guān)，列車速度越快，等效外激勵頻率越高。提取列車以最高速度250 km·h-1通過橋梁時32號拉索主梁上端節(jié)點39的振動時程與頻譜曲線，如圖15所示。

從圖15可以看出，列車作用下32號拉索在主梁上端節(jié)點的振動幅值相對較大，但造成的等效外激勵頻率較小，主梁上拉索端點振動頻率僅為0.044 9 Hz，而拉索的1階自振頻率為0.430 1 Hz，頻率的差別較為明顯。因此，列車經(jīng)過橋梁時拉索的振動響應(yīng)更接近一個靜力過程，如圖16所示。

文獻[22]針對列車引起橋梁共振的問題作了一系列的討論，筆者研究發(fā)現(xiàn)文獻[22]中的計算方法僅適用于簡支梁的計算，并不適用于大跨度橋梁。究其主要原因是：從直觀上來看，相對于小跨度的簡支梁，列車的長度對于大跨度鐵路斜拉橋全橋是較短的，大跨度斜拉橋主梁是較柔的，二者的整體宏觀性質(zhì)差別較為明顯。

天興洲大橋全橋1階振動的振型以中跨1階正對稱振動為主（圖6）。從直觀上來看，對于對稱的大跨度橋梁，列車在橋梁1階振動的1個周期內(nèi)通過橋梁跨中時可能造成橋梁共振而導(dǎo)致主梁大幅度的振動。

已知天興洲大橋跨中長度為504 m，全橋的1階自振頻率為0.378 Hz，故列車引起橋梁共振的速度為685.8 km·h-1。設(shè)定一列列車經(jīng)過橋梁的速度為686 km·h-1，其他設(shè)置不變，得到列車通過橋梁時32號拉索和拉索梁上端點（靠近主梁1/2點的節(jié)點39）的振動時程曲線和頻譜曲線，見圖17。

從圖17可以看出，當(dāng)列車以686 km·h-1的速度通過橋梁時，節(jié)點39振動頻率成分以接近全橋1階頻率0.378 Hz為主。這說明列車在該速度下，列車的等效外激勵頻率接近了全橋的1階自振頻率，車橋耦合作用下全橋結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯的1階共振?？缰凶铋L拉索由于1階自振頻率較為接近梁上端節(jié)點振動頻率，發(fā)生了相對較為明顯的振動，幅值接近0.15 m。

對于天興洲大橋，列車通過橋梁的最高設(shè)計速度為250 km·h-1，由以上分析可以判斷，列車的設(shè)計速度遠小于造成斜拉橋主梁發(fā)生較大幅值與較高頻率振動的速度，在列車動力荷載的作用下斜拉橋拉索端點位移激勵頻率不會與拉索自振頻率達到1∶1或2∶1的頻率匹配，拉索不具備發(fā)生大幅度索-梁相關(guān)振動的條件。4 結(jié) 語

（1）計算結(jié)果表明，對于天興洲大橋這樣具有代表性的大跨度鐵路斜拉橋，在設(shè)計速度范圍內(nèi)，列車過橋的動力荷載作用對橋梁造成的等效外激勵頻率較低，拉索端點振動頻率不會達到拉索發(fā)生1∶1主共振或2∶1參數(shù)共振的條件。索-梁相關(guān)振動不會導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅度振動。拉索的響應(yīng)接近一個靜力過程（列車速度較大時僅發(fā)生很小幅度的周期振動），本文認為該拉索是安全的。

（2）由于大跨度鐵路斜拉橋主梁質(zhì)量通常很大，軌道不平順導(dǎo)致的列車振動力相對很小，盡管本文模擬的軌道不平順包含一些高頻率的成分，但不會導(dǎo)致橋梁發(fā)生共振，橋梁的動力響應(yīng)主要來源于列車過橋時在自重作用下的沖擊力作用。

（3）根據(jù)計算結(jié)果，筆者建議在一般斜拉橋的設(shè)計中應(yīng)當(dāng)使全橋各拉索中最低的1階自振頻率（通常是最長拉索）超過全橋整體結(jié)構(gòu)的2階自振頻率，這樣是更為安全的。對于大跨度斜拉橋，由于主梁質(zhì)量較大，全橋整體結(jié)構(gòu)自振頻率較小，這個條件通常是自然滿足的。對于某些特殊的斜拉橋，如跨度小、主梁質(zhì)量小、索力小、拉索自振頻率也相對較小的人行斜拉橋，應(yīng)當(dāng)按照上述原則充分考慮避免拉索局部頻率與整體結(jié)構(gòu)頻率的匹配。

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