周奇鄭，王德石，李永哲

（海軍工程大學，武漢 430033）

考慮聲振耦合的平板結構聲振特性優(yōu)化研究

周奇鄭，王德石，李永哲

（海軍工程大學，武漢 430033）

研究多個動力吸振器優(yōu)化結構的聲振特性。根據(jù)Hamilton變分原理建立多個動力吸振器—平板—介質系統(tǒng)的聲振耦合動力學方程，給出簡支邊界條件下耦合方程的解；以吸振器的質量、剛度、阻尼和位置為設計變量，以平板結構表面平均振速級和輻射聲功率級為優(yōu)化目標，采用遺傳算法進行優(yōu)化研究。研究表明：在一定頻段內，單個動力吸振器能夠降低優(yōu)化目標10 dB左右，采用多個動力吸振器能夠控制結構較寬頻帶的噪聲；對于水下結構，可采用兩個動力吸振器進行優(yōu)化，但不能將空氣中吸振器的優(yōu)化結果直接用于水下結構。研究結果可為動力吸振器的減振降噪設計提供理論依據(jù)。

振動與波；聲振耦合；平板；動力吸振器；遺傳算法；聲振優(yōu)化

結構聲振優(yōu)化設計是采用附加質量、動力吸振器等方式改變結構表面速度分布，使結構成為弱輻射體。在多個動力吸振器-結構-介質系統(tǒng)中，吸振器與結構的振動耦合以及結構振動與其表面聲壓的耦合，使得系統(tǒng)的聲振研究變得更為復雜。由于水介質的特性阻抗是空氣的三千多倍，對于水下結構的聲振優(yōu)化問題必須考慮流體介質對結構的反作用。因此，本文將研究含聲振耦合效應平板結構聲振特性的優(yōu)化問題。

1975年，Lang和Dym首次提出了結構聲輻射的優(yōu)化問題，以厚度和密度為設計變量，優(yōu)化了雙層板間的傳聲損失[1]。之后，Naghshineh等通過優(yōu)化結構表面的速度分布使結構輻射聲功率最小，即使結構成為弱輻射體[2]。Koopmann等用有限元計算結構的表面振速，用波疊加法計算結構的輻射聲功率，以附加質量塊的位置為設計變量，優(yōu)化了振動結構表面的聲功率[3]。文[4]在此基礎上，用一組結構模態(tài)振型疊加重構結構表面形狀，以每階模態(tài)振型權系數(shù)為設計變量，采用遺傳算法優(yōu)化配置每階模態(tài)振型權系數(shù)獲得最優(yōu)結構形狀，以達到聲輻射功率最小的目的。動力吸振器結構簡單，能夠有效抑制頻率范圍較小的結構的振動，在工程實踐中得到了廣泛應用[5]。文[6]在對飛機壁板附加動力吸振器后振動分析的基礎上，設計了適合飛機壁板安裝的動力吸振器并進行了實驗研究，結果與理論分析一致。文[7]以電磁吸振器的質量、剛度、阻尼和位置為設計變量，優(yōu)化了平板的輻射聲功率，并進行了實驗研究。文[8]忽略結構修改后固有頻率的變化，將設計變量看作外部阻抗，對結構的表面振速進行了重新分布，給出了一種基于模型修改使結構輻射聲功率最小的方法。這些研究都是先求出結構表面振速，然后根據(jù)邊界元或波疊加法給出結構的輻射聲功率，目前將流體介質的反作用考慮在結構聲振優(yōu)化中的研究很少。

基于此本文將流體介質的聲壓耦合在平板結構的動力學方程中，用模態(tài)展開法給出動力吸振器-平板-介質耦合系統(tǒng)的近似解析解，然后以吸振器的質量、剛度、阻尼和位置為設計變量，研究耦合系統(tǒng)的聲振優(yōu)化問題。

1 平板—吸振器聲振耦合動力學方程

研究置于無限大聲障板中平板結構的聲振優(yōu)化問題如圖1所示，平板上布置有Q個動力吸振器。平板的結構參數(shù)：彈性模量為E，密度為ρ，泊松比為μ；幾何參數(shù)：長為a，寬為b，厚度為h，作用在平板上的激勵力為F(t)=F0ejωt，作用在平板表面的聲壓為p(x,y,0,t)。平板上(xi,yi)處布置的第i個動力吸振器的質量為mi，剛度為ki，阻尼為ci。假設平板中面上各點僅作沿z軸方向的微幅振動，位移為w，動力學吸振器的振動位移為ui，下面根據(jù)Hamilton變分原理導出多個動力吸振器-平板-介質系統(tǒng)的聲振耦合方程。

圖1 含動力吸振器平板的聲振模型

根據(jù)Kirchhoff假設，平板的勢能可表示為

這里假定作用在平板上的力為點激勵力，激勵位置為(x0,y0)。

Q個動力吸振器的動能為

其勢能為

吸振器阻尼力所做虛功為

根據(jù)Hamilton變分原理，得吸振器-平板的聲振耦合動力學方程為

根據(jù)Green公式，有

其中δ()為Dirac函數(shù)。

2 聲振耦合方程求解

根據(jù)模態(tài)展開法，平板在強迫激勵下的振動位移可表示為

其中ψmn(x,y )為振型函數(shù)，對于四邊簡支平板

其中km=mπ/a，kn=nπ/b。結構受到外部激勵作用時，將發(fā)生機械振動，進而向外壓縮介質并輻射噪聲。根據(jù)Rayleigh積分公式，平板表面聲壓可由其表面位移表示為

由于吸振器置于平板之上，將隨平板一起振動，因此可將吸振器的振動位移寫為

將式(9)、(11)、(12)代入式(8)，將第二式兩端乘以并沿平板表面積分可得

為Kww中的元素，根據(jù)矩陣K可求得耦合系統(tǒng)的固有頻率，M、N分別表示在x、y軸方向上所取最大模態(tài)的序數(shù)。

得到聲振耦合方程的解之后就可以根據(jù)式（11）求出平板的表面聲壓，進而求得平板的聲輻射特性，利用結構振動表面聲強積分可獲得結構的輻射聲功率，即有

其中T表示共軛轉置，S為平板表面面積。結構表面法向振速均方值

取參考聲功率為W0=1×10-12W，參考振速為

3 聲振特性優(yōu)化

在結構表面布置動力吸振器的目的是為了改變結構表面的速度分布，進而控制結構的輻射聲，使結構成為弱輻射體。下面利用遺傳算法研究多個動力吸振器作用下平板結構聲振特性的優(yōu)化問題。以吸振器的結構參數(shù)和位置參數(shù)為優(yōu)化變量，即

將目標函數(shù)選定為平板結構在一定頻率范圍內輻射聲功率級和表面平均振速級的平均值J，即

其中S為頻率范圍內計算頻率的總數(shù)，α、β為分配給輻射聲功率級和表面平均振速級的權重系數(shù)，這里取α=0.5、β=0.5。遺傳算法中，種群規(guī)模設定為200，迭代次數(shù)設定為300。

選擇置于無限大聲障板中的四邊簡支鋼板為研究對象，鋼板的參數(shù)為：長a=0.8 m，寬b=0.6 m，厚h=0.003 m；楊氏模量E=2.16×101（1N/m2），密度 ρ=7.85×10（3kg/m3），泊松比υ=0.3，根據(jù)研究對象的特性參數(shù)可給出優(yōu)化變量的范圍為

研究空氣介質中，激勵力幅值為1 N、作用點在（a/5，b/5）、激勵頻率范圍在10 Hz～300 Hz內結構的聲振特性，空氣密度ρ0=1.293（kg/m3），聲速c0=344（m/s）。表1給出了優(yōu)化前后平均值J的變化情況，由表1知，優(yōu)化前目標函數(shù)J=62.4 dB，采用一個吸振器優(yōu)化后降低了18.7%，采用兩個吸振器優(yōu)化后J降低了26.0%，采用三個吸振器優(yōu)化后J降低了27.0%。圖2為優(yōu)化前后頻率范圍在10 Hz～300 Hz內空氣中平板的輻射聲功率級和表面平均振速級，由圖2知，優(yōu)化后平板輻射聲功率級和表面平均振速級曲線都得到了改善，共振頻率向高頻區(qū)偏移，頻段內固有頻率的數(shù)目也相對減少；動力吸振器對平板前幾階共振頻率處峰值控制得比較明顯；結合表1知，單個動力吸振器能夠降低優(yōu)化目標10 dB左右；增加吸振器個數(shù)可控制較高共振頻率處的峰值，但對整個頻段內平均值J的影響不大。

表1 空氣中動力吸振器優(yōu)化目標的結果

表2給出了空氣中動力吸振器的優(yōu)化結果，表3為平板前5×5階固有頻率的固有頻率。單個吸振器優(yōu)化時的阻尼振動頻率 f1=528.3 Hz，與平板（1，5）、（2，5）、（4，4）階固有頻率接近。兩個吸振器優(yōu)化時的阻尼振動頻率 f1=351.3Hz，與平板（1，4）、（2，4）、（4，3）、（5，2）階固有頻率接近；阻尼振動頻率f2=488.6 Hz，與平板（4，3）階固有頻率接近。三個吸振器優(yōu)化時的阻尼振動頻率 f1=274.8 Hz，與平板（2，3）、（3，3）、（4，2）階固有頻率接近；阻尼振動頻率f2=313.1 Hz，與平板（5，1）階固有頻率接近；阻尼振動頻率 f3=352.9 Hz，與平板（1，4）、（2，4）、（4，3）、（5，2）階固有頻率接近。上述分析表明，在一定頻率范圍內采用動力吸振器優(yōu)化平板的聲振特性，吸振器的阻尼振動頻率要與結構的高階固有頻率接近。采用多個吸振器時，吸振器的阻尼振動頻率要在所選結構模態(tài)頻率范圍內合理分布。

表2 空氣中動力吸振器參數(shù)的優(yōu)化結果

表3 平板的前5×5階固有頻率（Hz）

研究水中激勵力幅值為1 N、作用點在（a/5，b/ 5）、激勵頻率范圍在10 Hz～300 Hz內平板聲振特性的優(yōu)化問題，水密度 ρ0=1 000（kg/m3），聲速c0=1 500（m/s）。表4給出了優(yōu)化前后平均值J的變化情況，采用單個吸振器優(yōu)化后J降低了16.2%，采用兩個吸振器后J降低了25.4%，采用三個吸振器后降低了27.6%。比較表1知，低階共振頻率處峰值控制的比較明顯；單個動力吸振器能夠降低優(yōu)化目標10 dB左右，且單個吸振器對空氣中結構聲振特性的優(yōu)化效果高于水中的；采用三個吸振器能夠控制結構較寬頻帶的優(yōu)化目標。圖3為優(yōu)化前后頻率范圍10 Hz～300 Hz內水中平板的輻射聲功率級和表面平均振速級。由圖3知，優(yōu)化后平板輻射聲功率級和表面平均振速級曲線都得到了改善，共振頻率向高頻區(qū)偏移，頻段內固有頻率的數(shù)目也相對減少；動力吸振器對平板前幾階共振頻率處峰值控制得比較明顯，增加吸振器個數(shù)可控制較高共振頻率處的峰值，但對整個頻段內平均值J的影響不大。比較圖2知，水中平板結構的聲輻射功率級和表面平均振速級比空氣中大10 dB左右，因此在對水下結構進行聲振優(yōu)化時需考慮水介質的反作用。

表4 水中動力吸振器優(yōu)化目標的結果

圖2 優(yōu)化前后空氣中平板的聲振特性

圖3 優(yōu)化前后水中平板的聲振特性

表5給出了空氣中動力吸振器的優(yōu)化結果，單個吸振器優(yōu)化時的阻尼振動頻率 f1=491.1 Hz，與平板（4，4）、（5，3）階固有頻率接近。兩個吸振器優(yōu)化時的阻尼振動頻率 f1=350.7 Hz，與平板（1，4）、（4，3）、（2，4）、（5，2）階固有頻率接近；阻尼振動頻率f2=488.6 Hz，與平板（5，3）階固有頻率接近。三個吸振器優(yōu)化時的阻尼振動頻率 f1=365.4 Hz，與平板（1，4）、（5，2）、（2，4）、（4，3）階固有頻率接近；阻尼振動頻率 f2=389.0 Hz，與平板（1，4）、（4，3）、（5，2）階固有頻率接近；阻尼振動頻率 f3=488.5 Hz，與平板（5，3）階固有頻率接近。水中的優(yōu)化結果和空氣中的結果有明顯區(qū)別，即不能直接將空氣中的優(yōu)化結果用于水中。

表5 水中吸振器參數(shù)的優(yōu)化結果

4 結語

研究了考慮聲振耦合效應時平板結構聲振特性的優(yōu)化問題。由Hamilton變分原理建立了多個動力吸振器-平板-介質系統(tǒng)的聲振耦合方程，給出了簡支邊界條件下耦合系統(tǒng)的近似解；以動力吸振器的質量、剛度、阻尼和位置為設計變量，采用遺傳算法對平板結構的表面平均振速級和輻射聲功率級進行了優(yōu)化研究。研究表明：

（1）由于動力吸振器能夠與結構的振動耦合，改變了結構的固有頻率，可以有效控制結構的振動與聲輻射；

（2）動力吸振器能夠有效降低結構低頻段的振動與聲輻射，對于較寬頻段的振動與聲輻射的控制，可采用多個動力吸振器；

（3）對于水下結構，仍可采用兩個動力吸振器進行優(yōu)化，但需考慮水介質的影響。

研究結果可為設計具有減振降噪效果的動力吸振器提供理論依據(jù)，也可為研究用非線性動力吸振器優(yōu)化結構的聲振特性奠定基礎。

[1]Lang M A,Dym C L.Optimal acoustic design of sandwich Panels[J].Journal of the Acoustical Society of America,1975,57:1481-1487.

[2]Naghshineh K,Koopmann G H,Belegundu A.Material tailoring of structures to achieve a minimum radiation condition[J].Journal of the Acoustical Society of America,1992,92(1):841-855.

[3]Constans E W,Koopmann G H,Belegundu A D.The use of modal tailoring to minimize the radiated sound power of vibrating shells:theory and experiment[J].Journal of Sound and Vibration,1998,217(2):335-352.

[4]夏雪寶，向陽，吳紹維.基于波疊加法的結構聲輻射形狀優(yōu)化研究[J].武漢理工大學學報，2014，36(1)：94-98.

[5]楊愷，崔龍，黃海.主被動電磁式動力吸振器及其在桁架振動控制中的應用[J].振動與沖擊，2012，31(18)：14-19.

[6]孫朝暉，戴揚，孫進才.動力吸振器用于飛機壁板減振降噪的研究[J].西北工業(yè)大學學報，1993，14(10)：B506-B507.

[7]Nagaya K,Li L.Control of sound noise radiated from a plate using dynamic absorbers under the optimization by neural network[J].Journal of Sound and Vibration, 1997,208(2):289-298.

[8]逯還通，陳克安，李雙.基于輻射聲功率最小化的安靜結構設計[J].應用聲學，2007，26(3)：143-150.

[9]Li W L,Gibeling H J.An analytical solution for the self and mutual radiation resistance efficiency[J].Journal of Sound and Vibration,2001,245(1):1-16．

Vibro-acoustic Characteristic Optimization of Plates Considering Vibro-acoustic Coupling

ZHOU Qi-zheng,WANG De-shi,LI Yong-zhe
（Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China）

The problem of vibro-acoustic characteristic optimization of a plate with dynamic vibration absorbers was investigated.The vibro-acoustic coupling equations of the absorber-plate-medium system were formulated based on Hamilton variational principle.The solutions of the coupling equations under simply-supported constraint condition were given by modal expansion method.Taking the mass,stiffness,damping and location of the vibration absorber as design variables,and the acoustic radiation power level and the surface quadratic velocity level as the objective,the plate-absorbers system was optimized by means of the genetic algorithm.The results reveal that a single dynamic vibration absorber can reduce the optimization objective by 10 dB in some frequency spectrum band,while using multiple vibration absorbers can control the noise in a wider spectrum band.For underwater structures,the optimization can be realized by using two absorbers.But the optimization results of the absorbers in the air cannot be used in the underwater structures directly.The results of this work can be used to design the dynamic vibration absorbers for vibration and noise control of structures.

vibration and wave;vibro-acoustic coupling;plate;dynamic vibration absorber;genetic algorithm; vibro-acoustic optimization

TB53

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.019

1006-1355(2015)03-0087-05

2014－10－29

國家自然科學基金資助項目（11372350）；海軍工程大學博士創(chuàng)新基金資助項目

周奇鄭（1985－），男，河南省鄧州市人，博士生，主要研究方向：非線性振動、振動與噪聲控制。E-mail:zqizheng@126.com。

王德石（1963－），男，博士生導師。