范芳芳，王 文，朱儒進(jìn)，張良辰，丁致遠(yuǎn)

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230061）

1 引言及主要結(jié)果

本文中設(shè)n維歐式空間En的n維單行Ωn的頂點(diǎn)為A0，A1……An，，棱長aij＝AiAj（0≤i＜j≤n），也記為（i＝1，2，…n（n＋1）），側(cè)面＝A0…Ai－1Ai＋1…An

（n－1維單行 ）面積為Fi（i＝0，1，…，n）.側(cè)面fi上的高為hi，單行Ωn的體積為V，外接球與內(nèi)切球半徑分別為R，r.有關(guān)單行中幾何不等式研究已經(jīng)取得了許多重要的結(jié)果［10－28］.

H.Minkowski最早提出了幾何不等式穩(wěn)定性這一概念［1］，有時(shí)也稱為幾何不等式穩(wěn)定性版本，隨后，得到了系統(tǒng)研究［2－7］，它的理論與方法在體積學(xué)，仿晶體和機(jī)器人學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.H.Groemer在文獻(xiàn)［8］中對幾何不等式的穩(wěn)定性概念給出了準(zhǔn)確的描述，簡單的說，幾何不等式的穩(wěn)定性是指在一些幾何不等式中，幾何體為某種特殊幾何體時(shí)取等號.假如某幾何體使得不等式與相等時(shí)的差很小，那么此幾何體與取等號時(shí)特殊幾何體的“偏差”也很小，稱此幾何不等式是穩(wěn)定的.

關(guān)于n維單形的幾何不等式，由于其支撐函數(shù)（support function）或向徑函數(shù)的表達(dá)式很難找到，使得對于n維單形的很多重要而且優(yōu)美的幾何不等式的穩(wěn)定性的研究相當(dāng)困難.近期，何斌吾在他的博士論文［8］中引入了單行“偏正”度量之概念，隨后，馬統(tǒng)一［9］利用這種“偏正”度量研究了單形的Veljan－Korchmaros型不等式的穩(wěn)定性問題.文獻(xiàn)［27，28］繼續(xù)利用這種“偏正”度量研究了一系列的幾何不等式是穩(wěn)定的.

本文將定義一種新的度量，然后利用所定義的度量來研究n維單形中一些重要幾何不等式的穩(wěn)定性，根據(jù)幾何不等式的穩(wěn)定性的定義，單形中某些幾何不等式取等號是當(dāng)此單形為正則單形是成立.根據(jù)這樣的事實(shí)和幾何不等式穩(wěn)定性的定義，要討論單形中默寫幾何不等式的穩(wěn)定性，主要是指此單形與不等式取等號時(shí)的正則單形之間的偏差，在利用單形棱長在確定單形時(shí)起決定性作用這一事實(shí)，從而引進(jìn)一種新的偏差度量，詳細(xì)如下：

利用共超球的n維正則單形的棱長引進(jìn)了單形“R－偏正”度量的概念，本文利用單行“R－偏正”度量證明了單形的幾種Veljan－Korchmaros型不等式的穩(wěn)定性.

因此，ρ＝

定義1.1 對n維單形，Ωn設(shè)是與共超Ωn球的n維正則單形，ρ為該正則單形的棱長，那么單形Ωn的“R－偏正”度量定義為

注： 當(dāng)一個(gè)單形給定時(shí)，它的外接超球也是確定的，因此以…為棱長的正則單形是與其共超球的.另外，何斌吾在文獻(xiàn)［8］中定義的“偏正”度量，是通過單形與其棱長和相等的正則單形的偏差來定義的度量，但與單形…共超球的n維正則單形與棱長和相等的正則單形并不一定是同一個(gè)單形.因此，我們這里定義的“R－偏正”度量與何斌吾定義的“偏正”度量是有區(qū)別的，意義也是不一樣的.“R－偏正”度量不僅具有明顯的幾何意義，而且與Hausdorff度量和徑向度量相比，使用計(jì)算機(jī)處理更為方便.

1974年G.Korchmaros證明了D.Veljan在1970年提出的如下猜想：對n維歐氏空間En中n維單形，有

當(dāng)且僅當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號成立.

上式即為著名的Veljan－Korchmaros不等式.

一般地，設(shè)k－維面的Veljan－Korchmaros型不等式如下：

當(dāng)且僅當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號成立，其中μk，n＝

設(shè)單形Ωn的棱AiAj的中點(diǎn)為Pij，那么以｛Pij，A1，A2…，An＋1｝＼＼ ｛Ai，Aj｝為頂點(diǎn)集的n－1維單形sij稱為單形Ωn的一個(gè)中面［11］，設(shè)它的面積（n－1維體積）為Sij（1≤i＜j≤n＋1），最近文獻(xiàn)［22］中建立了單形中面型 Veljan－Korchmaros不等式

當(dāng)為正則單形時(shí)等號成立.

設(shè)單形Ωn諸中線長為mi（i＝1，2，…，n＋1），最近文獻(xiàn)［18］中建立了單形中線型Veljan－Korchmaros不等式：

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號成立.

本文應(yīng)用“R－偏正”度量證明上述幾個(gè)Veljan－Korchmaros型幾何不等式是穩(wěn)定的，并給出它們穩(wěn)定性版本.

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)n維單形Ωn的“R－偏正”度量為δ（Ωn），則對任意的ε＞0，當(dāng)≤ε時(shí)，則有

或不等式（2.1）的一個(gè)穩(wěn)定性版本

其中f（n，k）＝

在定理2.1中取k＝1，則得到

推論2.2 設(shè)n維單形Ωn的“R－偏正”度量為δ（Ωn），則對任意的ε＞0當(dāng)

時(shí)，則有

或不等式（2.3）的一個(gè)穩(wěn)定性版本

其中

在定理2.1中取k＝n－1，則得到

推論2.3 設(shè)n維單形Ωn的“R－偏正”度量為.δ（Ωn），則對任意的ε＞0，當(dāng)

時(shí)，則有

或不等式（2.5）的一個(gè)穩(wěn)定性版本

其中t（n）＝

定理2.4 設(shè)n維單形Ωn的“R－偏正”度量為δ（Ωn），則對任意ε＞0當(dāng)

時(shí)，則有

或不等式（2.7）的一個(gè)穩(wěn)定性版本

其中

定理2.5 設(shè)n維單形Ωn的“R－偏正”度量為δ（Ωn），ε＞0當(dāng)

時(shí)，則有

或不等式（2.9）的一個(gè)穩(wěn)定性版本

其中h（n）＝

3 引理與定理的證明

為了證明上面幾個(gè)定理，我們需引用以下幾個(gè)引理.

引理3.1［11，13］對n維單形 Ωn成立不等式

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號成立.

引理3.2［11，13］對n維單形 Ωn成立不等式

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號成立.

L.Gerber建立了單形體積與內(nèi)切球半徑與外接球半徑間的兩個(gè)幾何不等式［11，12］

引理3.3［12］對n維單形 Ωn成立不等式

當(dāng)且僅當(dāng) Ωn為正則單形時(shí)（3.3）與（3.4）中等號成立.

文獻(xiàn)［14］給出了引理3.3中兩個(gè)不等式的加強(qiáng)形式：

引理3.4［14，17］對n維單形 Ωn，有

當(dāng) Ωn為正則單形時(shí)（3.5）與（3.6）等號成立.

引理3.5［20］設(shè)n維單形Ωn的所有k維子單形的k維體積之積為Mk，則

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號成立.

引理3.6［22］設(shè)En中n維單形Ωn的諸中面面積為Sij（1≤i＜j≤n＋1），則在En中存在另一個(gè)n維單形 Ω′n＝｛A′1，A′2，…A′n＋1｝ ，使得

定理2.1的證明：由定義1.1及（3.2）式可得

由上式，并應(yīng)用算術(shù)－幾何平均不等式以及（3.4），（1.7）可得

在引理3.5中取l＝n－1，得

上式兩邊同時(shí)2（n－1）（n2－1）次方，再利用（3.1），（3.10）以及（3.5）式可得

因此定理2.1得證.

定理2.4的證明：設(shè)n維單形的諸中面Ωn的面積為Sij（1≤i＜j≤n＋1），由引理3.6可知存在另一個(gè)n維單形Ω′n＝｛A′1，A′2，…A′n＋1｝ ，使得（3.8），（3.9）兩式成立.

由文［21］中結(jié)果知，在單形Ω′n的體積V′與棱長a′ij＝A′iA′j（1≤i＜j≤n＋1）；之間成立不等式

即

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Ω′n為正則單形

由不等式（3.13）與 Veljan－Korchmaros不等式（1.9）得

當(dāng)且僅當(dāng)Ω′n為正則單形時(shí)等號成立.

將（3.5），（3.6）兩式代入（3.14）得

將上式代入（3.15）得

上式兩邊同時(shí) （n2－1）次方，再利用（3.1）和（3.10），可得

因此定理2.4得證.

定理2.4的證明：引用文獻(xiàn)［18］中結(jié)果

等號成立當(dāng)且僅當(dāng).Ωn..為正則單形.

設(shè)n維單形 Ωn的諸棱長為ai（i＝1，2，···，n（n＋1）），利用文獻(xiàn)［17］中結(jié)果

由上式與（3.18）式以及算術(shù)－幾何平均不等式，可得

上式兩邊同時(shí)n＋1次方，再利用（3.1）和（3.10），可得

因此定理2.5得證.

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