鄒健，宋述剛，陳忠 （長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州434023）

分析與綜合是歷史唯物主義與辯證唯物主義的基本思維方法之一，也是形式邏輯的方法之一［1］。按照哲學(xué)的觀點(diǎn)，分析是把整體事物分解為各個(gè)部分、方面、階段或要素，用相對(duì)靜止、孤立的觀點(diǎn)逐個(gè)加以研究的思維方法。分析即為化整為零。分析方法是多種多樣的，有定性分析、定量分析、因果分析、結(jié)構(gòu)分析、功能分析等。而綜合則是在分析的基礎(chǔ)上，將事物各個(gè)部分有機(jī)整合的思維方法。綜合即為積零為整。這種整合，不是簡(jiǎn)單的、機(jī)械的部分相加，而是把思維對(duì)象的各個(gè)方面按其內(nèi)在聯(lián)系有機(jī)結(jié)合為一個(gè)統(tǒng)一的整體，從而把握事物的宏觀本質(zhì)的性質(zhì)。

分析與綜合雖然是2種不同的思維方法，但它們象一對(duì)孿生兄弟一樣，形影相隨，相互依賴(lài)，相互影響與轉(zhuǎn)化。首先，分析是綜合的前提和基礎(chǔ)，沒(méi)有系統(tǒng)、全面、科學(xué)的分析，就不可能有正確的綜合。其次，分析離不開(kāi)綜合的指導(dǎo)，分析以綜合為目的，綜合是分析的完成。分析與綜合的思維過(guò)程是從感性具體到思維抽象，再?gòu)乃季S抽象到客觀具體的過(guò)程。一般的，前者多用分析法，后者多用綜合法。

《數(shù)學(xué)分析》的主要內(nèi)容是微積分理論，其創(chuàng)立者是英國(guó)科學(xué)家牛頓與德國(guó)科學(xué)家萊布尼茲［2，3］。微積分的創(chuàng)立是人類(lèi)文明史上的一個(gè)里程碑，其理論在18、19世紀(jì)得到了極大的發(fā)展，形成了分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，并在物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的重要應(yīng)用。在大學(xué)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中，關(guān)于微積分的課程被稱(chēng)為《高等數(shù)學(xué)》，但在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中，則稱(chēng)為《數(shù)學(xué)分析》，這表明《數(shù)學(xué)分析》更著重強(qiáng)調(diào)微積分的分析綜合思想方法。

雖然微積分研究的對(duì)象是函數(shù)，但其研究的課題涉及到無(wú)窮的世界，包括無(wú)窮集合、無(wú)窮過(guò)程等，如實(shí)數(shù)集、無(wú)窮數(shù)列、無(wú)窮級(jí)數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分等。在《數(shù)學(xué)分析》中，有窮與無(wú)窮是一對(duì)典型的相互對(duì)立統(tǒng)一的矛盾。有窮中包含著無(wú)窮，而無(wú)窮更是包含著有窮，它們?cè)谝欢ǖ臈l件之下可以相互轉(zhuǎn)化。例如，有窮區(qū)間（0，1）包含了無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，無(wú)窮區(qū)間（0，＋∞）包含了無(wú)窮多個(gè)有窮區(qū)間；在變換y＝tanx之下，兩者相互轉(zhuǎn)化。

人類(lèi)對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了一個(gè)艱難、漫長(zhǎng)的過(guò)程。第1次數(shù)學(xué)危機(jī)（無(wú)理數(shù)危機(jī)）、第2次數(shù)學(xué)危機(jī)（無(wú)窮小量危機(jī)）、第3次數(shù)學(xué)危機(jī)（無(wú)窮集合悖論）都與對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)有關(guān)。無(wú)窮的世界千姿萬(wàn)態(tài)，充滿了難以想象的奧秘。這是因?yàn)槿说恼J(rèn)識(shí)、思維過(guò)程乃至生命都是有限的。如何運(yùn)用有限的思維過(guò)程去認(rèn)識(shí)、把握無(wú)限的集合與變化過(guò)程？適當(dāng)?shù)姆绞骄褪腔療o(wú)窮為有窮、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，這就需要運(yùn)用分析與綜合方法。

下面，筆者以《數(shù)學(xué)分析》課程中極限和定積分這2個(gè)重要概念為例，探討其中的分析與綜合方法。

1 極限概念中的分析與綜合方法

極限理論是《數(shù)學(xué)分析》的基礎(chǔ)與工具，而數(shù)列極限又是極限論的基本概念。這里，筆者僅以數(shù)列極限的概念為例，探討其中的分析與綜合方法。考慮數(shù)列極限：

其定性的定義為：當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，an無(wú)限趨近于a。如何尋求其定量的定義呢？事實(shí)上，an趨近于a是一個(gè)無(wú)窮的復(fù)雜過(guò)程，運(yùn)用分析的方法，可以把它分解為各個(gè)變化階段，如：

對(duì)于進(jìn)入每個(gè)變化階段，可以用相對(duì)靜止、孤立的觀點(diǎn)研究它們需要具備什么樣的條件。以具體的極限＝0為例，要求：

所得條件是自變量n必須分別大于某個(gè)正整數(shù)N＝10，N＝100，N＝500。這成為每個(gè)變化階段所具備的共性，即可以綜合為：對(duì)于給定的任意小的正數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)大于這個(gè)正整數(shù)時(shí)，數(shù)列的變化進(jìn)入相應(yīng)的階段。

正是運(yùn)用了分析與綜合的方法，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯才首次給出了極限的現(xiàn)代定義。

運(yùn)用同樣的思維方法，可以得到函數(shù)極限的定義。以此為基礎(chǔ)，又可定義函數(shù)連續(xù)的概念與導(dǎo)數(shù)的概念。

2 定積分概念中的分析與綜合方法

首先，使用分析法，將曲邊梯形用鉛錘的直線分割成若干個(gè)小的窄曲邊梯形，然后對(duì)每個(gè)小曲邊梯形，用孤立、靜止的觀點(diǎn)處理，將其近似看著小矩形，即函數(shù)f（x）在每個(gè)小區(qū)間［xi－1，xi］上看作是不變的，其值可任取f（ξi），ξi∈ ［xi－1，xi］。于是第i個(gè)小曲邊梯形面積近似值為f（ξi）Δxi（Δxi＝xi－xi－1）。

其次，使用綜合法，將各小曲邊梯形面積近似值相加，得到整個(gè)曲邊梯形面積的近似值：

但這僅僅是一個(gè)近似值，需要有機(jī)整合。不難發(fā)現(xiàn)，隨著分割越來(lái)越細(xì)密，和式（ξi）Δxi的近似程度就越高。因此，有機(jī)整合的手段就是讓分割T越來(lái)越細(xì)密，當(dāng)分割的細(xì)度 ‖T‖ →0時(shí)，和式的極限（如果存在的話）就是該曲邊梯形的面積（精確值）。經(jīng)過(guò)抽象概括，即得定積分的定義：

由此可知，在定積分的定義中，分割、近似即為分析過(guò)程，作和、取極限則為綜合過(guò)程。可以說(shuō)，定積分的定義是分析法與綜合法相結(jié)合的完美范例。

運(yùn)用同樣的思維方法，可以定義重積分、曲線積分、曲面積分等概念。

3 結(jié)語(yǔ)

《數(shù)學(xué)分析》現(xiàn)已成為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)（包括函數(shù)論、泛函分析、微分方程等學(xué)科）的重要基礎(chǔ)，因而學(xué)好該課程就顯得尤為重要。由于大學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的差異與銜接等問(wèn)題，導(dǎo)致相對(duì)一部分大學(xué)新生往往不能適應(yīng)《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)，特別是感到基本概念難于理解，思維方式與表達(dá)形式不易掌握。因此，對(duì)《數(shù)學(xué)分析》課程中基本概念與思維方式教學(xué)的探討就顯得十分重要。極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念是《數(shù)學(xué)分析》中至關(guān)重要的基本概念，對(duì)它們的理解與掌握，是學(xué)好該課程的關(guān)鍵所在。而對(duì)這些概念的認(rèn)識(shí)，又恰好是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。由上所述，當(dāng)了解了導(dǎo)入這些概念的分析與綜合的思想方法以后，化解難點(diǎn)、突出重點(diǎn)就變得迎刃而解了。當(dāng)然，除了上述探討的分析與綜合思維方法以外，《數(shù)學(xué)分析》中還蘊(yùn)含客觀世界普遍聯(lián)系與運(yùn)動(dòng)、發(fā)展的觀念，人類(lèi)認(rèn)識(shí)與實(shí)踐的觀念與規(guī)律，唯物辯證法的基本發(fā)展規(guī)律如質(zhì)量互變規(guī)律、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律等等［4］。因此，在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中，注重相關(guān)的哲學(xué)思想與方法，可以提升教師與學(xué)生雙方的認(rèn)識(shí)高度與水平，真正培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，對(duì)指導(dǎo)《數(shù)學(xué)分析》及其相關(guān)后繼課程的教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量，都有十分重要的意義。

［1］李秀林，王于，李懷春 .辯證唯物主義和歷史唯物主義原理 ［M］.第5版，北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.

［2］華東師大數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 ［M］.第4版 .北京：高等教育出版社，2010.

［3］徐利治 .數(shù)學(xué)方法論選講 ［M］.第3版 .武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.

［4］張景中 .數(shù)學(xué)哲學(xué) ［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.