袁萍 （長江大學(xué)文理學(xué)院，湖北 荊州434020）

1 引言

孤立子、渾沌、分形等非線性現(xiàn)象普遍存在于自然科學(xué)和社會科學(xué)中，而這些現(xiàn)象大都可以通過建立非線性偏微分方程來描述。因此，對非線性偏微分方程精確解的研究已經(jīng)成為一項(xiàng)重要工作。為解決非線性問題，目前已形成較多的求解方法，如齊次平衡法［1，2］、Backlund變換［3］、逆散射方法［4］等。近年來，G′／G展開法［5］也被提出，該方法具有直接、簡潔的特點(diǎn)，能有效地求解許多非線性偏微分方程。

考慮（2＋1）維Potential Boiti－Leon－Manna－Pempinelli方程（PBLMP方程）［6］：

文獻(xiàn) ［7］對PBLMP方程進(jìn)行了painleve分析，得到了該方程的Lax對和精確解；文獻(xiàn) ［8，9］通過多線性分離變量法得到該方程的鐘型解和含2個任意函數(shù)的分離變量解；文獻(xiàn) ［10］利用經(jīng)典李群方法得到了方程的4組相似約化，進(jìn)而得到了方程的有理函數(shù)解、Jacobi橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解與三角函數(shù)解。下面，筆者利用（G′／G）展開法研究了（2＋1）維PBLMP方程，利用Maple軟件得到方程的一些新精確解。

2 PBLMP方程新精確解的求解過程

為了求解方程（1），令：

代入方程（1）得：

將方程兩邊同時對ξ積分一次，并置積分常數(shù)為0，得：

設(shè)方程（2）的解為：

式中，m為正整數(shù)；ai與a－i不同時為0；G＝G（ξ）滿足二階常微分方程：

結(jié)合式（4），將式（3）代入方程（2），由齊次平衡原理，考慮到方程（2）中最高階導(dǎo)數(shù)u?與非線性項(xiàng)－3（u′）2的齊次平衡，得，則m＋3＝2（m＋1），得m＝1。記＝p，則：

其中：

將式（5）代入方程（2），并結(jié)合式（6），合并p的同次冪，并令其系數(shù)為0，得到一組關(guān)于a－1，a0，a1，λ，μ，ω的代數(shù)方程組：

利用Maple求解上面的方程組，得到以下4組系數(shù)關(guān)系：

（i）λ＝0，ω＝－4μ，a－1＝0，a1＝－2，μ和a0為任意常數(shù)；

（ii）λ＝0，ω＝－16μ，a－1＝2μ，a1＝－2，μ和a0為任意常數(shù)；

（iii）ω＝λ2－4μ，a－1＝2μ，a1＝0，λ、μ、a0為任意常數(shù)；

（iv）λ＝0，μ＝0，ω＝－3a－1，a1＝0，a0和a－1為任意常數(shù)。

1）將λ＝0，ω＝－4μ，a－1＝0，a1＝－2代入式（5），得到方程（1）的通解：

其中，G滿足G″＋μG＝0；ξ＝x＋y＋4μt；μ，a0為任意常數(shù)。

當(dāng)μ＜0時，由G″＋μG＝0有：

得方程（1）的雙曲函數(shù)解：

特別地，當(dāng)C1≠0，C2＝0時，u11＝a0－2，解的形式與文獻(xiàn)［10］相同。

當(dāng)μ＞0時，由G″＋μG＝0有：

得方程（1）的三角函數(shù)解：

特別地，當(dāng)C1≠0，C2＝0時，u12＝a0＋2，解的形式與文獻(xiàn)［10］相同。

2）將λ＝0，ω＝－16μ，a－1＝2μ，a1＝－2代入式（5），得到方程（1）的通解：

其中，G滿足G″＋μG＝0；ξ＝x＋y＋16μt。

當(dāng)μ＜0時，得方程（1）的雙曲函數(shù)解：

當(dāng)μ＞0時，得方程（1）的三角函數(shù)解：

3）將ω＝λ2－4μ，a－1＝2μ，a1＝0代入式（5），得到方程（1）的通解：

其中，G滿足G″＋λG′＋μG＝0；ξ＝x＋y＋（λ2－4μ）t；λ為任意常數(shù)。

當(dāng)λ2－4μ＞0時，由G″＋λG′＋μG＝0有：

得方程（1）的雙曲函數(shù)解：

當(dāng)λ2－4μ＜0時，由G″＋λG′＋μG＝0有：

得方程（1）的三角函數(shù)解：

當(dāng)λ2－4μ＝0時，方程（1）的解沒有實(shí)際物理意義，不作討論。

3 結(jié)語

利用G′／G展開法對（2＋1）維PBLMP方程進(jìn)行求解，得到了方程一些與文獻(xiàn) ［8～10］形式不同的新解，拓展了G′／G展開法的應(yīng)用，豐富了（2＋1）維PBLMP方程的解的形式。從求解的過程可以看出，G′／G展開法具有簡潔、直接的特點(diǎn)，此法也可以推廣到求更為復(fù)雜的非線性偏微分方程的其他精確解。

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