徐 茜

（深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 深圳 518055）

科學(xué)的本質(zhì)是“真、善、美”，這種科學(xué)美，歷來為科學(xué)大師所推崇，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）曾說：“一個名符其實的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在自己的工作中體驗到和藝術(shù)家一樣的印象。他的樂趣和藝術(shù)家的樂趣具有同樣的性質(zhì)，是同樣偉大的東西。”[1]這種科學(xué)美在電工基礎(chǔ)理論中也有明顯表現(xiàn)，電工基礎(chǔ)理論所揭示的真理是真與美的統(tǒng)一。對稱美是電工基礎(chǔ)理論中常見的美學(xué)的特征，分析和探討電工基礎(chǔ)理論的對稱美學(xué)特征，并把它應(yīng)用到高職教學(xué)中，對于改進(jìn)教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬思路改善思維方式有重要作用。

1 電工基礎(chǔ)理論中的對稱美

對稱（偶）性普遍存在于宇宙之中，在日常生活中處處都可見到對稱，潔白的雪花，彩色的蝴蝶，絢麗的花瓣等無不呈現(xiàn)出妙趣天成的對稱性。人們對于對稱性美的體驗，來自對于人體、動物、植物、山川、河流等外形美的觀感上，自然美的外觀表現(xiàn)是自然美的形式美。在中國的國粹文化中，對稱美具有獨特的地位，中國的建筑、繪畫、詩歌、楹聯(lián)、圖章、書法等，都閃耀著對稱美的光輝。對稱性的美學(xué)價值是一個神秘而有趣的現(xiàn)象。

電路是由電氣器件相互連接而構(gòu)成的，具有傳輸電能、處理信號、測量、控制等功能。我們知道，分析集總參數(shù)電路，主要是基于兩類約束方程的求解，一類是元件約束方程，一類是電路結(jié)構(gòu)約束方程（或拓?fù)浼s束方程）。元件約束是構(gòu)成電路的每個元件上的電壓電流關(guān)系或稱伏安特性，如線性電阻元件，其元件約束滿足歐姆定律 u=Ri；結(jié)構(gòu)約束是電路的連接關(guān)系確定后，各元件的電流之間或電壓之間受到的約束關(guān)系，表示這類約束關(guān)系的是基爾霍夫定律，它只與電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)，即對任意一個結(jié)點，與結(jié)點關(guān)聯(lián)的支路電流滿足基爾霍夫電流定律 ∑i=0，對任意回路，與回路關(guān)聯(lián)的各部分電壓滿足基爾霍夫電壓定律 ∑u=0。

在電路分析中，我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，一些電路變量、元器件、電路結(jié)構(gòu)乃至電路定律定理等會成對出現(xiàn)，其間會存在明顯的一一對應(yīng)關(guān)系，這種特性稱為電路的對稱（偶）性。比如電壓u和電流i、電阻R和電導(dǎo)G、感抗和容抗、阻抗Z和導(dǎo)納Y、電感L與電容C、電壓源和電流源、VCCS和CCVS、VCVS和CCCS、網(wǎng)孔（回路）和結(jié)點、串聯(lián)和并聯(lián)、開路和短路、分壓和分流、基爾霍夫電流定律和電壓定律、戴維南定理和諾頓定理等等。顯然，線性電阻的伏安關(guān)系為u=Ri，線性電導(dǎo)的伏安關(guān)系為i=Gu，兩個關(guān)系式中，如果u和i、R和G互換，則兩個關(guān)系式可以互相轉(zhuǎn)換。同樣的，基爾霍夫電流定律表述為：對任意結(jié)點，有約束關(guān)系∑i=0，基爾霍夫電壓定律表述為：對任意回路（網(wǎng)孔），有約束關(guān)系 ∑u=0，如果結(jié)點和回路、i和 u互換，則兩個約束關(guān)系也可以互換。由于電路分析的兩類約束關(guān)系均存在這種互換性，可以推論，電路分析中，由這兩類約束關(guān)系推導(dǎo)得到的電路定理、電路分析方法等也存在這種互換性。上述具有這種一一對應(yīng)關(guān)系，可以互換的元素稱為對偶元素。

電路中某些元素之間的關(guān)系（或方程），用他們的對偶元素對應(yīng)地置換后，所得到的新關(guān)系（或方程）也一定成立，這個新關(guān)系（或方程）與原有的關(guān)系（或方程）互為對偶，這就是電路中有著美學(xué)特性的重要理論對偶原理[2]。

2 教學(xué)實踐中對稱美學(xué)的運(yùn)用

高等職業(yè)技術(shù)院校各專業(yè)電工課程，并未將電路理論的對偶原理納入課程教學(xué)大綱，但這并不影響我們在教學(xué)過程中，很自然地引入哲學(xué)和美學(xué)范疇的“對偶（稱）”概念，它本身是一種自然的屬性，比如：遠(yuǎn)近、高低、圓缺、胖瘦、大小、東西、男女、美丑、開關(guān)、增減、升降、上下、陰陽等等，對偶（稱）現(xiàn)象無處不在，而且因為形成對偶的兩個元素之間對比強(qiáng)烈，給大腦留下深刻印記，對偶在中國詩文中，常表現(xiàn)為對仗為大眾喜愛。

首先，通過引入對偶概念，加深對一些抽象電路概念的理解記憶。電路中，用足以反映其電磁特性的理想元件及其組合來模擬實際電路中的器件，即電路模型，其中，電阻R、電感L、電容C和電壓源模型的概念相對容易接受，而電流源是一個新的概念，因為生活中無從體驗，所以顯得更抽象。我們可以從相對熟悉的電感元件L和電容元件C引出對偶概念，L和C一個儲存磁場能，一個儲存電場能，磁場和電場是一對對偶量，L和C是一對對偶元件，進(jìn)而提出，電壓源和電流源也存在對偶關(guān)系，電壓和電流也是對偶量。我們發(fā)現(xiàn)，對偶概念不僅反映在電路元件對偶（對偶元件）、電路結(jié)構(gòu)對偶、電路特性對偶，也反映在電路定律和定理中，它是電路中普遍存在的現(xiàn)象。借助對偶概念，我們可以很自然地引入與電阻R對偶的一個電路元件電導(dǎo)G，以及歐姆定律對偶形式u=Ri和 i=Gu，發(fā)現(xiàn)基爾霍夫電壓定律和電流定律是一個對偶的結(jié)論∑i=0和∑u=0。

在電工教學(xué)中，我們一開始就自然引入對偶概念，不僅能加強(qiáng)對抽象概念的記憶，同時也能從宏觀上把握電路的規(guī)律性，讓初學(xué)者賞心悅目，感受到電學(xué)之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。電路中常見對偶元素見表1。

其次，在電路分析中不斷強(qiáng)化應(yīng)用電學(xué)美學(xué)特性。如圖1所示，電阻的串、并聯(lián)電路，分析圖1（a）電路，得到，等效電阻 R=R1+R2，分壓公式：對于圖1（b）電路，只要分析說明它與圖1(a) 的對稱（偶）關(guān)系，電路結(jié)構(gòu)對稱：并聯(lián)對串聯(lián)；電路變量對稱：電流對電壓；電路功能對稱：分流對分壓；電路元件的對稱：電導(dǎo)對電阻。并聯(lián)電路中的電阻常用電導(dǎo)參數(shù)表示，即G1=1/R1，G2=1/R2 ，這樣做的理由，僅僅是為了讓兩個電路完全對稱起來。于是得到圖1（b）電路等效電導(dǎo)G=G1+G2，分流公式：

表1 電路常見對偶元素一覽

圖1 電阻串、并聯(lián)電路

這里，重點是對電路對稱（偶）特性的認(rèn)識，方便記憶分壓分流公式，而且，這個結(jié)論可以推廣至n個電阻（導(dǎo)）串（并）聯(lián)的情況。

另外，借助電路對稱（偶）性特性，可以加深對電路抽象概念的理解。例如，電路模型中，有理想電壓源，自然就會有理想電流源。一個實際電源，可以用理想電壓源和一個電阻串聯(lián)來表示，與之對應(yīng)，一個實際電源也可以用一個理想電流源和一個電導(dǎo)并聯(lián)來表示，這樣，可以自然而然地引出實際電源的兩種電源模型等等。在教學(xué)中，不斷地發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識、應(yīng)用電路的對稱（偶）性、統(tǒng)一性等美學(xué)特性，達(dá)到事半功倍的效果。

3 幾點討論

3.1 從美學(xué)的觀點考察電學(xué)有利于思維方式的多樣化

現(xiàn)代科學(xué)是以概念為中心依靠邏輯推理建立起來的理論體系，電學(xué)也不例外，通過這套體系的嚴(yán)格邏輯性保證了電學(xué)的可靠性。但從美學(xué)的觀點考察電學(xué)，提供另外一個相對直觀的思維方式與觀察方法，有利于促進(jìn)研究和教學(xué)的多樣化。

就電學(xué)中的對稱美來說，對偶原理的本質(zhì)是電路中對應(yīng)的對偶元素互換后，相應(yīng)的數(shù)學(xué)方程（模型）是不變的，所以方程的解不變。它是電網(wǎng)絡(luò)理論中重要的電路定理。教學(xué)實踐中，我們更注重其在思維方法上的指導(dǎo)作用。通過對電路對偶元素的認(rèn)識，運(yùn)用對偶關(guān)系，使學(xué)生對基本概念、電路分析方法、電路定律、電路定理有更好的理解，記憶更牢固。在教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生善于比較分析，及時總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西。

3.2 電工中的美學(xué)概念尚有許多可以深挖之處

除了對稱美的現(xiàn)象與概念之外，電學(xué)還有許多美學(xué)現(xiàn)象與概念可以進(jìn)一步研究和探討。和諧統(tǒng)一性美就是一個例子。和諧是事物在矛盾對立的諸多因素相互作用下實現(xiàn)的統(tǒng)一。人的和諧感覺是與自然的和諧規(guī)律相統(tǒng)一的，它是一個合理的自然的運(yùn)作規(guī)律。和諧統(tǒng)一是指由于相互之間恰到好處在整體上呈現(xiàn)出的協(xié)調(diào)，給人以統(tǒng)一、自洽、對應(yīng)的美感。電學(xué)中的和諧美主要體現(xiàn)在電工理論形式與內(nèi)容的統(tǒng)一、電路定律形式簡單、內(nèi)涵豐富、和諧統(tǒng)一。形式的統(tǒng)一性，就是美的事物在外在形式所具有的相對獨立的審美特性。

直流電路中，元件約束方程的形式，即歐姆定律U=RI（直流電路中，電感L、電容C分別視為短路和開路）；電路拓?fù)浼s束方程的形式，即基爾霍夫電流定律和電壓定律：∑I=0（對任意結(jié)點），∑U=0（對任意回路）。電路分析實際上是一組線性代數(shù)方程的求解。

正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中，電感L、電容C不再被視為短路和開路，和電阻R類似，L、C在電路中對電流也有“阻礙”作用，很顯然這種“阻礙”作用的特性與電阻R是不一樣的。時域中，對電阻R，其元件約束方程依然是歐姆定律u=Ri，對電感L，其元件約束方程為對電容C，其元件約束方程為電路拓?fù)浼s束方程依然是基爾霍夫定律 ∑i=0 （對結(jié)點）和∑u=0 （對回路），因此，正弦穩(wěn)態(tài)電路分析實際上是常系數(shù)n階微分（積分）方程的求解（其特解）。微分方程的求解比線性代數(shù)方程組求解繁雜得多，為此，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析常用相量法。相量法本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)變換，通過變換，建立時域的正弦量與相量域的相量的對應(yīng)關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用相量法，正弦穩(wěn)態(tài)電路兩類約束方程在形式上與直流電路是相似的：元件約束方程I&Z （對電阻Z=R，對電感Z=jwL，對電容稱為相量形式歐姆定律；同樣地，電路拓?fù)浼s束方程：∑I=0（對結(jié)點），∑0=（對回路），稱為相量形式基爾霍夫定律。兩類約束方程形式上的高度統(tǒng)一性，使得用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，直流電路中的所有分析方法、電路定理等可以直接引用。這充分展現(xiàn)了電工理論簡潔、和諧統(tǒng)一之美。

3.3 從美學(xué)視角認(rèn)識、學(xué)習(xí)電工理論知識是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有效方法

愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。教育應(yīng)當(dāng)使所提供的東西讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來接受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負(fù)擔(dān)?！彪姽せA(chǔ)課程的學(xué)習(xí)，對高職學(xué)生來講普遍存在一定的困難：概念抽象、理論性強(qiáng)。因此，從探討電工理論中的美學(xué)概念入手，為學(xué)生提供一種相對直觀的思維方式和方法，善于引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識電路的對稱（偶）性、統(tǒng)一性，把它和生活中的審美結(jié)合起來，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣提高學(xué)習(xí)效果極為有效。從第一堂課開始，就引入電路對稱（偶）性概念，目的不是介紹一個電路定理，而是一個認(rèn)知的過程，從元件、結(jié)構(gòu)、現(xiàn)象、功能等的對稱（偶）性，進(jìn)而到電路公式、電路定理的對稱性，學(xué)習(xí)的過程變得有趣、生動，公式和定理不再只是死記硬背。

[1] 徐本治．?dāng)?shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M]．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008．

[2] 邱關(guān)源．電路（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，1999．

[3] 楊紅，徐茜．電工及電氣測量技術(shù)[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013．