郭曉曄，蹇玲玲

(青島理工大學琴島學院基礎部，山東青島266106)

0 引言

常微分方程邊值問題在空間科學與工程技術(shù)中有著重要的應用，如工程學、天文學、力學、經(jīng)濟學等領域中的大量數(shù)學模型，常用常微分方程邊值問題來描述。除了少數(shù)特殊類型外，常微分方程邊值問題的精確解很難用解析形式來表示，這樣尋求用近似方法求得其數(shù)值解顯得尤為重要。隨著科學技術(shù)的進步，其近似解在理論和方法上都有很大的發(fā)展，并且在各個領域上的應用也越來越廣泛。在微分方程的數(shù)值解法中，差分法不僅是最重要的方法之一，而且也是最有效的方法之一，具有普遍的適用性。

利用差分法求解微分方程的邊值問題時，邊界條件的處理方式影響著差分解的性質(zhì)和精度。隨意的邊界處理方式可能導致差分解的發(fā)散，而巧妙的邊界近似不僅保證了差分解的收斂，還使差分解具有較高的精度。本文簡要闡述了差分方法的基本思想，討論了求解常微分方程的邊值問題的差分方法，并探討了邊界條件的處理方式，并將這兩種處理方式的結(jié)果進行了比較。

1 常微分方程的邊值問題

二階常微分方程

常見的三種邊界條件:

其中 α，β，α0，α1，β0，β1為常數(shù)，(1)與(2)構(gòu)成第一邊值問題，(1)與(3)構(gòu)成第二邊值問題，(1)與(4)構(gòu)成第三邊值問題。

2 差分格式的建立

差分法的基本思想是用有限個離散點構(gòu)成的網(wǎng)格代替連續(xù)的定解區(qū)域，這有限個離散點稱為網(wǎng)格的節(jié)點;用網(wǎng)格上定義的離散函數(shù)近似代替定解區(qū)域上的連續(xù)變量函數(shù)，離散函數(shù)和定解條件構(gòu)成差分方程，解該方程即可得到邊值問題的解在各節(jié)點上的近似值，即問題的數(shù)值解。

以第二邊值問題為例，介紹二階線性微分方程邊值問題的差分方法。

其中α，β為常數(shù)，p(x)，q(x)，r(x)為連續(xù)函數(shù)。由解的存在唯一性定理知，問題(5)有唯一解［1］。

記 pk=p(xk)，qk=q(xk)，rk=r(xk)將(7)，(8)代入(5)得

上述方程的截斷誤差為ο(h2)

3 關于邊界條件的處理

3.1 一般方法

對于邊界條件y'(a)=α，y'(b)=β的處理，一般處理方式采用以下簡單差商公式

其截斷誤差為ο(h)，比微分方程的誤差ο(h2)低一階。

由 y'(a)=α，y'(b)=β則，它們跟差分方程(5)(6)構(gòu)成含有n+1個未知元y0，…，yn的n+1個線性方程組。

3.2 改進方法

由于微分方程離散化的截斷誤差為ο(h2)，可以利用數(shù)值微分公式對邊界條件給出相同階的誤差。

將邊界條件離散化，得差分方程

其截斷誤差為ο(h2)，與微分方程離散化的截斷誤差相同，因此該方法有較高的精度。將(5)(9)(10)聯(lián)立，得出方程的數(shù)值解。

4 算例

為了驗證所提出的方法的有效性，用該方法作了數(shù)值實驗，將計算結(jié)果與解析解進行了比較。

例 用差分方法解微分方程的邊值問題

x 一般方法數(shù)值解 改進方法數(shù)值解 解析解π 10－0.889085789－0.865485209－0.858133763 2π 1 0－0.754628816－0.708173272－0.687926572 3π 1 0－0.63955847－0.602859046－0.540438744 4π 1 0－0.555231761－0.511910543－0.430107414 5π 1 0－0.474117905－0.428450517－0.333333333 6π 1 0－0.346210537－0.302704034－0.203930261 7π 1 0－0.126121482－0.089069874 0.001094083 8π 1 0 0.200280807 0.227220625 0.296069738 9π 1 0 0.600781730 0.614950857 0.652122435

5 結(jié)論

差分法是求常微分方程數(shù)值解的常用方法之一，利用差分法研究了常微分方程的邊值問題，給出了邊界條件的兩種處理方法，并將兩種處理結(jié)果與解析解進行了比較，計算結(jié)果表明，用改進的處理方法求得的數(shù)值解具有較高的精度。

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