周 穎，李 敏，魏俊潮

（揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州225002）

Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅱ）

周 穎，李 敏，魏俊潮*

（揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州225002）

給出Abel環(huán)的幾個新刻畫：1）R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g∈E（R），當eg=0時必有ge=0；2）R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g∈E（R），有|e∨g|≤3；3）R為Abel環(huán)當且僅當對任意e∈E（R），a∈N（R），當ae=0時必有ea=0；4）R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g，f∈E（R），當e=gf時必有e=fg.

Abel環(huán)；左min-Abel環(huán)；可交換的正則環(huán)；可交換的強正則環(huán)；強正則環(huán)

0　引言

本文中R表示有單位元的結合環(huán).E（R），N（R）分別表示R的冪等元集合和冪零元集合.若R的每個冪等元是中心元，則稱R 是Abel環(huán).顯然，交換環(huán)是Abel環(huán).屈寅春等［1］通過多項式恒等式給出了一個環(huán)成為Abel環(huán)的條件.本文將從冪等元、冪零元及其勢的角度給出Abel環(huán)的一些新刻畫，并將其推廣到相應的左min-Abel環(huán)上，同時給出強正則環(huán)的一個新刻畫.

設a∈R，若Ra為R 的極小左理想，則稱a為R的左極小元［2-4］.設e∈R，若e2=e為左極小元，則稱e為R 的左極小冪等元，R的全體左極小冪等元構成的集合記作MEl（R）.若R的每個左極小冪等元f都是R的左半中心元，即對任意a∈R，有af=faf，則稱R是左min-Abel環(huán).若R的每個左極小冪等元f 都是R 的中心元，則稱R 是強左min-Abel環(huán)［5］.若對任意a∈R，存在b∈R，使得a=aba，則稱R 為von Neumann正則環(huán)［6］.若對任意a∈R，存在b∈R，使得a=a2b，則稱R 為強正則環(huán)［7-9］.顯然，R 為強正則環(huán)當且僅當R為Abel的正則環(huán).若對任意x，y∈R，存在a∈R，使得xy=y xay x，則稱R 為可交換的正則環(huán)［10］.若對任意x，y∈R，存在a∈R，使得xy=（yx）2a（yx）2，則稱R 為可交換的強正則環(huán)［11］.顯然，可交換的正則環(huán)是正則環(huán)，可交換的強正則環(huán)是強正則環(huán).本文將證明可交換的正則環(huán)、可交換的強正則環(huán)和強正則環(huán)三者屬于同一概念.

1　主要結果

易證一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當對任意e∈E（R），有（1-e）Re=0當且僅當對任意e∈E（R），a∈R，有ae=eae.

定理1 R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g∈E（R），當eg=0時必有ge=0.

證明 ?：顯然.

?：設e∈E（R），a∈R.記g=e+（1-e）ae，則eg=e，ge=g，g2=geg=ge=g∈E（R）.由于g（1-e）=0且g，1-e∈E（R），根據假設（1-e）g=0，有g=eg=e，從而ae=eae，因此R為Abel環(huán).

類似于定理1，可給出左min-Abel環(huán)的一個刻畫.

定理2 R為左min-Abel環(huán)當且僅當對任意e∈MEl（R），g∈MEl（R），當eg=0時必有ge=0.

證明 ?：設R為左min-Abel環(huán)且e∈MEl（R），則e是左半中心元，故ge=ege=0.

?：設e∈MEl（R），任取a∈R，記g=e+（1-e）ae，則eg=e，ge=g，g2=g∈MEl（R），故e（1-g）=0.由題設知（1-g）e=0，即g=ge=e，故ae=eae，由此可見e為左半中心元，R 為左min-Abel環(huán).

若對任意e，g∈MEl（R），當eg=0時必有ge=0，那么R是否為左min-Abel環(huán)？

設R為一個環(huán)，a，b∈R，記a∨b=｛a2，ab，ba，b2｝，用|a∨b|表示集合a∨b的勢.通過勢的性質，定理3給出了Abel環(huán)的一個新刻畫.

定理3 R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g∈E（R），有|e∨g|≤3.

證明 ?：設R為Abel環(huán)，則E（R）?Z（R），故對任意e，g∈E（R），有eg=ge，于是|e∨g|=|｛e，ge，eg，g｝|≤3.

?：設e，g∈E（R）且eg=0，下證ge=0.由于1-e，1-g∈E（R），故|｛（1-e）∨（1-g）｝|=|｛1-e，1-g，1-e-g，1-e-g+ge｝|≤3.現分下列6種情況進行討論：

1）若1-e=1-g，則e=g，于是e=ee=eg=0，故ge=0；

2）若1-e=1-g-e，則g=0，故ge=0；

3）若1-e=1-e-g+ge，則g=ge，于是g=gg=geg=0，故ge=0；

4）若1-g=1-g-e，則e=0，故ge=0；

5）若1-g=1-g-e+ge，則e=ge，于是e=ee=（ge）（ge）=0，故ge=0；

6）若1-e-g=1-e-g+ge，則ge=0.

綜上，有ge=0，故由定理1知R為Abel環(huán).

類似地，將定理3推廣到左min-Abel環(huán)上，得到定理4.

定理4 R為左min-Abel環(huán)當且僅當對任意e，g∈MEl（R），有|e∨g|≤3.

證明 ?：設e，g∈MEl（R），則e∨g=｛e，g，eg，ge｝.由于R 為左min-Abel環(huán)，故e是左半中心元.若eg=0，則ge=ege=0，故|e∨g|≤3；若eg≠0，則Reg=Rg，于是存在a∈R使得g=aeg，從而g=aeg=eaeg=eg，故|e∨g|≤3.綜上，對于任意e，g∈MEl（R），有|e∨g|≤3.

?：設e∈MEl（R），a∈R，記h=（1-e）ae，則eh=0，he=h，h2=0.若h≠0，則Rh=Re.記e=ch，g=hc，則eg=0，h=he=gh，g2=g∈MEl（R）.記f=e+h，則ef=e，fg=eg+hg=0，gf=ge+ gh=ge+h，f2=f∈MEl（R）.由于|g∨f|≤3，故|｛g，f，ge+h，0｝|≤3.由于f，g都不為0且g≠f，故有g=ge+h，或f=ge+h，或ge+h=0.若g=ge+h，則h=gh=geh+h2=0，矛盾.若f=ge+h，則e=ef=ege+eh=0，矛盾，故ge+h=0.取m=e+2h，則me=m，em=e，m2=mm=mem=me=m∈MEl（R）.由于mg=eg+2hg=0，故g≠gm.又由g≠f，知m≠gm，否則e+2h=m=ge+2gh=ge+2h，于是e=ge=ege=0，矛盾，故m≠gm.由于|g∨m|=|｛g，m，gm，mg｝|≤3，所以gm=mg=0，從而g（e+2h）=0，即ge+2h=0.由于ge+h=0，因此h=0，矛盾，故對每個a∈R，有（1-e）ae=0，從而R為左min-Abel環(huán).

定理5 R為Abel環(huán)當且僅當對任意e∈E（R），a∈N（R），當ae=0時必有ea=0.

證明 ?：顯然.

?：設e，g∈E（R），eg=0.記h=ge，則h2=0，即h∈N（R）且hg=geg=0，故由題設知gh=0.又因gh=gge=ge=h，故h=0，即ge=0.由定理1可知，R為Abel環(huán).

定理6 R為Abel環(huán)當且僅當對任意e∈E（R），a∈N（R），當ea=0時必有ae=0.

定理7 R為左min-Abel環(huán)當且僅當對任意e∈MEl（R），a∈N（R），當ea=0時必有ae=0.

證明 ?：設R為左min-Abel環(huán)，則對e∈MEl（R），e為左半中心元，故ae=eae=0.

?：記h=ae-eae，其中e∈MEl（R），a∈R，則he=h，eh=0，h2=0，即h∈N（R）.由題設知he=0，于是h=0，即ae=eae，故R為左min-Abel環(huán).

將定理7的證明推廣至強左min-Abel環(huán)，得到定理8.

定理8 R為強左min-Abel環(huán)當且僅當對任意e∈MEl（R），a∈N（R），當ae=0時必有ea=0.

定理9 R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g，f∈E（R），當e=gf時必有e=fg.

證明 ?：顯然.

?：記g=ea-eae+e，其中e∈E（R），a∈R，則g2=g，eg=g，ge=e.由題設知e=ge=eg=g，從而ea=eae，故R為Abel環(huán).

推論10 R為強左min-Abel環(huán)當且僅當對任意f∈MEl（R），e，g∈E（R），當e=gf時必有e=fg.

證明 ?：由于R為強左min-Abel環(huán)，故f是中心元.

?：記g=ea-eae+e，其中e∈MEl（R），a∈R，則g2=g，eg=g，ge=e.由題設知e=ge=eg=g，從而ea=eae，即e是右半中心元，故R為強左min-Abel環(huán).

命題11 可交換的正則環(huán)是Abel環(huán).

證明 設R為可交換的正則環(huán)，e∈E（R）.任取a∈R，記h=（1-e）ae，則he=h，eh=0，h2=0.由于R是可交換的正則環(huán)，故存在x∈R，使得h=he=（eh）x（eh），從而h=0，即（1-e）ae=0，因此R 為Abel環(huán).

由于Abel的正則環(huán)是強正則環(huán)，故有以下推論.

推論12 可交換的正則環(huán)是強正則環(huán).

命題13 強正則環(huán)為可交換的強正則環(huán).

證明 設R為強正則環(huán)，則對任意x，y∈R，有xy=xyaxy，x=xbx，y=ycy，其中a，b，c∈R.由于R為強正則環(huán)，故R為Abel環(huán).假設e1=xya=axy∈E（R），e2=xb=bx∈E（R），e3=yc=cy∈E（R）.顯然，y=ye3，x=e2x，從而xy=xyaxy=xye3ae2xy=e3xyaxye2=ycxyaxybx=yce2xyaxe3ybx=ye2cxyaxybe3x=y xbcxyaxybcyx=yxbcxybcy x=yxbcxe2ye3bcy x=yxycbcxybcbxyx=yxycbcxe2ye3bcbxyx=yxyxbcbcxybcbcyxyx=（yx）2bcbcxybcbc（yx）2，故R為可交換的強正則環(huán).

由于可交換的強正則環(huán)是強正則環(huán)，故有下面的推論.

推論14 R為強正則環(huán)當且僅當R為可交換的強正則環(huán)當且僅當R為可交換的正則環(huán).

［1］屈寅春，周穎，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫 ［J］.揚州大學學報：自然科學版，2012，15（4）：5-7.

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［11］YAMIN A H，SAFARI S A.Commuting regular rings［J］.Int J Appl Math，2004，14（4）：357-364.

Some characterizations of Abelian rings（Ⅱ）

ZHOU Ying，LI Min，WEI Junchao*
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

In this paper，some new characterizations of Abelian rings are given：1）R is an Abelian ring if and only if for each e，g∈E（R），eg=0 always implies ge=0；2）R is an Abelian ring if and only if for each e，g∈E（R），|e∨g|≤3；3）R is an Abelian ring if and only if for each e∈E（R），a∈N（R），ae=0 always implies ea=0；4）R is an Abelian ring if and only if for each e，g，f∈E（R），e=gf always implies e=fg.

Abelian ring；left min-Abel ring；commuting regular ring；strongly commuting regular ring；strongly regular ring

O 153.3；O 154

A

1007-824X（2015）01-0001-03

（責任編輯 林 子）

2013-11-04.*聯系人，E-mail：icweiyz@126.com.

國家自然科學基金資助項目（11471282，11171291）；江蘇省高校自然科學基金資助項目（11KJB110019）.

周穎，李敏，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅱ）［J］.揚州大學學報：自然科學版，2015，18（1）：1-3，8.