陳　童，黎　放，狄　鵬

（海軍工程大學(xué)管理工程系，武漢430033）

基于馬爾可夫到達(dá)過(guò)程的兩級(jí)可修備件（S-1，S）庫(kù)存優(yōu)化模型

陳童，黎放，狄鵬

（海軍工程大學(xué)管理工程系，武漢430033）

本文以兩級(jí)可修備件庫(kù)存系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用馬爾可夫到達(dá)過(guò)程（MAP）描述備件需求規(guī)律，考慮有限維修設(shè)施的情況，假設(shè)故障件維修時(shí)間、備件運(yùn)輸時(shí)間以及采購(gòu)時(shí)間均服從phase-type（PH）分布，建立了一種描述能力更強(qiáng)、解析計(jì)算性更好的（S-1，S）庫(kù)存優(yōu)化模型，并推導(dǎo)出系統(tǒng)缺貨量分布函數(shù)；然后通過(guò)算例演示了模型的優(yōu)化效果，驗(yàn)證了模型的正確性和適用性。

（S-1，S）庫(kù)存策略；兩級(jí)庫(kù)存；可修備件；馬爾可夫到達(dá)過(guò)程

1　前言

在軍事裝備、民用高技術(shù)產(chǎn)品等領(lǐng)域，對(duì)于具有較高可靠性，并且流通量較低的昂貴可修備件，管理者通常選擇多級(jí)（S-1，S）庫(kù)存策略。Sherbrooke[1]最早根據(jù)這種庫(kù)存策略開(kāi)發(fā)了METRIC模型，他選擇費(fèi)用約束下的期望缺貨量最小為優(yōu)化目標(biāo)，假設(shè)各級(jí)維修能力無(wú)限。Grave[2]針對(duì)Sherbrooke研究中設(shè)計(jì)了一種便于理解的近似計(jì)算方法。文獻(xiàn)[3，4]則針對(duì)METRIC模型無(wú)限修理能力的假設(shè)，研究了維修臺(tái)有限情況下的多級(jí)可修備件庫(kù)存模型。付興方等[5]研究了兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)備件分配優(yōu)化方法。Lau和Song[6]采用非平穩(wěn)Poisson過(guò)程研究了維修能力有限的兩級(jí)可修庫(kù)存系統(tǒng)。這些研究均采用Poisson過(guò)程描述部件的失效過(guò)程，假設(shè)維修時(shí)間等服從指數(shù)分布，這樣的假設(shè)具有一定的不合理性[7]。Kim等[8]為了放寬假設(shè)條件，進(jìn)一步假設(shè)維修時(shí)間服從一般分布，維修臺(tái)有限；但該研究仍是建立在需求到達(dá)是Poisson流的基礎(chǔ)上，因此假設(shè)條件仍略顯嚴(yán)格。

本文針對(duì)已有研究假設(shè)條件過(guò)于嚴(yán)格的情況，提出采用馬爾可夫到達(dá)過(guò)程（MAP）描述備件的需求情況，考慮有限維修設(shè)施的情況，假設(shè)故障件維修時(shí)間、備件運(yùn)輸時(shí)間以及采購(gòu)時(shí)間均服從一般分布，采用phase-type（PH）分布進(jìn)行表示；建立了一個(gè)描述能力更強(qiáng)的兩級(jí)可修備件（S-1，S）庫(kù)存模型。采用MAP描述需求到達(dá)過(guò)程時(shí)，（S-1，S）策略通常并不是最優(yōu)策略，這是因?yàn)楫?dāng)需求過(guò)程比較平穩(wěn)時(shí)，適當(dāng)增加訂貨延遲時(shí)間是有助于降低成本的。但在軍事和工業(yè)領(lǐng)域，備件缺貨除了對(duì)費(fèi)用的影響，往往還會(huì)導(dǎo)致任務(wù)失敗或增加設(shè)備的安全風(fēng)險(xiǎn)，因此采用（S-1，S）策略更加穩(wěn)妥，也更符合實(shí)際情況。

利用MAP和PH分布開(kāi)展研究具有如下好處。

1）將備件需求過(guò)程表示為MAP形式便可以利用“MAP類在[0，+∞）的概率空間上，對(duì)平穩(wěn)點(diǎn)過(guò)程類似稠密[9]”這一性質(zhì)。該性質(zhì)使得MAP類涵蓋了許多常用的點(diǎn)過(guò)程[10]，如泊松過(guò)程、PH更新過(guò)程等；并且實(shí)際的備件需求往往具有突發(fā)性，而MAP本身結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)[11]使它能夠很好的描述和分析突發(fā)現(xiàn)象。因此，MAP非常適合描述備件的需求發(fā)生規(guī)律。

2）采用PH分布表示一般分布是因?yàn)椋喝魏畏植伎偪梢赃x擇一個(gè)適當(dāng)?shù)腜H分布把它擬合到任意精確的程度[12]，因此PH分布可以作為許多假設(shè)分布的一般表述，采用PH分布描述維修時(shí)間等能有效避免指數(shù)分布等經(jīng)典分布的局限性。

2　預(yù)備知識(shí)

首先介紹PH分布和MAP的有關(guān)概念。

定義1[7][0,+∞)上的概率分布函數(shù)F(?)稱為PH分布，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)有限狀態(tài)馬爾科夫過(guò)程的吸收時(shí)間分布，有分布函數(shù)

式（1）中，T為m階方陣；α=(α1，α2，...，αm)為其瞬態(tài)的初始概率向量；e為元素均為1的m階列向量；(α，T)稱為該P(yáng)H分布的m階表示。PH分布中的每一個(gè)瞬態(tài)稱為相位。

定義2[11]一個(gè)有限不可約馬爾可夫鏈具有狀態(tài)空間S={1，2，...，m}，設(shè)D為該馬爾可夫鏈的無(wú)窮小生成元。狀態(tài)i的逗留時(shí)間服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，在該狀態(tài)即將結(jié)束時(shí)，有下列兩個(gè)事件之一發(fā)生：

1）存在一個(gè)馬爾可夫鏈，使得從狀態(tài)i到 j（1≤i，j≤m）的轉(zhuǎn)移中，有一個(gè)事件到達(dá)的概率為pij(1)；

2）存在一個(gè)馬爾可夫鏈，使得從狀態(tài)i到 j（1≤i，j≤m；i≠j）的轉(zhuǎn)移中，沒(méi)有事件到達(dá)的概率為pij(0)。

可以看到只有通過(guò)一次事件到達(dá)，才能使得狀態(tài)i返回到自身。并且有：

D0和D1分別是控制沒(méi)有事件到達(dá)和有單個(gè)事件到達(dá)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，它們均為m階子隨機(jī)矩陣，可以給出無(wú)窮小生成元D=D0+D1。

然后，定義A(t)為在(0，t]內(nèi)事件到達(dá)的次數(shù)；J(t)為在時(shí)刻t嵌入馬爾可夫鏈所處的狀態(tài)，其狀態(tài)空間為{i:1≤i≤m}。則{A(t)，J(t)}為一個(gè)兩維馬爾可夫過(guò)程，其狀態(tài)空間為{(n，i):n≥0，1≤i≤m}。而{A(t)，J(t)}被稱為馬爾可夫到達(dá)過(guò)程。

MAP是半馬氏過(guò)程的特例，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

設(shè)π是無(wú)窮小生成元為D的穩(wěn)態(tài)概率向量，則有：πD=0,?πe=1。并且πD1e表示在MAP進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，單位時(shí)間內(nèi)事件到達(dá)的期望個(gè)數(shù)。

下面給出Kronecker乘積的定義，它在后面的模型中被大量使用。

定義3[13]如果 A和B分別為m1×m2和n1×n2的矩陣，它們的 Kronecker乘積 A?B則為m1n1×m2n2的矩陣，且：

3　問(wèn)題描述

本文假設(shè)如下。

1）一個(gè)中心倉(cāng)庫(kù)通常負(fù)責(zé)N個(gè)基地的備件供應(yīng)和維修，在中心倉(cāng)庫(kù)和基地分別存有S0和Si（i=1，...，N）個(gè)某型備件，并且在中心倉(cāng)庫(kù)和每個(gè)基地均有一個(gè)維修站。

2）基地i（i=1，...，N）的故障到達(dá)是一個(gè)MAP，具有m階表示（E0(i)，E1(i)）。

3）當(dāng)基地i中出現(xiàn)一個(gè)備件需求時(shí)，若該基地中仍有庫(kù)存，則立刻滿足該需求?；豬備件需求處理過(guò)程示意圖見(jiàn)圖1。該更換下來(lái)的故障件有r的概率可在基地進(jìn)行維修，否則需交給中心倉(cāng)庫(kù)處理。

4）故障件交還中心倉(cāng)庫(kù)得同時(shí)，基地向中心倉(cāng)庫(kù)申領(lǐng)一個(gè)備件，若中心倉(cāng)庫(kù)有庫(kù)存則立即下發(fā)，否則需要等待維修完成或訂貨到達(dá)；

5）在中心倉(cāng)庫(kù)，故障件有p的概率可修，1-p的概率報(bào)廢；當(dāng)發(fā)生報(bào)廢時(shí)，中心倉(cāng)庫(kù)需向生產(chǎn)廠家訂購(gòu)；

6）基地i（i=1，...，N）的維修站維修時(shí)間服從PH分布，具有ki階表示(αi，Ti)；中心倉(cāng)庫(kù)維修站維修時(shí)間服從PH分布，具有k0階表示(α0，T0)；所有維修站均采用先到先服務(wù)原則；

7）采購(gòu)時(shí)間服從PH分布，具有 kC階表示(αC，TC)；

圖1　基地i備件需求處理過(guò)程示意圖Fig.1　The disposal process for spare parts demand of base i

8）從中心倉(cāng)庫(kù)向各基地的運(yùn)輸時(shí)間服從PH分布，具有kiY階表示(αiY，TiY)；而從基地向中心倉(cāng)庫(kù)運(yùn)送故障件的時(shí)間則可以計(jì)入中心倉(cāng)庫(kù)的維修時(shí)間或采購(gòu)時(shí)間中，不單獨(dú)列出。

9）所有節(jié)點(diǎn)均選擇（S-1，S）補(bǔ)充策略。

4　系統(tǒng)特性

下面首先對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的備件供應(yīng)流程進(jìn)行分析。

4.1備件供應(yīng)流程

根據(jù)假設(shè)條件，可以將整個(gè)備件供應(yīng)流程劃分為4個(gè)部分，如圖2所示。

圖2　備件供應(yīng)流程劃分示意圖Fig.2　The partition of spare parts supply flow

令OPi、DIi和BOi分別表示基地i的工作部件數(shù)、維修隊(duì)長(zhǎng)和缺貨量；和表示在中心倉(cāng)庫(kù)的等待維修隊(duì)長(zhǎng)和采購(gòu)隊(duì)列隊(duì)長(zhǎng)，則表示中心倉(cāng)庫(kù)不可用件數(shù)量；而中心倉(cāng)庫(kù)的缺貨量為BO0，其中基地i在中心倉(cāng)庫(kù)未滿足訂單的比例為 fi；OH0和OHi分別表示中心倉(cāng)庫(kù)和各基地的可用件數(shù)量；在運(yùn)往基地i途中的備件數(shù)為TRi。下面研究這些參數(shù)之間的關(guān)系：

由上述關(guān)系式可知，BO0和BOi可以表示為多個(gè)隨機(jī)變量的卷積形式。而又由假設(shè)條件可知和TRi均是MAP/PH/1排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)，則通過(guò)研究MAP/PH/1排隊(duì)系統(tǒng)可知它們所服

從的分布。

4.2MAP/PH/1排隊(duì)系統(tǒng)

令ψ(t)=(S(t)，I(t)，J(t))，其中S(t)、I(t)和J(t)分別為在時(shí)刻t的系統(tǒng)顧客數(shù)，顧客到達(dá)過(guò)程相位和服務(wù)臺(tái)工作相位；另假設(shè)服務(wù)時(shí)間服從k階PH (a，T)分布。則為連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間 Ω可以表示為：Ω=h1?h2。其中，h1={(0，i)：1≤i≤m}表示系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客；h2={(s，i，j)：1≤s，1≤i≤m，1≤j≤k}表示系統(tǒng)內(nèi)有s個(gè)顧客，其中一個(gè)顧客正在接受服務(wù)。

通常稱S(t)為狀態(tài)空間的宏?duì)顟B(tài)。對(duì)宏?duì)顟B(tài)按字典序排列，可以給出該馬爾可夫鏈的無(wú)窮小生成元矩陣：

式（9）中，B00=D0；B01=D1?a；B10=D0?T0；A0=D1?T；A1=D0?T+D1?T0a；A2=D0?T0a。

對(duì)維修臺(tái)工作情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)維修臺(tái)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程亦為一個(gè)MAP，其中無(wú)窮小生成元矩陣為C=T+T0α；因此，存在一組穩(wěn)態(tài)概率向量πs使得：πsC=0，πse=1。

定理1矩陣A和C均是不可約隨機(jī)陣，并且矩陣A的穩(wěn)態(tài)概率向量πA=π?πs。

證明由A和C的定義已知它們均為不可約隨機(jī)陣，而：

因此矩陣A的穩(wěn)態(tài)概率向量πA=π?πs。定理得證。

由MAP和PH分布性質(zhì)知，顧客到達(dá)率和服務(wù)率分別為：λ=πD1e，u=-aT-1e。

Neuts[14，15]給出了求矩陣Q穩(wěn)態(tài)概率向量的一個(gè)重要矩陣——率陣R，R是矩陣方程R2A2+RA1+A0=0的最小非負(fù)解。

證明根據(jù)文獻(xiàn)[7]定理2.4知若該馬氏鏈正常返，則必須{} ψ(t)的 R的譜半徑 sp(R)＜1，即πAA2＞πAA0，該式正是經(jīng)典排隊(duì)系統(tǒng) μ＞λ條件向矩陣空間的推廣。定理得證。

在定理1、定理2的基礎(chǔ)上，運(yùn)用矩陣幾何解理論，不難得出：

推論1若 ρ＜1，則矩陣Q的穩(wěn)態(tài)概率向量θ=(θ0，θ1，θ2，...)存在，且θk=θ1Rk-1，k＞1；而 θ0和θ1滿足下面的矩陣方程：

并且由下式歸一化后可得θ：

θ就是系統(tǒng)在任意時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)分布函數(shù)，因此容易給出任意時(shí)刻隊(duì)長(zhǎng)的各階矩參數(shù)。根據(jù)推論1可以獲得各維修隊(duì)列、采購(gòu)隊(duì)列的平均隊(duì)長(zhǎng)及方差等參數(shù)。

此外，備件從中心倉(cāng)庫(kù)向基地i運(yùn)送的過(guò)程也可以看作是一個(gè)MAP/PH/1排隊(duì)系統(tǒng)，這是因?yàn)閭浼M(jìn)入運(yùn)輸渠道是一個(gè)MAP，而運(yùn)輸時(shí)間可以視為服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間，因此根據(jù)推論1容易確定運(yùn)輸中的備件個(gè)數(shù)分布。

4.3缺貨量分布

記x0為中心倉(cāng)庫(kù)不可用備件數(shù)，則中心倉(cāng)庫(kù)缺貨量的期望值可以表示為：

在到達(dá)過(guò)程為MAP的情況下，由MAP性質(zhì)[15]可知：

令xi為基地i的不可用備件數(shù)，則基地i的期望缺貨量則為：

而B(niǎo)Oi的兩階矩為：

在獲得各基地缺貨量的期望和方差后，Grave[2]通過(guò)大量數(shù)據(jù)分析認(rèn)為缺貨量分布可以近似表示為參數(shù)a和b的負(fù)二項(xiàng)分布，因此本文亦直接采用該結(jié)論，由式（20）、式（21）可確定出a、b的值。

5　庫(kù)存優(yōu)化模型

定義PBO(S0，Si)為在給定S0和Si值后，基地i發(fā)生缺貨的概率，由4.3節(jié)獲得的缺貨量分布容易得到：

因?yàn)楦骰厥且粋€(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，因此該多級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)的備件滿足率可以表示為：

以總費(fèi)用ctotal最小為目標(biāo)函數(shù)，確定合適的S*=(S0，S1，...，SN)使得整個(gè)系統(tǒng)滿足備件滿足率約束。令c1、c2、c3、c4和c5分別為備件單價(jià)，單位備件庫(kù)存費(fèi)用，單位備件基地維修費(fèi)用，單位備件中心倉(cāng)庫(kù)維修費(fèi)用和單位缺貨費(fèi)用，因此該優(yōu)化模型可以表示為如下形式：

式（23）中，Li和Wi分別表示各庫(kù)存點(diǎn)庫(kù)存量和維修隊(duì)列長(zhǎng)。

顯然，備件滿足率與單個(gè)庫(kù)存點(diǎn)備件數(shù)之間存在單調(diào)遞增關(guān)系；但A(S0，S1，...，SN)與{(S0，S1，...，SN)}的關(guān)系由于涉及多個(gè)相互獨(dú)立的變量，就非常復(fù)雜了。對(duì)這類非線性整數(shù)規(guī)劃模型而言，許多成熟的智能算法均能有效獲得最優(yōu)解。本文對(duì)智能算法不做深入研究，而直接采用遺傳算法進(jìn)行求解。

下面通過(guò)示例演示MAP和PH分布能夠有效描述兩級(jí)可修備件的（S-1，S）庫(kù)存模型。

6　算例

某中心倉(cāng)庫(kù)負(fù)責(zé)4個(gè)基地的備件供應(yīng)和維修保障任務(wù)?；豬的某型部件備件需求到達(dá)過(guò)程可以表示為MAP（D0(i)，D1(i)）；而各基地的維修時(shí)間分布、向中心倉(cāng)庫(kù)運(yùn)輸故障部件的時(shí)間分布可以分別表示為PH（αi，Ti）和PH（αiY，TiY），表1、表2是各基地的需求、維修及運(yùn)輸數(shù)據(jù)。

中心倉(cāng)庫(kù)的維修時(shí)間分布為PH(α0，T0)，采購(gòu)備件的時(shí)間分布為PH(αC，TC)，其中：

而在中心倉(cāng)庫(kù)可修的概率則為p=0.79。c1、c2、c3、c4和c5分別為備件單價(jià)，單位備件年庫(kù)存費(fèi)用，單位備件基地維修費(fèi)用，單位備件中心倉(cāng)庫(kù)維修費(fèi)用和單位缺貨費(fèi)用，c1=26 800元，c2=90元，c3=440元，c4=1 900元，c5=7 000元。

表1　各基地備件需求到達(dá)過(guò)程Table 1　The spare parts demand process of each base

表2　各基地備件維修時(shí)間分布及運(yùn)輸時(shí)間分布Table 2　The distributions of repair time and transit time for each base

下面利用4.3節(jié)獲得的缺貨量分布，研究中心倉(cāng)庫(kù)和各基地備件數(shù)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的備件滿足率的影響。由于本優(yōu)化模型包含5個(gè)自變量，因此為了便于更直觀地了解備件數(shù)與備件滿足率之間的關(guān)系，以中心倉(cāng)庫(kù)備件數(shù)S0、基地1備件數(shù)S1同時(shí)對(duì)系統(tǒng)備件滿足率的影響為例進(jìn)行說(shuō)明。

如圖3所示，令其他基地備件數(shù)均為0時(shí)，可以看到整個(gè)系統(tǒng)的備件滿足率早期隨著S0、S1增加而增加幅度較大；但當(dāng)S0≥8并且S1≥2時(shí)，備件滿足率就保持在0.711 2附近，說(shuō)明要使?jié)M足率繼續(xù)增加，必須調(diào)整其他基地的備件量。當(dāng)其他基地的備件數(shù)均設(shè)為1時(shí)，系統(tǒng)備件滿足率有大幅提升，迅速達(dá)到了0.937 4附近。而當(dāng)其他基地的備件數(shù)均為5時(shí)，滿足率上升則沒(méi)有早期那么明顯了，穩(wěn)定在0.999 9附近。從圖3可以看到，當(dāng)給定其他基地的備件數(shù)時(shí)，S0、S1對(duì)滿足率的影響十分相似。同時(shí)也表明無(wú)論中心倉(cāng)庫(kù)還是基地的備件數(shù)增加，均會(huì)使得備件滿足率增加，只是增加的幅度與系統(tǒng)內(nèi)其他倉(cāng)庫(kù)的備件數(shù)量密切相關(guān)；如果只增加S0,…,S4中任意一個(gè)，整個(gè)系統(tǒng)的備件滿足率增長(zhǎng)則十分有限。而當(dāng)S0,...,S4均較大時(shí)，系統(tǒng)的備件滿足率非常接近1，但此時(shí)僅購(gòu)置費(fèi)就會(huì)大幅上升。

圖3　中心倉(cāng)庫(kù)和基地1備件數(shù)對(duì)備件滿足率的影響Fig.3　The influence of the spare amount of central depot and base 1 on the system spare fill rate

在對(duì)備件滿足率的分析過(guò)程中，人工對(duì)各庫(kù)存點(diǎn)的庫(kù)存量進(jìn)行調(diào)整，發(fā)現(xiàn)當(dāng)(S0，...，S4)=(6，0，2，2，1)時(shí)，滿足率為0.9092；而(S0，...，S4)=(5，1，1，1，1)時(shí)，滿足率達(dá)到了0.921 5。這說(shuō)明為了提高系統(tǒng)的備件滿足率，除了增加總的備件量外，還必須合理分配各單位的備件數(shù)。

7　結(jié)語(yǔ)

本文分析了以往多級(jí)可修備件庫(kù)存模型中存在的問(wèn)題，用MAP描述各基地的故障到達(dá)流，將維修與采購(gòu)時(shí)間、運(yùn)輸時(shí)間均假設(shè)服從一般分布，建立了一個(gè)適應(yīng)性更好的多級(jí)可修備件（S-1，S）模型，并給出了該系統(tǒng)缺貨量分布。該類模型涉及到的庫(kù)存優(yōu)化算法是庫(kù)存模型研究的一個(gè)重要方向，結(jié)合該類庫(kù)存問(wèn)題的實(shí)際背景和特點(diǎn)，開(kāi)發(fā)更合理高效的啟發(fā)式算法對(duì)本文模型在實(shí)際工作中獲得有效應(yīng)用有著重要的意義。本文建立的模型在計(jì)算時(shí)涉及到矩陣的運(yùn)算，而目前高性能計(jì)算機(jī)和矩陣解析方法的應(yīng)用能對(duì)大型矩陣的運(yùn)算提供良好的支持，所以本文建立的模型具有很好的實(shí)用價(jià)值。

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A two-echelon（S-1，S）inventory model for repairable items based on markovian arrival process

Chen Tong，Li Fang，Di Peng
（Department of Management Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

This paper investigates a two-echolon inventory system with（S-1，S）policy that consists of several same repairable items and single repair facility，and assumes that the item demand occur according to a markovian arrival process（MAP），the repair time，ship time and procurement time follow the general distribution which is represented by phase-type（PH）distribution.Then a inventory optimization model with better description ability and analytical performance is given，and the probability distribution of backorder is obtained.Finally，a numerical example was given to illustrate the effectiveness of the model.

（S-1，S）policy；two-echelon inventory；repairable item；markovian arrival process

F253.4

A

1009-1742（2015）05-0113-07

2015-03-15

陳童，1980年出生，男，河南駐馬店市人，博士，研究方向?yàn)檠b備綜合保障，系統(tǒng)可靠性；E-mail：chentong@nudt.edu.cn