張衛(wèi)華

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都610031）

高速列車耦合大系統(tǒng)動力學研究

張衛(wèi)華

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都610031）

根據(jù)高速鐵路結(jié)構和技術特點，把高速列車以及與之相關并影響其動力學性能的線路、氣流、供電和接觸網(wǎng)等耦合系統(tǒng)作為一個統(tǒng)一的大系統(tǒng)，通過建立高速列車、線路、弓網(wǎng)及供電等子系統(tǒng)動力學模型，以及輪軌、弓網(wǎng)、流固和機電等耦合關系模型，形成高速列車耦合大系統(tǒng)動力學模型。針對高速列車運行模擬要求，給出基于循環(huán)變量方法的列車動力學建模及計算方法、基于滑移模型的車線耦合計算方法、基于松弛因子的流固耦合計算方法，實現(xiàn)高速列車耦合大系統(tǒng)動力學仿真。

高速鐵路；高速列車；動力學；耦合關系；仿真計算

1　前言

中國高速鐵路的蓬勃發(fā)展，不僅給世界帶來了一個驚喜，高鐵走出去戰(zhàn)略的實施，也帶動了世界高速鐵路的發(fā)展。高速鐵路的發(fā)展，給動力學研究帶來了新的課題和挑戰(zhàn)。為了設計高速動車組的動力學性能，優(yōu)化高速列車與線路、受電弓與接觸網(wǎng)之間的匹配關系，掌握氣流作用對高速列車運行及其弓網(wǎng)接觸受流等擾動影響。2007年原鐵道部制訂《時速300～350公里高速動車組總體技術方案》[1]時（1公里=1 km），在本文作者的倡議下，把“發(fā)展和應用高速列車耦合大系統(tǒng)動力學理論”作為高速動車組的創(chuàng)新要點，通過國家支撐計劃項目“中國高速列車關鍵技術研究及裝備研制”課題一“共性基礎及系統(tǒng)集成技術”的實施，這一創(chuàng)新要點取得很好的進展，形成了《高速列車耦合大系統(tǒng)理論與實踐》一書。本文將介紹其理論部分的工作。

2　高速列車耦合大系統(tǒng)動力學建模

高速列車耦合大系統(tǒng)動力學是以高速列車為核心，把高速列車以及與之相關并影響其動力學性能的線路、氣流、供電和接觸網(wǎng)等耦合系統(tǒng)作為一個統(tǒng)一的大系統(tǒng)，研究高速列車動力學行為，以實現(xiàn)全局仿真、優(yōu)化和控制的科學。因此，高速列車耦合大系統(tǒng)基本的子系統(tǒng)包括車輛系統(tǒng)、線路系統(tǒng)、弓網(wǎng)系統(tǒng)、供電系統(tǒng)以及影響列車動力學性能的氣流。不同系統(tǒng)的響應是相互影響、相互關聯(lián)的，而兩兩之間存在著特有的耦合關系，其中包含了傳統(tǒng)的列車內(nèi)部的車間耦合關系、車線之間的輪軌耦合關系、受電弓與接觸網(wǎng)之間的弓網(wǎng)耦合關系、供電系統(tǒng)與列車之間的機電耦合關系、列車與環(huán)境（氣流）之間的流固耦合關系，見圖1。

圖1　高速列車耦合大系統(tǒng)Fig.1　The coupled systems in high-speed train

圖2是更加具體化的高速列車耦合大系統(tǒng)動力學關系圖。首先是列車，列車由動車或者拖車編組而成，每節(jié)車是基本單元，即傳統(tǒng)車輛系統(tǒng)動力學研究的對象，在列車中需要考慮車與車之間的耦合作用力。受電弓安裝在列車中某個車輛上，受電弓的底座隨該車輛頂部的運動而運動，受電弓與接觸網(wǎng)之間，通過受電弓頂部的滑板與接觸網(wǎng)下部的接觸線實現(xiàn)滑動接觸，實現(xiàn)弓網(wǎng)相互作用力和電的耦合和傳動。列車與線路是通過輪軌相互作用來實現(xiàn)力的傳遞。線路有鋼軌、無砟軌道板和路堤或高架橋等組成部分，它們之間也將通過力的傳遞建立耦合關系。最后是氣流，高速氣流作用到列車上，不僅影響到列車運動姿態(tài)，也會影響弓網(wǎng)系統(tǒng)的振動?？梢钥吹剑藱C電耦合，其他系統(tǒng)都是直接用力耦合形成大系統(tǒng)動力學。而機電耦合，通過電能和機械能的相互轉(zhuǎn)換，用電機的扭矩來驅(qū)動（或制動）車輪，最終在輪軌接觸點上產(chǎn)生牽引力（或制動力），使得列車加速、減速或者恒速運行。

圖2　高速列車耦合大系統(tǒng)動力學模型Fig.2　Dynamics model for coupled systems in high-speed train

基于子結(jié)構方法，分別建立車輛系統(tǒng)、軌道系統(tǒng)、弓網(wǎng)系統(tǒng)、氣流、供電系統(tǒng)和牽引傳動系統(tǒng)的系統(tǒng)模型，再建立基于列車動力學的車間、弓網(wǎng)、輪軌、機電和流固等耦合模型，最終形成高速列車耦合大系統(tǒng)動力學模型，具體的介紹見筆者的專著[2]。

2.1車輛系統(tǒng)剛?cè)狁詈辖?/p>

車輛系統(tǒng)動力學建模采用多體系統(tǒng)動力學建模方法，而車輛系統(tǒng)與一般多體系統(tǒng)的主要區(qū)別之一就是車輛系統(tǒng)沿特定軌道運動，因此發(fā)展出基于軌道坐標系車輛系統(tǒng)建模方法[3]，如圖3所示。假設整個車輛系統(tǒng)定義在同一個絕對坐標系（全局慣性坐標系）OXYZ中，引入一個軌道坐標系OtXtYtZt，該坐標系X軸與曲線相切指向車輛前進方向，Z軸垂直于水平面向上，Y軸垂直XOZ平面向左，軌道坐標系跟隨車輛系統(tǒng)一起沿軌道中心線運動，軌道坐標系的坐標原點用軌道弧長s唯一確定。每個運動體（剛體或柔性體）擁有一個體坐標系，假設圖中車體i，其體坐標系為OiXiYiZi，車體i在全局慣性坐標系中的位置用其體坐標系原點的位置矢量Ri表示，假設車體上任意一點P在其體坐標系中的位置矢量為p，在絕對坐標系下該矢量為up，考慮在軌道坐標系中的慣性體的彈性變形，體坐標系相對全局慣性坐標系的方位矩陣為Ai，車體上P的位置矢量可以表示為：

圖3　柔性體描述Fig.3　Flexible body description

式(1)中,Ri為車體在軌道坐標系中的位置矢量，Ri= [0 yizi]；Rt=Rt（s）為軌道坐標系在總體坐標中的位置矢量；At=At(ψ（s）,θ（s）,?（s）)為軌道坐標系相對總體坐標系的變換矩陣,采用歐拉角坐標系描述;ψ（s）, θ（s）,?（s）分別為軌道的搖頭角、點頭角和側(cè)滾角，當s確定時Rt和At為已知量。

令

柔性體i的廣義坐標包括模態(tài)坐標，即：

則公式（3）可以簡化為：

采用多剛體同樣的推導方式可得到彈性體質(zhì)量矩陣：

式（8）中，mRR為柔性體平動慣量；mRθ為平動與轉(zhuǎn)動的慣性耦合項；mRf為平動與變形的慣性耦合項；mθθ為轉(zhuǎn)動慣性張量；mθf為轉(zhuǎn)動與變形的慣性耦合項；mff為體彈性變形的慣性。

與剛體相比，除了存在廣義外力外，柔性體還存在結(jié)構變形彈性力和阻尼力，阻尼矩陣D和剛度矩陣K可表示為：

式(10)中，ωi為柔性體第i階固有頻率；ζi為等效粘性阻尼比。車體i的廣義慣性力為：

考慮到約束，車體的剛?cè)狁詈戏匠炭梢詫懗桑?/p>

式(12)中，λ為拉格朗日乘子；Qv為與速度二次項相關的廣義慣性力；Qe為一般力元廣義外力；Qwr為輪軌力廣義力；Cp為約束方程雅克比矩陣；C(p,t)為約束方程，包含了歐拉參數(shù)的約束條件。對于整個車輛系統(tǒng)可以分別建立每個慣性體的動力學方程，采用矩陣組裝的方式形成整個車輛系統(tǒng)的微分代數(shù)方程組，車輛系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W方程與式（12）形式相同。

與位移模態(tài)疊加法類似，采用應力和應變模態(tài)進行疊加，可計算出結(jié)構的應力和應變。假設結(jié)構屬于線性小變形，在進行有限元模態(tài)分析時同時計算出各階振型對應的應力和應變，這些應力和應變結(jié)果稱為應力模態(tài)和應變模態(tài)。根據(jù)有限元應力和應變計算公式可以得到下式內(nèi)容：

式（13）、式（14）中，B為應變矩陣；Ε為彈性矩陣；Φε和Φσ分別為應變和應力模態(tài)與位移模態(tài)相似。

2.2高速無砟軌道建模

采用無砟軌道是高速鐵路發(fā)展趨勢，傳統(tǒng)的有砟軌道建模方法日趨成熟[4]，無砟軌道也有學者進行研究[5]。由于高速鐵路無砟軌道分在路堤段和高架橋路段，建模方法也有所不同，這里以高架橋路段模型為例。

橋梁段無碴軌道模型中，軌道被視為由鋼軌，扣件系統(tǒng)，軌道板，CA砂漿層以及橋梁組成。其中，左右鋼軌被視為連續(xù)彈性離散點支撐基礎上的Timoshenko梁，并考慮鋼軌的垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動，軌道板用三維實體有限元單元模擬，鋼軌扣件和CA砂漿層用周期性離散的粘彈性單元代替，橋梁采用梁單元模擬?？紤]地震的橋梁段無砟軌道系統(tǒng)模型如圖4所示[5，6]。

圖4　高架橋段無碴軌道動力學模型Fig.4　The dynamic model of slab track on embankment elevation

為簡化計算，假設Timoshenko梁支座兩端及其中間軌下支撐處的地震激勵是一致的，則地震作用下鋼軌的運動方程可簡化，利用模態(tài)疊加法，模態(tài)廣義坐標下的鋼軌運動二階常微分方程為：

鋼軌橫向運動方程

鋼軌垂向運動方程

鋼軌扭轉(zhuǎn)運動方程

式（15）～式（17）中，qyk(t)、qzk(t)、qTk(t)分別為鋼軌的橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)正則坐標；wyk(t)、wzk(t)分別為鋼軌橫向和垂向振動時，鋼軌截面轉(zhuǎn)角的正則坐標；ρ為鋼軌的單位長度密度；m為鋼軌單位長度質(zhì)量；E為鋼軌彈性模量；G為鋼軌剪切模量；GK為鋼軌抗扭轉(zhuǎn)剛度；A為鋼軌截面面積；Iy和Iz分別為鋼軌截面對y、z軸的慣性矩；I0為鋼軌截面的極慣性矩；κy和κz分別為鋼軌橫、垂向截面的剪切因子；Yk(x)、Zk(x)和Φk(x)分別對應鋼軌橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)的正則振型函數(shù)；下標k為鋼軌的第k階模態(tài)，NMY、NMZ、NMT為鋼軌橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)振動在數(shù)值計算中考慮的模態(tài)階數(shù)；ltim為鋼軌的計算長度；Rzi和Ryi分別為第i支點垂向、橫向支反力；Fwrzj和Fwryj分別為第j位車輪作用于鋼軌的垂向、橫向荷載；Msi和MGj分別為第i支點處鋼軌支反力矩和第j位車輪作用于鋼軌的力矩；Rzi(t)和Ryi(t)分別為軌下支承的垂向、橫向反力；Yg(t)、Zg(t)分別為作用在鋼軌兩端和各軌下支撐地基處的地震波橫、垂向位移激勵。

軌道板采用有限元方法進行建模，CA砂漿層被視為平面連續(xù)的彈簧阻尼系統(tǒng)。軌道板在全局坐標下的運動方程可表示為：

式(18)中，[M]、[C]、[K]分別為軌道板的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；下標i為鋼軌下軌道板的標號軌道板總個數(shù)Nslab；{x}i為第i軌道板的位移列陣；{Frs}i和{Fg}i分別為鋼軌對軌道板的作用力和地基與軌道板之間作用力列陣。

式(19)、式(20)中，Kp、Cp和KCAM、CCAM分別為鋼軌扣件系統(tǒng)和CA砂漿層的剛度和阻尼；{xg}i為第i軌道板下的地震激勵位移列陣。

對于橋梁結(jié)構的建模，可以采用數(shù)值方法（有限元）和解析法進行。采用三維實體建模方法，只需按照橋梁結(jié)構（包括橋面和橋墩）的實際尺寸、材料屬性和結(jié)構特性，用有限元法建模即可，這里不再介紹。對解析法，可采用Euler-Bernoulli梁來模擬橋梁的彎曲振動，軌道板對橋梁的作用通過軌道板支座反力以均布力的形式施加在橋梁上。

基于連續(xù)梁正則振型的正交性，采用模態(tài)疊加法將橋梁的四階偏微分方程整理為關于正則振型坐標的二階常微分方程：

橫向

式（21）～（23）中，qbyk(t)、qbzk(t)、qbTk(t)分別為橋梁的橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)正則坐標；mb為橋梁單位長度質(zhì)量；ρb為橋梁材料的密度；lb為橋梁長度；Eb為橋梁彈性模量；Ab為鋼軌截面面積；GbKb為橋梁結(jié)構的抗扭轉(zhuǎn)剛度；Iby和Ibz分別為橋梁截面對y、z軸的慣性矩；Ib0為橋梁截面的極慣性矩。Yg(t)、Zg(t)分別為作用在橋梁支座處的地震波橫、垂向位移激勵；py(x，t)、pz(x，t)和Mb(x，t)分別為軌道板通過CA砂漿作用于橋梁的垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)力矩均布荷載，其中py(x，t)、pz(x，t)可表示為：

式(24)、式(25)中，kyCAM、kzCAM、cyCAM、czCAM分別為CA砂漿層的橫向、垂向均布的剛度和阻尼；Ys(x，t)、Zs(x，t)分別為作用在橋梁支座下方路基的橫向和垂向位移；而yb(x，t)、zb(x，t)分別為作用在橋梁支的橫向和垂向位移；·為對運動變量求導。

聯(lián)合求解公式（15）～（25），即可得到橋梁段無砟軌道系統(tǒng)的動態(tài)響應。

2.3受電弓模型

受電弓的動力學模型已經(jīng)發(fā)展很多，包括：多剛體模型、歸算質(zhì)量模型、剛?cè)峄旌夏Ｐ鸵约叭嵝泽w模型等，如圖5所示。

圖5　受電弓模型Fig.5　Pantograph model

盡管受電弓已經(jīng)發(fā)展到了可以采用全柔性全空間模型，但是傳統(tǒng)受電弓歸算質(zhì)量模型也較為常用，如圖5（b）所示。

對于多剛體受電弓模型[7]，根據(jù)受電弓空氣動力學仿真計算得到的氣動阻力和升力，按照受電弓氣動抬升力計算方法，計算得到前后滑板的氣動抬升力Fa1和Fa2，由此，弓頭前后滑板的運動微分方程可寫為：

式(28)、式(29)中，kh、ch分別為弓頭與框架間剛度、阻尼；ld為前、后滑板距離之半；θh為平衡臂與水平間夾角。

為了簡化框架非線性運動微分方程，得到框架的歸算參數(shù)，需在某一工作高度對框架部分的運動方程進行線性化[8]，線性化后的框架部分的運動微分方程，如下式：

式(30)中，F(xiàn)0為靜態(tài)接觸壓力。式（26)～式(30)就是傳統(tǒng)的受電弓三質(zhì)量塊模型。為了進一步考慮受電弓框架中上臂桿的彈性變形，將受電弓框架部分等效為兩個集中質(zhì)量塊，如圖6所示，質(zhì)量塊m3的運動微分方程（30）只需將右端置為零，而m4的運動微分方程，可寫成如下的形式。

圖6　四質(zhì)量塊模型Fig.6　Four lumped mass model

隨著受電弓運行速度的不斷提升，弓網(wǎng)相互作用引起的高頻振動成分不斷增加，以及強氣流引發(fā)的流致振動的影響，使得受電弓弓頭滑板以及框架臂桿等關鍵部件的柔性變形日益顯著。為此，建立起剛?cè)峄旌?，甚至全柔性受電弓模型是最近受電弓建模的方向。剛?cè)峄旌虾腿嵝允茈姽７椒ㄟ@里不再介紹，詳見文獻[9]。

2.4接觸網(wǎng)建模

筆者曾采用Fourier展開和模態(tài)技術進行接觸網(wǎng)建模的方法[10，11]，也是當今應用較多的一種建模方法，圖7是簡單鏈型接觸網(wǎng)的計算模型，由承力索、接觸線、吊弦、支柱和限位器組成。由于這一模型已經(jīng)誕生多年，已為他人所熟悉，不再介紹。

圖7　簡單鏈型接觸網(wǎng)模型Fig.7　Model of simple catenary

由于采用模態(tài)疊加方法來獲得接觸網(wǎng)運動方程存在模態(tài)截斷誤差，為此，近十年多采用直接積分方法來研究弓網(wǎng)關系。直接建模方法即是通過解析或數(shù)值方法，定義接觸網(wǎng)各部件在空間的幾何位置、拓撲關系及受力狀況，從而建立接觸網(wǎng)的運動微分方程，得到其數(shù)學模型。

將接觸網(wǎng)的接觸導線假設為伯努利-歐拉梁，接觸線的張力為Tc，線密度為ρc，抗彎剛度為EIc，由此可建立接觸線的運動微分方程為[12]：

式(32)中，yc（x，t）為接觸線的振動位移；kdi為第i根吊弦的剛度；ymi為第i根吊弦處承力索的振動位移；yci為第i根吊弦處接觸線的振動位移；xci為第i根吊弦的x方向坐標；第Fc為弓網(wǎng)接觸壓力；v為受電弓運行速度。

類似的，將接觸網(wǎng)的承力索假設為伯努利-歐拉梁，承力索的張力為Tm，線密度為ρm，抗彎剛度為EIm。這里考慮高架線路、列車和弓網(wǎng)耦合的模型見圖8。

圖8　高架橋上弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學模型Fig.8　Dynamic model of pantograph-catenary in viaduct

考慮橋梁振動引發(fā)的接觸網(wǎng)支柱振動的影響時，假設接觸網(wǎng)支柱為剛性體，ys為橋梁的振動位移，由此也可以建立承力索的運動微分方程為：

式(33)中，ksj為第j個承力索座的支撐剛度；ymj為第j個承力索座處承力索的振動位移；ysj為橋梁振動引起的第j個承力索座的位移；xsj為第j個承力索座的x方向坐標。

另外，風對接觸網(wǎng)振動影響很大，但式（32）和式（33）僅是接觸網(wǎng)垂向振動方程，無法考慮風的影響，但可以采用有限元法建立三維接觸網(wǎng)模型進行考慮，具體可在節(jié)點載荷向量加入風載荷，從而考慮風產(chǎn)生的氣動影響。

就高速列車耦合大系統(tǒng)動力學而言，理論上還需考慮其牽引供電系統(tǒng)相對而言，牽引供電和傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能主要對列車的縱向動力學有較大影響，與車輛系統(tǒng)動力學的運動穩(wěn)定性、運行平穩(wěn)性和安全性關系度相對較小。因此，具體的狀態(tài)方程推導略，詳細內(nèi)容可見文獻[2]。

2.5耦合模型

前面建立了車輛系統(tǒng)、線路、弓網(wǎng)等子系統(tǒng)的運動微分方程，接下來就要建立各子系統(tǒng)的耦合關系，形成高速列車耦合大系統(tǒng)動力學模型。

1）車間耦合模型。高速列車的車端連接裝置主要包括密接式車鉤緩沖裝置、車間減振器（如有）、內(nèi)外風擋及空氣、電氣連接設備，而其中對列車動力學性能產(chǎn)生重要影響的有車鉤緩沖裝置、車間減振器及密接式風擋裝置。采用的建模方法是力元建模方法，其中密接式車鉤緩沖裝置簡化成彈簧-阻尼并聯(lián)力元模型，風擋簡化成一個萬向-摩擦力元模型，車間減振器就直接用阻尼器模型，或者也可以考慮車間減振器兩端的連接剛度，簡化成彈簧-阻尼-彈簧串聯(lián)力元模型。

2）輪軌耦合模型。輪軌接觸在基于多體動力學的車輛系統(tǒng)模型中可以作為一種特殊的力元處理，但與一般力元相比，輪軌接觸力元要復雜的多，這是車輛系統(tǒng)與一般多體系統(tǒng)的主要區(qū)別。

輪軌力主要分為輪軌接觸法向力和輪軌蠕滑力，輪軌法向力的計算主要有約束反力法和非線性赫茲彈簧法，輪軌蠕滑力的計算有很多相對成熟的輪軌蠕滑理論，如Vermeulen-Johnson[13]、Kalker簡化理論(FASTSIM)[14]、沈氏理論[15]、Polach非線性接觸理論[16]和Kalker三維精確理論（CONTACT）[17]等。由于這里僅僅引用前人得到的結(jié)果，不再贅述。

3）弓網(wǎng)耦合模型。受電弓滑板和接觸網(wǎng)的接觸線是相對滑動接觸。目前的弓網(wǎng)動力學研究一般不考慮空間運動，僅僅考慮垂向振動的點接觸模型，筆者在文獻[9]提出了要考慮接觸形貌的空間弓網(wǎng)接觸。這時，弓網(wǎng)接觸點的接觸壓力為Fc，可采用傳統(tǒng)的非線性接觸剛度計算方法；而弓網(wǎng)接觸點的摩擦力Fμ為摩擦系數(shù)乘接觸壓力，此時，接觸線對受電弓滑板的作用力為：

4）流固耦合模型。高速列車與普速列車最大不同就是受氣流的影響，因此，高速列車均采用流線型設計。高速列車運行時，氣流作用包括阻力、升力和側(cè)向力（或力矩）。鑒于流固耦合計算的復雜性，在流固耦合計算時大體采用兩種不同的耦合計算模式：離線耦合仿真和在線聯(lián)合仿真。

離線耦合仿真方法是傳統(tǒng)的列車空氣動力學計算方法，僅僅適用于對計算精度要求不高的空曠條件下穩(wěn)態(tài)氣流作用時的列車空氣動力學計算。將列車運行姿態(tài)變化甚至車體等變形造成的氣動力變化，實時地反映在高速列車動力學計算中，實現(xiàn)真正的流固耦合計算，是會車、隧道通過和脈動風作用等動態(tài)過程仿真的唯一選擇。結(jié)合列車動力學方程和流體控制方程，高速列車聯(lián)合仿真的表達式如下[19]：

式(35)中，ρ為流體密度；t為時間變量；v為速度矢量；grad為梯度算子；Γ為擴散系數(shù)；S為源項；φ為流場變量；ρ為氣流密度；V為該有限控制體的體積；A為該控制體的表面面積；n為控制體表面外法向方向矢量；P為列車剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學計算中的車體表面節(jié)點映射到流體計算中的車體表面節(jié)點的對應函數(shù)；氣動力（矩）Fa為關于流場變量φ的積分函數(shù)H。

2.6高速列車耦合大系統(tǒng)動力學建模

有了高速列車各子系統(tǒng)的數(shù)學模型以及耦合關系的模型，就構建成了高速列車（耦合）大系統(tǒng)動力學模型。圖9是以高速列車為核心，考慮線路系統(tǒng)、供電系統(tǒng)、弓網(wǎng)系統(tǒng)以及氣流等子系統(tǒng)的模型框圖，通過車車、輪軌、弓網(wǎng)、流固和機電耦合形成高速列車耦合大系統(tǒng)動力學模型。在大系統(tǒng)動力學模型中，體現(xiàn)了多體、多態(tài)耦合的復雜性，但由于采用了考慮耦合關系的子結(jié)構方式，這不僅使得建模時可以依托不同專業(yè)進行建模，更重要的是在仿真計算時，可以根據(jù)耦合和研究的需要，靈活實現(xiàn)不同子系統(tǒng)之間的耦合。

圖9　高速列車耦合大系統(tǒng)動力學建模Fig.9　Dynamics model for coupled system of high-speed train

3　高速列車耦合大系統(tǒng)動力學耦合仿真方法

有了數(shù)學模型就可以編程，形成仿真軟件。但是，仿真計算除了模型，還需要計算方法的支撐，特別是高速列車耦合大系統(tǒng)動力學，不僅要處理多體、多態(tài)的復雜系統(tǒng)，還要考慮耦合大系統(tǒng)和運行仿真所帶來的龐大的計算和儲存量問題，同時還要處理由于車車耦合、車線耦合和流固耦合等帶來的耦合計算問題。下面先針對車車耦合、車線耦合和流固耦合，先介紹一些特殊的計算處理方法。

3.1車車耦合計算方法

傳統(tǒng)的列車動力學建模和積分方法，是把全列車的各自由度運動微分方程全部寫出，組成整列車自由度的龐大矩陣進行同步計算，此方法存在建模復雜且工作量大，解題規(guī)模大的弊端。根據(jù)列車僅由幾種類型的機車車輛組成的情況，如圖10所示，筆者在文獻[6，18]中提出了循環(huán)變量方法，把一節(jié)車看成一個基本的積分單元，這樣新的積分方法不像傳統(tǒng)的積分方法那樣，需要在每一個時間步長一次計算出列車系統(tǒng)中所有變量的運動狀態(tài)，而是，先計算第一節(jié)車，再計算第二節(jié)車，這樣一節(jié)車、一節(jié)車逐個進行計算，直到計算出尾車的運動狀態(tài)，再進入下個積分步長。在新的積分計算方法中，由于式（9）和變量被重復使用，因此，新的積分方法可稱之為循環(huán)變量法；由于在積分中從第一節(jié)車開始計算，后面車的計算用到前面已算出的新運動狀態(tài)，達到遞推的效果，所以也稱遞推積分方法。

圖10　列車編組Fig.10　Train formation

3.2考慮車線耦合的長大復合結(jié)構線路計算方法

高速列車耦合大系統(tǒng)動力學仿真，需要模擬移動的列車在線路系統(tǒng)上運行，這就要求系統(tǒng)模型中有足夠長的線路模型，這樣不僅導致計算精度低，而且計算工作量大。實際上，由于振動的衰減，當列車在線路上運行時，只有接近列車前后區(qū)域的軌道參與振動，就可以采用筆者在文獻[6]提出的滑移窗口建模和計算，僅僅把參與車線耦合振動的線路模型放到系統(tǒng)里計算，線路模型隨著車的運行而移動，實現(xiàn)計算模型窗口的滑移。

圖11是高架無砟軌道線路考慮車線耦合的滑移窗口計算模型，由于橋梁、軌道板、枕木的離散和邊界條件的不統(tǒng)一，導致表示橋梁、軌道板和鋼軌的窗口不統(tǒng)一，而且依次覆蓋（見圖11），其中橋墩以鉸支座為窗口邊界、軌道板以軌道板邊緣為窗口邊界、軌道以枕木為窗口邊界分別劃定各自計算窗口，顯然，這些計算窗口在滑移時是跳躍前進的，而且被覆蓋的窗口不能躍出覆蓋窗口，這就要求鋼軌滑移窗口的長度確定不僅僅要考慮到振動的衰減，還要考慮橋梁和軌道板窗口跳躍前進不躍出窗口。

圖11　滑移窗口示意圖Fig.11　Sliding window

對于橋梁和軌道板，可對窗口內(nèi)的每一個橋梁或者軌道板進行完整建模，并假設滑進或者滑出的橋梁或者軌道板的振動為零，因此，滑移計算沒有問題。由于高速鐵路鋼軌采用的是無縫鋼軌，沒有邊界，因此鋼軌的窗口是人為設置的簡支梁。圖12中，滑移窗口內(nèi)的鋼軌為AB，滑移到下個窗口為A′B′，這時在兩個窗口的共同區(qū)域（虛線框內(nèi)），里面鋼軌的振動位移一定是相同的。應用模態(tài)疊加法，Zrk(x)、qrzk(t)和Z′rk(x′)、q′rzk(t)分別是滑移前后兩個窗口的鋼軌模態(tài)和模態(tài)變量，這時的AB和A′B′窗口內(nèi)的振動位移Zr(x，t)和Z′r(x′，t)可表達為：

圖12　鋼軌的滑移窗口Fig.12　Sliding window of rail

由于兩個窗口共同區(qū)的振動必須一致（共同區(qū)外的振動視為零），設考慮計算的鋼軌模態(tài)為nz階，滑移前窗口AB為t0時刻，窗口AB在共同區(qū)的位移已知，xk取nz個點。由于滑移后A′B′窗口在共同區(qū)的位移一致，就有：

從而得到滑移后A′B′鋼軌在t0時刻的振動模態(tài)q′rzk(t)，這樣就實現(xiàn)了窗口AB和窗口A′B′的滑移。

3.3基于松弛因子的高速列車流固耦合聯(lián)合仿真計算方法

高速列車流固耦合動力學中存在一個關鍵問題：列車空氣動力學和列車系統(tǒng)動力學之間迭代的耗散問題。為了盡可能降低列車空氣動力學和列車系統(tǒng)動力學之間迭代的耗散，研究團隊提出了一種基于松弛因子的高速列車流固耦合聯(lián)合仿真方法[19]，如圖13所示?；谒沙谝蜃拥母咚倭熊嚵鞴恬詈下?lián)合仿真方法的關鍵之處在于：第i+1時刻（即第i+1個耦合迭代步）空氣動力學求解器傳遞給車輛系統(tǒng)動力學求解器的氣動力不是第i時刻的氣動力，而是由第i時刻以及第i-1時刻等的氣動力信息預測校正而得到。

圖13　基于松弛因子的高速列車流固耦合聯(lián)合仿真Fig.13　Fluid-structure co-simulation method with a relaxation factor

假設第i-1時刻和第i時刻列車空氣動力學求解器計算得到的列車氣動力分別為fi-1和fi，并且列車空氣動力學求解的時間迭代步長為Δt，那么第i時刻的列車氣動力的一階導數(shù)近似可以表述如下：

由于時間迭代步長Δt量級比較小，故預測第i+1時刻的列車氣動力近似為

通過引入松弛因子λ對第i+1時刻的列車氣動力進行修正，則第i+1時刻空氣動力學求解器傳遞給車輛系統(tǒng)動力學求解器的氣動力表達式為：

當λ=0時，第i+1時刻空氣動力學求解器傳遞給車輛系統(tǒng)動力學求解器的氣動力為fi，即是傳統(tǒng)的流固聯(lián)合仿真方法。

研究結(jié)果表明[19]：當松弛因子λ選取0.5時，列車空氣動力學和列車系統(tǒng)動力學之間迭代的耗散最小，這樣既保證計算精度，也提高了計算效率。

有了高速列車耦合大系統(tǒng)動力學模型和特殊的計算方法，就可以構成高速列車耦合大系統(tǒng)仿真平臺，實現(xiàn)列車在無限長度線路上的運行模擬。

4　結(jié)語

本文提出進行高速列車耦合大系統(tǒng)動力學理論，考慮列車與線路、受電弓、接觸網(wǎng)、牽引供電系統(tǒng)以及氣流等對高速列車運行的影響。在高速列車不斷提高速度的今天，考慮系統(tǒng)耦合的精確建模與仿真是十分必要的，也是傳統(tǒng)的車輛系統(tǒng)動力學理論的發(fā)展。高速列車耦合大系統(tǒng)動力學，不僅僅是簡單的系統(tǒng)增大，而且系統(tǒng)變得很復雜，要考慮多體、多態(tài)，而且也不再是單純的動力學這樣的力學問題，而是有了應力、電、甚至熱的問題。因此，高速列車耦合大系統(tǒng)動力學理論是研究的廣義動力學問題，它的提出，不僅僅是研究方法進步，更是車輛系統(tǒng)動力學學科的發(fā)展。筆者相信，這一理論會在高速鐵路的發(fā)展中，特別是高速列車的性能提升和安全保障方面，將發(fā)揮越來越重要的作用。

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Study on dynamics of coupled systems in high-speed trains

Zhang Weihua
(State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

According to the structure and technical features of high-speed railway，the highspeed train，rail line，air flow，power supply and catenary which are relevant to the high-speed train and have an effect on the dynamic behavior of the high-speed train are coupled as a unified system.The dynamic model of coupled systems in high-speed trains are created by establishing the dynamic models of high-speed train，rail line，pantograph-catenary and power supply and the coupled interaction models of wheel-rail，pantograph-catenary，liquid-solid and electro-mechanical.For the high speed train operation simulation requirements，this paper studied the train dynamics modeling and calculation method based on cyclic variable parameters method，the train-line coupled calculation method based on the slip model and the liquid-solid coupled calculation method based on the relaxation factor.the simulation of coupled systems in highspeed trains are realized.

high-speed train；service performance；train detection；tracking test；performance evolution

U270.11

A

1009-1742(2015)04-0012-41

2015-01-07

國家自然科學重點基金項目(U1234208)

張衛(wèi)華，1961年出生，男，江蘇宜興市人，教授，博士，研究方向為機車車輛動力學；E-mail：tpl@home.swjtu.edu.cn