黃振平

（長沙理工大學數(shù)學與計算科學學院，湖南長沙410004）

期權(quán)定價方程的緊致差分算法

黃振平

（長沙理工大學數(shù)學與計算科學學院，湖南長沙410004）

利用緊致有限差分方法進行空間離散，修正龍格庫塔方法進行時間離散，建立一種求解期權(quán)定價方程的數(shù)值格式，較好地解決了對空間與時間混合導數(shù)項的離散問題，并在空間和時間上都保持了較高階精度.所得數(shù)值結(jié)果證實了該數(shù)值格式具有較高的精度.

緊致有限差分方法；修正龍格庫塔方法；期權(quán)定價方程；數(shù)值解

引言

期權(quán)定價領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作是由Black和Scholes在1973年中，在通過求解一個拋物型歐式期權(quán)偏微分方程（俗稱Black－Scholes方程）時發(fā)現(xiàn)的.該模型在學術(shù)界引起強烈反響，對投資者如何對期權(quán)定價和風險對沖都產(chǎn)生了重大影響，并且對之后的衍生工具發(fā)展起到了決定性的作用.

目前已經(jīng)有各種有限差分方法［1］研究了Black－Scholes方程.有限差分法的一個主要缺點是隨著逼近階的增加，計算量也相應擴大.1992年，Lele總結(jié)Pade格式［2］，得到了任意高階精度對稱緊致有限差分格式的推導方法，高階緊致有限差分法考慮的是函數(shù)值和它的在每個離散點處未知的一階二階導數(shù).對比有限差分格式，該方法，在相同網(wǎng)格點下，可以給出更高的精度和解的特性，此特性使他們更接近光譜方法，例如使用五個節(jié)點即可達到六階精度［3］.該方法的應用十分廣泛，曾經(jīng)被用來研究彈性波方程、泊松方程、N－S方程等.

本文利用緊致有限差分方法進行空間離散，修正Runge－Kutt方法進行時間離散，建立一種求解期權(quán)定價方程的數(shù)值格式，較好地解決了對空間與時間混合導數(shù)項的離散問題，并在空間和時間上都保持了高階精度.所得數(shù)值結(jié)果證實了該數(shù)值格式具有較高的精度.

1 緊致差分方法介紹

緊致有限差分方法是使用函數(shù)值的某種線性組合來表示該函數(shù)導數(shù)值的線性組合的一類差分方法，該方法增加了差分格式的精度與穩(wěn)定性.

1.1 空間離散，構(gòu)造三點六階精度緊致差分格式［3］：

對于區(qū)間［a，b］上的函數(shù)f（x），考慮節(jié)點為x0，x1，…，xN的均勻網(wǎng)格，步長h＝xi＋1－xi，i＝0，1，…，N－1.節(jié)點處的函數(shù)值為vi，一階和二階導數(shù)值分別為v′i和v″i.現(xiàn)在開始構(gòu)造均勻網(wǎng)格上的三格點六階精度緊致差分格式.

文獻［4］中，作者采用特殊緊致差分格式來推導二階導數(shù)：用三個連續(xù)點處的函數(shù)值和它的一階導數(shù)值來近似位于同樣三點處的二階導數(shù)值，該二階導數(shù)值具有六階精度.借用這個想法，我們得出以下混合問題的六階差分格式，具體的推導過程可參照文獻［5］.

對于內(nèi)點，二階導數(shù)值與函數(shù)值之間滿足關(guān)系：

對于邊界點處的二階導數(shù)構(gòu)造如下格式：

聯(lián)合上面三式，寫成矩陣形式：

對于一階導數(shù)，設系數(shù)ai－1，ai，ai＋1，mi－1，mi＋1滿足：

將上式兩端分別在xi點進行Taylor展開，結(jié)合六階精度，得到系數(shù)線性方程組，解之，得如下三點六階緊致格式，具體推導可以參考［5］.

對于內(nèi)點xi，一階導數(shù)值與函數(shù)值之間滿足關(guān)系：

對于邊界點處的一階導數(shù)構(gòu)造如下格式：

將上述五式寫成矩陣形式：A1V′＝M1V＋H1

1.2 時間離散，使用修正Runge－Kutta方法［6］：

為了提高計算效率，減少內(nèi)存的占用，本文使用了同樣具有4階精度的修正Runge－Kutta格式.

修正Runge－Kutta格式顯式推進計算公式如下：

四步時間推進使得4階修正Runge－Kutt.格式具有4階精度，格式具有較高的穩(wěn)定性，使得顯式時間推進能夠取到較大的時間步長，加快計算收斂的速度.

2 緊致差分算法解期權(quán)定價方程

用v（s，t）表示期權(quán)價格，則歐式看漲期權(quán)模型滿足如下Black－Scholes方程

初值條件

邊界條件

其中：是R無風險利率，q是紅利率，σ是波動率，T是到期日，E是敲定價格，方程（2.1）是一個變系數(shù)倒向拋物型方程，（2.1）—（2.3）是一個倒向定解問題.

做變換

可以將歐式期權(quán)模型（2.1）—（2.3）轉(zhuǎn)化為常系數(shù)對流擴散方程的定解問題

其中x0＝ln E

為了習慣方便，下面以u（x，t）表示期權(quán)價格，t＝τ.下面是用緊致的差分方法，通過matlab來求解方程（2.5）.

等距網(wǎng)格剖分：

對于空間變量x，計算區(qū)域取為有限區(qū)域Ω＝（xmin，xmax）.空間和時間網(wǎng)格節(jié)點分別為Ωh＝｛xi＝xmin＋（i－1）h，i＝1，2，…，M＋1，h＝（xmax－xmin）/M｝

若知道u在x＝xi，i＝2，…，M處的值，通過matlab軟件，由雅可比迭代可以求得對應各節(jié)點處的一階和二階導數(shù)值

則x＝xi，i＝2，…，M，t＝tn時，由修正Runge－Kutt方法得：

于是結(jié)合初邊值和第n層的一階，二階導數(shù)，由第n層u的函數(shù)值可推出第n＋1層的函數(shù)值，不斷迭代，繼而求出t＝T層的函數(shù)值.

具體方法詳見篇尾的matalab程序代碼.

3 數(shù)值實驗

這一節(jié)中，我們通過MATLAB，利用緊差分格式進行數(shù)值試驗，表中e1表示T時刻精確解和數(shù)值解的誤差，分別表示e1在T時刻的誤差二范數(shù)和無窮范數(shù).對空間變量x，M等分后步長為h，對時間變量t，N等分后步長為k.下圖橫坐標為In（x），縱坐標為log10｜e1｜，x1為左端點，x2為右端點.

算例1：參數(shù)取值是：r＝0.05，q＝0.2，σ＝0.3，E＝2，T＝0.25，N＝1600.

算例2：參數(shù)取值是：r＝0.05，q＝0.2，σ＝0.3，E＝2，T＝0.25，N＝1600，M＝160

算例3：r＝0.05，q＝0.2，σ＝0.3，E＝2，N＝1600，M＝160，s1＝0.2，s2＝400

表1 緊致差分格式的誤差范數(shù)

綜上述，邊界處誤差比較大，可能源于該格式邊節(jié)點處精度略有下降有關(guān)，但經(jīng)過實驗數(shù)據(jù)對比，整體上該方法是穩(wěn)定可行的，接下來將會繼續(xù)改進.

［1］劉銘輝.歐式看漲期權(quán)定價微分方程的有限差分求解方法［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2012：11－18.

［2］LELE SK.compact finite difference schemes with spectral－like resolution［J］.Journal of computationnal Physics，1992（103）：16－42.

［3］Jichao Zhao.Highly accurate compactmixedmethods for two pointboundary value problems［J］.elsevier，2006（188）：1402－1417.

［4］P.C.Chu，C.Fan，A three－point combined compact difference scheme，J.Comput.Phys，1998（140）；370－399.

［5］Shukla，R.K.，！Zhong，X.：Derivation of high－order compact finite difference schemes for nonuniform grid using polynomial interpolation.J.Comput.Phys，2005（204）：404－429.

［6］沈露予.不可壓縮Navier－Stokes方程高精度算法研究［D］.南京：南京信息工程大學，2005：8－100.

Compact Difference Algorithm for the Option Pricing Equation

HUANG Zhen-ping
（Changsha University of Science and Technology，Changsha，Hunan 410004）

Acompact difference scheme is established for solving the option pricing equation by using the the compact finite differencemethod in space discretization and themodified Runge－Kuttamethod in time discretization.Themixed derivative is skillfully treated and the high order accuracy ismaintained both in space and time.It is confirmed that the numerical schemes obtained from the scheme have high accuracy.

compact finite difference method；modified Runge Kutta method；option pricing equation；numerical solution

O155

A

1671－9743（2015）11－0018－06

2015－10－21

黃振平，1985年生，男，湖南郴州人，碩士研究生，研究方向：偏微分方程數(shù)值解.