陳凱晨

有這樣一道例題：已知v∈R+，u∈[- ， ]，求函數(shù)y=（u-v） +（ - ） 的最小值.采用構(gòu)造圓錐曲線法、數(shù)形結(jié)合法求其最小值，方法新穎且快速方便，值得學(xué)習(xí).筆者經(jīng)過探究后，得出另外三種解法，供大家學(xué)習(xí)參考.

解法1 構(gòu)造二元函數(shù)f（u，v）=（u-v） +（ - ） （v∈R+，u∈[- ， ]），則f（u，v）=（u-v） +（ - ） =v2+ +2-2[u·v+ · ].

不妨令u= sinθ（- ≤θ≤ ），則 = cosθ，

所以f（θ，v）=v2+ +2-2[ sinθ·v+ cosθ· ]

=v2+ +2-2 [sinθ·v+cosθ· ]

=v2+ +2-2 ·sin（θ+φ）

（其中tanφ= ，φ∈（0， ））

因為sin（θ+φ）∈[-1，1]，則-2 ·sin（θ+φ）∈[-2 ，2 ]，

所以f（（θ，v）≥v2+ +2-2 ，令 =t，

則t= ≥ =3 （當(dāng)且僅當(dāng)v2= ，v=3時取等號），

又令函數(shù)h（t）=t2-2 t+2（t≥3 ），易知當(dāng)t=3 ，

h（t）min=8，

因此f（（θ，v）≥8，即f（（u，v）≥8，故ymin=8.

評注 此題解法雖然有點曲折，但思路清晰，用到的知識點也是常用的，如構(gòu)造函數(shù)、三角代換、基本不等式、二次函數(shù)的最值等，關(guān)鍵是能否把這些知識點串聯(lián)起來解決問題。

解法2 ∵？坌a，b∈R，a2+b2≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）

∴（u-v） +（ - ） ≥

=

∵v>0，∴-（v+ ）≤-2 =-6（當(dāng)且僅當(dāng)v=3時取等號）.

令u= sinθ（- ≤θ≤ ）則u+ = （sinθ+cosθ）=2sin（θ+ ）∈[-1，2].

因此[u+ -（v+ ）]≤-4，且當(dāng)u+ =2sin（θ+ ）=2，-（v+ ）=-6，

即v=3，θ= ，u=1時，u+ -（v+ ）=-4，同時u-v= - =-2，

故 ≥8，

∴（u-v） +（ - ） ≥ ≥8（當(dāng)且僅當(dāng)v=3，u=1時，兩不等式同時取等號），所以ymin=8.

解法3 ∵？坌a，b∈R，a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=±b時取等號）

∴（u-v） +（ - ） ≥2（u-v）·（ - ），令u= sinθ（- ≤θ≤ ），則2（u-v）·（ - ）

=29+2sinθcosθ- vcosθ- sinθ· ）

=29+2sinθcosθ- ·sin（θ+φ）（其中cotφ= ，φ∈（0， ）），

又∵ ≥ =3 （當(dāng)且僅當(dāng)v2= ，v=3時取等號，φ= ）故9+2sinθcosθ- sin（θ+φ）≥

9+2sinθcosθ-3 （sinθ+cosθ）

不妨令sinθ+cosθ=m（- ≤θ≤ ，-1≤m≤ ），

則9+2sinθcosθ-3 （sinθ+cosθ）=m2-3 m+8∈[4，9+3 ]

所以當(dāng)m= ，θ= ，u=1，v=3時，（u-v）（ - ）有最小值4，且u-v= - =-2，兩不等式可以同時取等號，所以ymin=8.

評注 此題若用不等式a2+b2≥ 或a2+b2≥2ab求解時，難點一在于右邊兩不等式不是定值，而是一個二元函數(shù)，但兩個二元函數(shù)可以借用于一元函數(shù)最值的求法可求出其最小值.難點二在于兩個等號能否同時成立，此題還好，兩個等號剛好同時成立，若不能同時成立難度更大了.

對比上述解題方法，這些方法各有側(cè)重點，這就要求我們數(shù)學(xué)教師平時在數(shù)學(xué)教學(xué)時對數(shù)學(xué)思維方法方面要下足工夫，因為不同的解題方法帶來不同的效果，所以，自身平時要多學(xué)習(xí)，多思考，多總結(jié)，為學(xué)生積累更多更好的數(shù)學(xué)思維方法創(chuàng)造良好的條件.

參考文獻(xiàn)：

仲濟齋.構(gòu)造圓錐曲線求最值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：湖北，2005（12）.

編輯 王團蘭