王 宇，韓清鵬，李 昌，陳 東

（遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

篦齒對(duì)懸臂薄壁圓柱殼模態(tài)特性的影響研究

王 宇，韓清鵬，李 昌，陳 東

（遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

采用傳遞矩陣方法研究外壁帶有周向篦齒(即密封齒)薄壁圓柱殼的模態(tài)振動(dòng)特性。在懸臂邊界條件下，首先基于Love殼體理論建立帶篦齒薄壁圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)傳遞矩陣法和高精度的精細(xì)積分法對(duì)其模態(tài)特性進(jìn)行分析，求得各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率和三維模態(tài)振型，并通過(guò)有限元法對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行比較，最后討論篦齒布置形式、篦齒高度和篦齒道數(shù)對(duì)懸臂薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的影響。結(jié)果表明，傳遞矩陣法適合于求解帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼的模態(tài)振動(dòng)特性，篦齒結(jié)構(gòu)的布置形式、高度和道數(shù)均對(duì)薄壁圓柱殼構(gòu)件的振動(dòng)特性有較大影響。

振動(dòng)與波；懸臂薄壁圓柱殼；篦齒影響；固有頻率；三維模態(tài)振型

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)和汽輪機(jī)等機(jī)械的密封裝置中，廣泛應(yīng)用著一種幾何尺寸較小的非接觸式篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)，例如帶篦齒結(jié)構(gòu)的圓柱殼構(gòu)件，許多因?yàn)檎駝?dòng)引起的疲勞問(wèn)題和故障是由共振引起的，直接影響到設(shè)備的工作效率和可靠性[1]，對(duì)帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼進(jìn)行振動(dòng)特性分析受到了廣泛的重視，可為結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特征研究和故障診斷提供理論參考，深入研究帶篦齒薄壁圓柱殼構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)特性具有重要的工程意義。

關(guān)于帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的研究，人們還沒(méi)有完全掌握，關(guān)于篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)主要來(lái)自于實(shí)驗(yàn)研究和經(jīng)驗(yàn)，理論分析和可供參考的文獻(xiàn)較少，很多情況下對(duì)帶篦齒圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，相關(guān)文獻(xiàn)可參考加肋圓柱殼的分析結(jié)果，研究成果如下：Denecke J[2]等研究的篦齒封嚴(yán)振動(dòng)特性集中在盤式篦齒影響因素分析方面，包括具有相鄰兩道篦齒之間的軸向距離不相等和篦齒道數(shù)少的結(jié)構(gòu)特征。Lee Y S和Kim YW[3]利用瑞利—里茲方法研究了不同邊界條件下帶加強(qiáng)肋圓柱殼的頻率特性。Stanley A J和Ganesan N[4]采用半解析的有限元方法，分析了兩端固支邊界條件時(shí)帶肋薄壁圓柱殼的固有特性。李罡和何俊勇[5]研究了阻尼套筒對(duì)篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)的減振特性，采用時(shí)頻轉(zhuǎn)換的方法對(duì)篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行了分析。曾亮和李琳[6]采用動(dòng)柔度法分析了阻尼套筒尺寸等參數(shù)對(duì)篦齒封嚴(yán)裝置動(dòng)力學(xué)特性的影響。王洪玉[7]等利用數(shù)值方法對(duì)鼓筒篦齒封嚴(yán)流場(chǎng)進(jìn)行了仿真研究。劉倫[8]針對(duì)加肋圓柱殼，使用Gram-Schmidt正交化方法和瑞利-里茲法得到了圓柱殼的頻率方程，分析了肋條參數(shù)對(duì)柱殼自由振動(dòng)特性的影響。陳美霞[9]等對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的中、高頻段采用統(tǒng)計(jì)能量法，推導(dǎo)出振動(dòng)能量的傳遞函數(shù)，得到了加肋圓柱殼表面的均方速度級(jí)。

針對(duì)帶有周向篦齒薄壁圓柱殼模態(tài)特性分析的需要，在懸臂邊界條件下，基于Love殼體理論，通過(guò)傳遞矩陣法和高精度的精細(xì)積分法求解得到了整體結(jié)構(gòu)的固有頻率和三維模態(tài)振型，并通過(guò)與有限元法的比較，討論了篦齒位置、篦齒高度和篦齒道數(shù)對(duì)薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 帶篦齒薄壁圓柱殼的模態(tài)特性分析

在柱坐標(biāo)系Oxθz中，帶有篦齒結(jié)構(gòu)薄壁圓柱殼的模型和截面圖如圖1所示。

圖1 柱坐標(biāo)系中帶有篦齒的懸臂薄壁圓柱殼模型

在圖1中，薄壁圓柱殼的長(zhǎng)度、中面半徑和壁厚分別用L、R和H表示，坐標(biāo)原點(diǎn)O為薄壁圓柱殼約束端面上的圓心，縱向x軸與軸線重合，徑向z軸在端面徑向上，切向θ為端面上偏離z軸初始位置的偏轉(zhuǎn)角，u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)表示中面上任意一點(diǎn)在軸向x、切向θ和徑向z的振動(dòng)位移；篦齒斷面為矩形，沿著軸向垂直布置2個(gè)篦齒，篦齒截面的高度為Hr、寬度為L(zhǎng)r，篦齒以間距Br等距離分布。

將帶有篦齒薄壁圓柱殼沿著篦齒位置處分成厚度相等的多個(gè)區(qū)段，基于Love殼體理論[10]，每一區(qū)段圓柱殼的自由振動(dòng)微分方程為

式中，Nx、Nθ和Nxθ表示薄膜力和薄膜剪力，Mx、Mθ和Mxθ表示彎矩和扭矩，Qx和Qθ表示橫向剪力，ρ為密度。

內(nèi)力與內(nèi)力矩和中面位移間的關(guān)系為

式中，K為薄膜剛度，D為彎曲剛度，μ為泊松比，E為楊氏模量。

面內(nèi)剪力、橫向剪力、轉(zhuǎn)角θx和θθ分別為

令m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)，定義x、θ和z三個(gè)方向上的位移解為

式中ωmn表示固有頻率。

對(duì)于每一區(qū)段的圓柱殼，可以沿軸向分為N0個(gè)子段，共N0+1個(gè)截面，在任一截面ξi上，定義8個(gè)具有明確物理意義的狀態(tài)向量為

則位移、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力和內(nèi)力矩表示為

將式(2)和式(6)帶入式(1)和式(3)，消除其它變量后得到1階常微分方程組為

對(duì)于每一區(qū)段的左右兩個(gè)相鄰端面，從一個(gè)端面到另一個(gè)端面的整體傳遞矩陣為

其中，每相鄰兩個(gè)截面的傳遞矩陣關(guān)系為

采用精細(xì)積分法[11]進(jìn)行精確求解時(shí)，可將具有同一厚度的光滑圓柱殼，沿著軸向x方向分成長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,L2,…,Lk-1,Lk的k個(gè)子段，子傳遞矩陣關(guān)系表示為

令式(11)的系數(shù)行列式等于零，可求得各階的固有頻率值，對(duì)于某1階模態(tài)(m,n)，令由式(11)可得

2 算例分析

在懸臂邊界條件下，利用傳遞矩陣法和精細(xì)積分法求解帶有篦齒薄壁圓柱殼在不同模態(tài)階次時(shí)的振動(dòng)特性。如圖1所示，取帶兩個(gè)沿軸向均布篦齒的薄壁圓柱殼，篦齒道數(shù)為兩個(gè)，沿著軸向均勻分布，篦齒寬度Lr=0.004 m，篦齒高度Hr=0.002 m，篦齒間距Br=0.057 m，其材料參數(shù)和薄壁圓柱殼的材料參數(shù)相同，其中圓柱殼的材料和幾何參數(shù)如表1所示；同時(shí)采用有限元程序ANSYS中的模態(tài)分析功能對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較，單元類型選擇20節(jié)點(diǎn)的高階三維實(shí)體單元Solid 186，利用從相鄰面掃過(guò)體的方法填充生成網(wǎng)格，使用Block Lanczos法進(jìn)行模態(tài)求解。

表1 薄壁圓柱殼的材料參數(shù)和尺寸參數(shù)

2.1 帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率

帶篦齒圓柱殼的固有頻率變化曲線如圖2所示，當(dāng)軸向半波數(shù)m=1時(shí)，在低階模態(tài)處由傳遞矩陣法和有限元法得到的固有頻率的關(guān)系曲線基本重合，變化趨勢(shì)一致，隨著周向波數(shù)的增加，由傳遞矩陣法得到的固有頻率值比有限元法得到的固有頻率值增加幅度相同；當(dāng)軸向半波數(shù)m=2時(shí)，對(duì)于中間的幾階模態(tài)，由傳遞矩陣法得到的固有頻率略大于有限元法得到的固有頻率值，但是隨著周向波數(shù)的增加而逐漸趨于一致；帶篦齒時(shí)通過(guò)兩種方法求得的最低階固有頻率出現(xiàn)在第(1,5)階，無(wú)篦齒時(shí)的最低階固有頻率出現(xiàn)在第(1,6)階。由于下端是固定的，對(duì)于圓柱殼有較強(qiáng)的約束，而對(duì)于上部約束影響較小，同時(shí)篦齒對(duì)圓柱殼也起到了約束作用，所以篦齒增加了結(jié)構(gòu)的整體剛度，導(dǎo)致固有頻率值出現(xiàn)增加的現(xiàn)象。

2.2 帶篦齒薄壁圓柱殼的模態(tài)振型

對(duì)帶有兩個(gè)軸向均布篦齒薄壁圓柱殼的模態(tài)振型，如表2所示，取固有頻率最低的3階模態(tài)，即當(dāng)軸向半波數(shù)和周向波數(shù)分別為(1,4)、(1,5)和(1,6)時(shí)，通過(guò)兩種方法求得的帶篦齒薄壁圓柱殼的三維模態(tài)振型一致，在懸臂端表現(xiàn)為周向波數(shù)分別為4、5和6的花瓣形狀，并且在懸臂端的振動(dòng)位移最大。

圖2 帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率比較

表2 帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼的模態(tài)振型

3 篦齒對(duì)薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的影響

懸臂圓柱殼構(gòu)件在工程實(shí)踐中比較常見(jiàn)，下面對(duì)篦齒結(jié)構(gòu)對(duì)光滑薄壁圓柱殼模態(tài)特性的影響進(jìn)行研究。當(dāng)單道篦齒分別位于薄壁圓柱殼的上側(cè)、中部和下側(cè)，篦齒中心距上端的距離分別為0.017 m、0.047 5 m和0.078 m，篦齒高度分別為0.003 m、0.004 m和0.005 m，篦齒寬度均為0.004 m，其它參數(shù)不變，對(duì)其模態(tài)特性進(jìn)行分析。

取單道篦齒位于薄壁圓柱殼的上側(cè)，但篦齒高度不同時(shí)，如圖3所示，篦齒高度對(duì)薄壁圓柱殼固有特性的影響較大，當(dāng)周向波數(shù)n=1～4時(shí)，帶篦齒薄壁圓柱殼和光滑薄壁圓柱殼的固有頻率非常接近，隨著周向波數(shù)的增加，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率值均大于光滑薄壁圓柱殼的固有頻率值；隨著篦齒高度的增加，固有頻率隨之增大，但隨著周向波數(shù)的進(jìn)一步增大固有頻率值逐漸趨于一致。這是由于篦齒高度的增加提高了結(jié)構(gòu)的整體剛度，導(dǎo)致了固有頻率的增加。

圖3 篦齒高度對(duì)懸臂薄壁圓柱殼的影響

取篦齒的高度Hr為0.003 m，但單道篦齒分別位于薄壁圓柱殼的上側(cè)、中部和下側(cè)時(shí)，結(jié)果如圖4所示，篦齒位置對(duì)圓柱殼固有頻率的影響是顯著的，當(dāng)篦齒位于薄壁圓柱殼上側(cè)時(shí)對(duì)固有頻率的影響最大，當(dāng)篦齒位于薄壁圓柱殼的下側(cè)時(shí)對(duì)固有頻率的影響最小。這是由于下側(cè)篦齒對(duì)于結(jié)構(gòu)整體剛度的影響不大，而上側(cè)篦齒能顯著增加結(jié)構(gòu)的整體剛度，所以導(dǎo)致固有頻率顯著增加。

圖4 篦齒位置對(duì)懸臂薄壁圓柱殼的影響

當(dāng)在薄壁圓柱殼構(gòu)件上帶有幾道篦齒但布置形式不同時(shí)，即分析下側(cè)帶有2道篦齒而上側(cè)無(wú)篦齒、下側(cè)帶有2道篦齒而上側(cè)1道篦齒、下側(cè)帶有2道篦齒且上側(cè)2道篦齒三種情況，具有不同篦齒道數(shù)時(shí)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示，分析結(jié)果如圖6所示。

圖5 帶不同道數(shù)篦齒時(shí)薄壁圓柱殼的斷面圖/mm

由圖6可知，在懸臂邊界條件下，篦齒道數(shù)對(duì)薄壁圓柱殼的影響不同，當(dāng)周向波數(shù)n≤4時(shí)，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率對(duì)光滑薄壁圓柱殼的固有頻率影響很小，但是隨著周向波數(shù)的增加，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率要大于光滑薄壁圓柱殼的頻率值；當(dāng)下側(cè)帶有兩道篦齒且上側(cè)無(wú)篦齒時(shí)對(duì)薄壁圓柱殼固有頻率的影響最小，當(dāng)下側(cè)帶有兩道篦齒且上側(cè)也帶有兩道篦齒時(shí)對(duì)薄壁圓柱殼的固有頻率影響最大。由于下側(cè)篦齒對(duì)于結(jié)構(gòu)整體剛度的影響不大，表現(xiàn)在圖5和圖6上，下側(cè)有篦齒時(shí)的固有頻率與無(wú)篦齒時(shí)的兩條曲線基本重合，而上側(cè)的篦齒能顯著增加結(jié)構(gòu)整體剛度，所以導(dǎo)致固有頻率顯著增加，而且上側(cè)篦齒的道數(shù)越多，固有頻率增加越顯著。

圖6 帶不同道數(shù)篦齒時(shí)薄壁圓柱殼的固有頻率

4 結(jié)語(yǔ)

在懸臂邊界條件下，采用傳遞矩陣法和精細(xì)積分法分析了帶有篦齒薄壁圓柱殼的模態(tài)特性，并與有限元法進(jìn)行比較。對(duì)于帶有周向篦齒結(jié)構(gòu)的薄壁圓柱殼，當(dāng)周向波數(shù)較低時(shí)的固有頻率值和無(wú)篦齒時(shí)的固有頻率值保持一致，隨著周向波數(shù)的增加，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率值大于無(wú)篦齒的圓柱殼固有頻率值，帶篦齒時(shí)通過(guò)兩種方法求得的最低階固有頻率出現(xiàn)在第(1，5)階，而無(wú)篦齒時(shí)圓柱殼的最低階固有頻率出現(xiàn)在第(1，6)階；同時(shí)，通過(guò)兩種方法得到的三維模態(tài)振型均表現(xiàn)為花瓣形狀，在自由端的振動(dòng)幅度最大。由于固定端約束和篦齒結(jié)構(gòu)對(duì)整體剛度的作用，篦齒高度、篦齒布置位置和篦齒道數(shù)均對(duì)薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性有較大影響，所得結(jié)果為帶篦齒薄壁圓柱殼構(gòu)件的響應(yīng)特征和故障研究提供了參考。

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Influence of Sealing Teeth on the Modal Characteristics of a Cantilever Thin Cylindrical Shell

WANG Yu,HAN Qing-peng,LIChang,CHEN Dong
(School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051,Liaoning China)

The transfer matrix method was presented to study the modal vibration characteristics of a cantilever thin cylindrical shell with a circumferential tooth structure on its outer wall(i.e.sealing teeth).Firstly,the dynamic model of the thin cylindrical shell under cantilever constraint condition with sealing teeth was established based on Love’s shell theory. Then,the transfer matrix method and high-precision integration method were introduced to solve the modal characteristics of the cylindrical shell.The natural frequencies and three-dimensional modal shapes of the cylindrical shell were obtained. Results were compared with those of finite element method.Finally,the effects of different sealing teeth’s layouts,heights and numbers on the shell were studied.The results show that the transfer matrix method is suitable for solving the modal vibration characteristics of the cantilever thin cylindrical shell with sealing teeth,and sealing teeth’s positions,heights and numbers have great influences on the vibration characteristics of the shell.

vibration and wave;cantilever thin cylindrical shell;sealing teeth influence;natural frequency;threedimensional modal shape

O326

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.018

1006-1355(2015)03-0082-05

2014－10－24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51105187)；遼寧科技大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(2014QN13)

王宇（1979－），男，遼寧鐵嶺人，博士，講師，主要研究方向：機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究。E-mail:wangyu435@126.com