莊惠芬

兒童在數(shù)學學習過程中要經(jīng)歷小學—初中—高中這樣的發(fā)展階段，新課程實施以來，為了促進各學段之間的銜接，九年義務教育分為三個學段，名稱也相應地改為第一學段—第二學段—第三學段，數(shù)學內(nèi)容的四個領域和課程目標也有了銜接。但是在具體實施過程中，教材編者各自為政地編寫、實施教學的教師也獨自在自己學段進行研究，因此課程實施過程中出現(xiàn)了斷層、脫節(jié)、重復等現(xiàn)象。我們常常覺得學生的問題解決意識與問題解決能力弱，這是因為每個學段的編者和教者都沒有一種整體的視野，缺少一種從銜接視野的角度進行數(shù)學教學模式的構(gòu)建。

PBL是Problem-Based Learning（基于問題的學習）的縮寫，是一種以問題為驅(qū)動力和以培養(yǎng)學習者問題意識、批判性思維技巧以及問題解決的實踐能力為主要目標的學習。（胡慶芳、程克拉語）對學生而言，在數(shù)學學習中，大抵都要經(jīng)歷問題情境—數(shù)學問題—建立模型—解釋拓展應用—檢驗等這樣的過程。發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題也成為新課程標準中的“四能”。如果能以PBL理念下基于問題的學習作為兒童數(shù)學學習銜接的載體，那么通過對教學內(nèi)容、教學方式與思維方式進行有機整合和銜接，形成可操作的銜接策略，就能促進兒童數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。

一、銜接學科本質(zhì)，重塑PBL數(shù)學教學的特點

PBL教學應用在數(shù)學中，主要是培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，即有數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學能力和數(shù)學態(tài)度。其中數(shù)學能力主要是數(shù)學思維能力，還包括應用數(shù)學方法觀察、分析和解決實際問題的能力；數(shù)學態(tài)度則是相信數(shù)學，熱愛數(shù)學，用數(shù)學的態(tài)度以及大膽創(chuàng)新的態(tài)度，使其真正做到數(shù)學來源于實踐，應用于實踐。

1.情境性

基于問題學習，采用有趣的方式（如瀏覽圖片、欣賞音樂、觀察實物、故意設疑、談話引導、現(xiàn)場游戲、案例分析、講故事、做實驗等），巧妙地創(chuàng)設問題情境。注重把學習置于具有挑戰(zhàn)的、有意義的問題情境中，讓學生去經(jīng)歷、去感悟、去觀察、去理解、去認識，最終掌握之；讓學生通過合作探索解決實際問題，形成解決問題的方法與策略，建構(gòu)數(shù)學模型，獲得自主學習的能力與數(shù)學思維的發(fā)展。

2.體驗性

PBL數(shù)學教學模式主張以問題為載體并貫穿整個教與學的過程中，在實踐中不斷優(yōu)化自主學習方法。這種教學方式要求學生親身體驗數(shù)學活動，讓他們積極進行探究和創(chuàng)造性思維活動，使“主體”真正地主動聯(lián)系已有的知識、技能、經(jīng)驗，進行有理有據(jù)的猜想、推理，一絲不茍地研究、分析，不拘一格地創(chuàng)想、創(chuàng)造，在這個過程中不斷變換角度、思路進行審視、調(diào)整，自我否定、自我修正。在這個過程中認識到現(xiàn)實生活中的實際問題，面對實際問題，組織學生采取板演、講解、對話、挑戰(zhàn)、辯論、評價等多種形式展示交流，彼此思維碰撞，點燃創(chuàng)新火花，建立合適的數(shù)學模型，用積累的解決問題策略、數(shù)學活動經(jīng)驗探索其應用價值。

3.思維性

在PBL數(shù)學教學模式的建構(gòu)中，真正讓學生得益的是獲得數(shù)學的思想精神、浸潤數(shù)學的文化力量、習得科學的數(shù)學思維方式。在問題解決過程中，通過觀察、猜想、實驗、推向、歸納、類比等過程獲得探究的思想與思路，并能進一步驗證、拓展和應用。在這個過程中，引導學生有條有理地表達、有根有據(jù)地探索，運用數(shù)學語言進行合乎邏輯地質(zhì)疑和思辨。在這個過程中，不僅獲得知識，更多的是獲得一種思維方式，做到心中有數(shù)、自我完善、自我激勵。

4.模型化

廣義地說，數(shù)學即模型，基于PBL理念下的問題解決過程就是學生針對數(shù)學概念、規(guī)律等特征，以及數(shù)量間的關系，進行建立模型的過程。因此基于PBL理念下的數(shù)學教學，是從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，不斷經(jīng)歷問題情境—建立模型—解釋：對模型求解—應用與拓展的過程。兒童經(jīng)歷的這個過程就是對數(shù)學模型建立、理解、運用、把握的過程，利用數(shù)學的思想方法、知識技能、經(jīng)驗策略解決問題的過程。

5.思想性

在PBL理念的指導下，我們看到的是數(shù)學學科本質(zhì)的充分體現(xiàn)，理趣與情趣的交融、思維和思想的生成。“求真”：讓學生擁有數(shù)學的頭腦，從數(shù)學中尋找真理的力量，放手讓他們自己去實驗、自己去爭辯、自己去探索，學會從數(shù)學的角度思考問題?！罢樯啤保杭橙?shù)學的精神養(yǎng)分，讓學生從理性精神中汲取力量，從歷史演進中汲取力量?！吧忻馈保悍窒頂?shù)學世界的美妙、數(shù)學方法的優(yōu)美、解決問題過程中思路的簡潔、不同視角的獨特、不同方法的殊途同歸、探索過程的一波三折、問題結(jié)果的出人意料。

二、銜接課程旨歸，重覓PBL數(shù)學教學的內(nèi)容

“銜接”是按照數(shù)學課程目標的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)學課程內(nèi)容進行核心內(nèi)容的梳理、思維方式的有機結(jié)合，在這過程中關照知識的銜接、心理的調(diào)適、方法的指導、行為的跟進、思想的順應、生活的適應，建構(gòu)促進兒童可持續(xù)發(fā)展的課程內(nèi)容和教學素材。

1.立足數(shù)學模型解讀內(nèi)容

（1）從局部到整體。從知識的一棵樹到體系的一片林，我們往往是一課時一課時展開教學，卻忘記背后的體系，所以解讀內(nèi)容需要有結(jié)構(gòu)化的眼光、體系化的視野。

（2）從意義到結(jié)構(gòu)。數(shù)學即模型，數(shù)學即抽象了的結(jié)構(gòu)，在兒童理解數(shù)學的意義基礎上需要進行必要的抽象和模型建構(gòu)。

（3）從結(jié)構(gòu)到思想。按照具體情境，經(jīng)歷探索過程，建立模型，解釋拓展運用。讓學生借助直觀體驗，進行猜想、舉例驗證，運用多種策略解決問題。

（4）從探究到應用。在基于問題解決的數(shù)學學習中，注重的是解決問題的情景和背景，讓學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程，同時突出運用數(shù)學模型不斷解釋、拓展、解決新的問題。

（5）從建構(gòu)到解構(gòu)。在數(shù)學建構(gòu)過程中，學生不斷豐富和完善自己的觀點和模型，并在解決問題的過程中不斷取舍完善、體會結(jié)構(gòu)的合理性。

2.立足數(shù)學建模把握價值

教材對于教師與學生來說，是冰冷的文本、是靜態(tài)的結(jié)果、是抽象的內(nèi)容，在編排中也是一種封閉的回環(huán)的體例。小學教師要用課程的視野進行同一內(nèi)容不同學段的銜接，梳理不同學段的內(nèi)容脈絡，將冰冷的文本化作火熱的思考。

（1）從知識擴充中把握規(guī)律本質(zhì)。在小學階段的運算律教學中，有學生詢問為什么有乘法運算律、加法運算律，卻沒有除法和減法運算律，只有運算性質(zhì)呢？其實，如果用銜接的視野來看，就會發(fā)現(xiàn)在自然數(shù)集中，減法、除法與加法、乘法互為逆運算；如果學習了負數(shù)，那么減法不就自然變成了加法；如果學習了分數(shù)除法，除法不就轉(zhuǎn)化成了乘法。因此，減法和除法的運算性質(zhì)是流，而不是源。

（2）從數(shù)學模型中抽象方法模型。教材的編排有一個共同的特點，會讓學生在解決問題的過程中有幾種方法、幾種不同的思路；在備教材過程中，對核心問題的提出非常關鍵，在讓學生發(fā)現(xiàn)不同思路的同時更要讓學生知道觀察結(jié)果的相同，并且理清為什么結(jié)果會相同，不同中的相同，偶然中的必然。在建立模型的基礎上要讓學生舉例驗證、拓展運用，在解決新問題中發(fā)現(xiàn)與之前模型的相同與不同，不斷經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題—實驗驗證—得出結(jié)論—拓展應用的過程。

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，因此在銜接中要注重數(shù)與形兩大方面的相互銜接，要注意在內(nèi)容上的“瞻前顧后”，方法上的“上銜下接”，思想上的“左顧右盼”，著力凸現(xiàn)出“創(chuàng)設問題情境—現(xiàn)實問題數(shù)學化—問題解決與數(shù)學建?！獞门c拓展”的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)“讓學生做數(shù)學、研究數(shù)學”的價值取向。

三、銜接教學程序，重建PBL數(shù)學教學的模式

PBL數(shù)學教學方式是以問題為起點，以學習者為中心，置身于真實情境中的問題式的學習。PBL數(shù)學教學方式以學生作為問題的解決者和知識能力的建構(gòu)者，有學生個人、小組和集體的討論、探索、表達的機會，是一種以自主學習為核心解決問題的教學模式。

1.基于“模型建構(gòu)”的教學

PBL課堂教學的特點：重自主、重體驗、重童性、重素養(yǎng)、重人格?；窘虒W模式：

[原型喚醒] → [問題簡化] → [經(jīng)歷創(chuàng)造] → [協(xié)作會話] → [拓展延伸]

（1）“原型喚醒”，讓學生親身體驗生活，讓學生主動獲取真實信息，增強學生的數(shù)學意識。

（2）“問題簡化”，意義賦予，實現(xiàn)問題簡化的過程。

（3）“經(jīng)歷創(chuàng)造”，創(chuàng)設一些把所學知識運用到生活實際的環(huán)境，來促進學生把數(shù)學模型建構(gòu)得更好，感受數(shù)學之真。

（4）“協(xié)作會話”，主要通過兒童、文本、教師三者之間的有效協(xié)作，體悟數(shù)學之美，為兒童合理建模奠定基礎，在兒童的世界里共生。

（5）“拓展延伸”，通過尋找知識與學生生活的最佳結(jié)合點，豐富兒童心智，完善兒童人格，獲得數(shù)學之善。

學生在真實情境中將生活問題抽象成數(shù)學問題，不同的學生采用不同的方法，學習過程圍繞問題展開，把現(xiàn)實生活中的實際問題所包含的數(shù)學知識、規(guī)律抽象出來，建成數(shù)學模型，讓兒童在問題、挑戰(zhàn)、挫折、取勝中交替體驗，在選擇、判斷、協(xié)作、交流的輪換操作中經(jīng)歷，進而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、建立模型、解釋拓展應用，走向新的學、用知識的過程。

2.基于“學習共同體”的教學

案例：有一次來家中抄天然氣表的阿姨無意間說：“這個月，你家的天然氣用量怎么比往常增加了？”讓一凡同學產(chǎn)生了思考：是不是我家的天然氣存在浪費現(xiàn)象？如何研究？

一凡和大家共同研究：在相同的條件下，煮沸相同器皿中相同水量的水，天然氣的耗量與天然氣點火旋鈕的角度打開度是否有關系。經(jīng)過多次實驗，發(fā)現(xiàn)當旋鈕開度為30°～45°和135°～150°時，天然氣耗量最少。由此可以得出結(jié)論，減小天然氣流量，適當延長加熱時間，具有節(jié)氣的效果。

這是一種類似于數(shù)學課題學習的模式，形成“基于數(shù)學、源于數(shù)學、始于課堂、源于生活”的教學模式。教學內(nèi)容和教材內(nèi)容緊密聯(lián)系并進一步拓展深化，主要有生活問題、社會問題、實踐問題三類。在這個過程中，注重數(shù)學模型的建構(gòu)、數(shù)學思想的滲透，不斷從單項模型深化為模型群。比如：（1）手機收費“全球通88系列套餐”選擇的分析；（2）自行車與兒童身高的問題；（3）小動作大作用——談改裝后抽水馬桶的節(jié)能；（4）游園路線；（5）安全疏散模型；（6）大課間學生行進的最佳路線；（7）峰谷電合算不合算？（8）紅綠燈的時間分配合理嗎？等等。數(shù)學模型問題應運而生。在這個過程中，不僅有數(shù)與式的運算、數(shù)量關系的抽象、數(shù)據(jù)分析的明晰、空間與圖形的想象，還伴隨著觀察、分析、判斷、分析、概括、選擇、統(tǒng)計等諸多方面。

3.基于“模塊整理”的教學

在數(shù)學教學實踐過程中，我們也研制了“加減乘除的整理”“圖形之間的關系”“運算律的整理”等?！皵?shù)學整理課教學模式”中諸環(huán)節(jié)和心理機制、認知規(guī)律之間的基本關系可用下表表示：

這樣基于問題學習的整理課，不同內(nèi)容有所不同，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，重在銜接模型之間的聯(lián)系與溝通，即在單個模型的基礎上，把相關聯(lián)的各個模型構(gòu)建成一個數(shù)學模塊，形成一個網(wǎng)絡式的模塊體系。在這個過程中，知識的整理是載體、模型群的建立是關系、方法鏈的銜接為要義，要在學生的頭腦中形成知識框架、方法結(jié)構(gòu)、數(shù)學模型。

4.基于“情境問題”的教學

從設置數(shù)學情景—提出數(shù)學問題—解決數(shù)學問題—注重數(shù)學應用，基于問題的數(shù)學學習能夠通過好問題場的設置，讓兒童親身體驗、自主探究，實現(xiàn)“提出問題─解決問題─提出新問題─解決新問題”的螺旋式發(fā)展，獲得發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的思維方式，對數(shù)學模型的建構(gòu)有著直觀和深刻的理解和把握。

模式的核心是問題的提出，將兒童的問題意識、問題能力貫穿于學習過程中，讓兒童能從發(fā)散性提出問題—主題性提出問題—自主創(chuàng)設問題情境中不斷發(fā)展。內(nèi)在聯(lián)系：創(chuàng)設情境是前提，提出問題是核心，解決問題是目標，應用知識是歸宿。

PBL強調(diào)以學生為中心，學生學得輕松、理解得透、掌握得牢、應用得趣，創(chuàng)想有樂；讓我們啟迪智慧、開發(fā)悟性、挖掘潛能、培養(yǎng)能力、陶冶情操，基于問題的學習讓學生享受貫通的酣暢、豁然開朗的喜悅、自主建構(gòu)的興奮、應用自如的徜徉，讓課堂成為學生快樂的生命之旅！