劉德仿，顧春榮，周臨震，王斌

(1.鹽城工學院機械工程學院，江蘇鹽城224051;2.南通大學機械工程學院，江蘇南通226019)

0 前言

與傳統(tǒng)電路制版方法相比，印制電子技術具有很多優(yōu)勢［1］。印制電子噴印機通過其運動系統(tǒng)與打印噴頭，在預先編制程序的控制下，將導電墨水噴到基材上形成線路［2］。目前，國外印制電子噴印產(chǎn)品重量約為國內(nèi)同類產(chǎn)品的60%。因此使噴印機具有較小的重量來降低生產(chǎn)成本，已成為國內(nèi)印制電子噴印產(chǎn)品設計的迫切需求。同時，作為一個移動設備，噴印機必然會受到電機的激勵，為確保噴印機在減重的同時，滿足打印精度與穩(wěn)定性的設計要求，其機械結(jié)構須具有良好的動態(tài)特性。

對印制電子噴印機結(jié)構進行優(yōu)化設計，實際上是在減重過程中保證其機械結(jié)構動態(tài)性能的多目標優(yōu)化問題。由于噴印機結(jié)構復雜，其約束函數(shù)、目標函數(shù)的導數(shù)絕多數(shù)不連續(xù)，難以用顯示表達，采用傳統(tǒng)基于梯度的優(yōu)化方法很難找到最優(yōu)解。目前，運用基于統(tǒng)計學的響應面法能大大降低計算量，在一定程度上很好地解決復雜機械結(jié)構的多目標優(yōu)化設計問題，如姜衡等人［3］將響應面法應用與立式加工中心結(jié)構優(yōu)化設計中，在保證原整機動靜態(tài)性能的前提下減輕整機質(zhì)量，取得了很好地優(yōu)化結(jié)果。夏鏈等人［4］采用正交試驗法構造響應面模型，對床身結(jié)構進行優(yōu)化設計并得到最優(yōu)解，大大降低了試驗次數(shù)，提高了優(yōu)化設計效率。

本文作者簡要介紹了響應面法，制定了噴印機結(jié)構多目標優(yōu)化設計路線，以噴印機結(jié)構重量和動態(tài)特性為優(yōu)化目標，利用響應面法與多目標遺傳算法，基于ANSYS Workbench協(xié)同仿真平臺，通過調(diào)整和優(yōu)化其關鍵結(jié)構參數(shù)，實現(xiàn)產(chǎn)品多目標優(yōu)化設計。

1 有限元模型的建立及其動態(tài)特性

建立印制電子噴印機結(jié)構的有限元模型，并進行模態(tài)分析，可以得到其動態(tài)特性，將其作為優(yōu)化問題的約束與目標，為后續(xù)的優(yōu)化設計提供依據(jù)。

1.1 有限元模型的建立

印制電子噴印機機械結(jié)構主要分為床身、工作臺及基座3個部分，如圖1所示。噴印機共有3個方向運動:X軸運動模組為含有噴頭的Z模組工作運動;Y軸運動模組為放置基材的工作臺運動;Z軸運動模組為噴頭的上下運動以調(diào)整基材的厚度。

圖1 印制電子噴印機機械結(jié)構圖

噴印機機械結(jié)構是作為重要組成部件，承載著整機的全部質(zhì)量，因此文中主要針對機械結(jié)構進行建模與分析。同時，為提高分析效率、改善網(wǎng)格劃分質(zhì)量，需要簡化或去除模型中對分析結(jié)果影響較小的零部件或細節(jié)特征 (如工藝孔、倒角等)。對伺服電機、底封板和擋板等附件用集中質(zhì)量單元來模擬對噴印機的影響。采用Solidworks建立噴印機簡化后的三維參數(shù)化模型，完成后通過修改模型中的關鍵尺寸參數(shù)名稱 (加前綴“DS_”)，將其導入ANSYSWorkbench的DM模塊中，實現(xiàn)模型與設計變量的無縫連接。

大理石平臺、龍門橫梁及兩個立柱采用濟南花崗石，其余零部件采用結(jié)構鋼。六面體網(wǎng)格具有網(wǎng)格數(shù)量少且計算精度高等特點，通過對復雜零件的切片的方式，使模型能夠被掃掠，從而在網(wǎng)格劃分時生成規(guī)則的六面體單元。對于結(jié)合面接觸，采用綁定接觸和不分離接觸來分別模擬噴印機的固定結(jié)合面和導軌結(jié)合面。由于整個打印機是依靠底面的四個腳與地面接觸來支撐的，將機床四個底面與地面的摩擦理想化為無窮大，即無相對滑動，施加約束時將四個腳支座處的接觸面設為固定約束。建好的噴印機有限元模型如圖2所示。

圖2 噴印機有限元模型

1.2 有限元模態(tài)分析結(jié)果

對噴印機有限元模型進行模態(tài)分析，得到其固有頻率與振型。由于高階固有頻率對結(jié)構影響較小，文中只取噴印機前4階模態(tài)，分析結(jié)果如表1和圖3所示。

表1 噴印機前4階模態(tài)分析結(jié)果

圖3 噴印機前4階振型

由分析結(jié)果可知，噴印機第1階固有頻率為46.75 Hz，但由于實際生產(chǎn)與工作環(huán)境的影響，噴印機的實際頻率會低于理論值，故應適當對結(jié)構進行優(yōu)化，提高噴印機打印精度與穩(wěn)定性，改善其動態(tài)性能。

2 響應面模型的建立

2.1 響應面法

響應面法 (Response Surface Methodology，RSM)［5］是一種數(shù)理統(tǒng)計與試驗設計相結(jié)合的優(yōu)化方法，通過對指定設計點集合進行試驗設計，構造顯式近似表達式將涉及設計變量的目標與約束隱式函數(shù)替代為顯示函數(shù)關系，得到響應面模型，從而預測未試驗點的響應值。文中選用準確性較高的完全二階多項式響應面模型［6］，對于n個設計變量可表示為:

式中:y(X)為擬合函數(shù);X＝(x1，x2，…，xi，…，xn) 為設計變量;β0、βi、βii、βij為未知系數(shù)，通過最小二乘法擬合確定。

2.2 試驗設計

試驗點的選取直接關系著響應面模型的構造精度，而試驗設計是建立響應面近似模型的取樣策略，試驗設計理論可以保證生成合理的設計點。采用中心復合試驗設計 (Central Composite Designs，CCD)［7］，它能以最少的試驗循環(huán)來提供設計變量與試驗誤差的信息。對于n因子、2水平試驗，試驗點包含以下三部分:

(1)1個中心點，用于提供一致精度與純誤差的估計，即圖4中立方體中心點;

(2)2n個軸向點，表示每個設計變量所在軸上距中心點距離為α的2個對稱點，用于估計響應面模型純平方項βii，即圖4中各○點;

(3)2n-ζ個析因點，用于估計一階項系數(shù)βi及交互作用項系數(shù)βij，即圖4中立方體各頂點。

圖4 中心復合試驗設計組成部分

故中心復合試驗設計共需 (2n-ζ＋2n＋1)個試驗點。

2.3 響應面模型的評價

對于建立的近似函數(shù)模型，即響應面模型，其優(yōu)劣程度直接影響到優(yōu)化結(jié)果，因此需要對響應面模型進行評價。采用擬合優(yōu)度 (Goodness of Fit)來評價響應面模型對試驗設計數(shù)據(jù)的擬合程度，通常用復相關系數(shù)R2表示，其數(shù)值在 ［0，1］變化，且越接近1，說明誤差越小，即響應面越準確。

式中:E為響應值與響應估計值的平方和，Y為響應值與響應均值差的平方和。

3 多目標優(yōu)化設計流程

基于響應面法的印制電子噴印機結(jié)構多目標優(yōu)化設計思路如下:首先，根據(jù)噴印機床身與基座結(jié)構，明確影響優(yōu)化目標的關鍵參數(shù)，在Solidworks平臺建立三維參數(shù)化模型，通過無縫連接接口將簡化的模型導入ANSYS Workbench并進行有限元模態(tài)分析，為后續(xù)的優(yōu)化設計提供依據(jù)。然后選用中心復合試驗來確定試驗點，并進行有限元分析計算，利用這些試驗點數(shù)據(jù)建立響應面模型。接著，運用轉(zhuǎn)移哈默斯利(Shifted Hammersley)［8］序列抽樣技術抽取樣本點，當作多目標優(yōu)化算法的初始種群。最后，通過多目標遺傳算法，得到噴印機優(yōu)化設計的最優(yōu)解。具體噴印機結(jié)構優(yōu)化設計流程如圖5所示。

圖5 噴印機結(jié)構優(yōu)化設計流程圖

4 多目標優(yōu)化設計

4.1 多目標優(yōu)化數(shù)學模型

以印制電子噴印機結(jié)構主要零部件關鍵尺寸與位置關系為設計變量，取值在設計允許范圍內(nèi)，這里取設計變量初始值的10%左右，提取的設計變量如表2所示。以降低噴印機質(zhì)量和提高結(jié)構第1階固有頻率為優(yōu)化目標，第2階和第3階固有頻率為約束條件。

具體的噴印機多目標優(yōu)化設計數(shù)學模型描述如下:式中:y1(X)為噴印機結(jié)構質(zhì)量，y2(X)為結(jié)構第1階固有頻率，yj(X)為第j階固有頻率，yj為優(yōu)化前固有頻率，X為決策向量，xL、xU分別為設計變量的下限值和上限值。

表2 床身關鍵結(jié)構設計參數(shù) mm

4.2 優(yōu)化過程與分析

通過中心復合試驗設計生成45個試驗點及其有限元分析響應結(jié)果，再運用二次插值函數(shù)生成響應面與局部靈敏度模型。采用擬合度曲線來評價響應面擬合優(yōu)度，如圖6所示。橫坐標為設計點實際觀測值，縱坐標為響應面預測值，由圖可知，優(yōu)化目標質(zhì)量和第1階固有頻率樣本點均在對角線附近，表示復相關系數(shù)R2趨近于1，響應面擬合優(yōu)度較高。

圖6 擬合度曲線

采用3D圖形模式表示響應面模型，選擇兩個設計變量分別作為輸入?yún)?shù)的X軸與Y軸，一個優(yōu)化目標函數(shù)作為輸出參數(shù)的Z軸，生成的響應面模型如圖7所示。

圖7 響應面模型

由圖可知，龍門橫梁Y向長度P5與Z向長度P2對噴印機結(jié)構質(zhì)量影響較大，而模型中灰色部分為單目標最優(yōu)部位，即達到結(jié)構質(zhì)量最輕，由于未考慮其它設計變量和優(yōu)化目標，因此這并不能作為輸出結(jié)果最優(yōu)解。

圖8為各輸出參數(shù)的局部靈敏度，即6個設計變量對4個輸出參數(shù)的影響程度。通過分析可知，對結(jié)構質(zhì)量影響較大的是大理石平臺Z向長度P4，龍門橫梁Y向長度P5次之;對結(jié)構固有頻率影響較大的是基座立柱厚度P6，而由于床身質(zhì)量越大，整機中心越高，床身零部件的尺寸 (P2、P3、P4和P5)對固有頻率有負面影響。

圖8 局部靈敏度

利用多目標遺傳算法 (MOGA)［9］對目標函數(shù)優(yōu)化求解，設定初始樣本數(shù)為100，最大迭代次數(shù)為20，收斂準則為70%，結(jié)構重量與最大變形的權重大小一致，經(jīng)過計算得到Pareto最優(yōu)解集［10］，如圖9所示，兩個坐標系分別對應2個優(yōu)化目標，橫坐標為噴印機質(zhì)量，縱坐標為1階固頻。

圖9 質(zhì)量與1階固有頻率Pareto最優(yōu)解集

從Pareto最優(yōu)解集中選取效果較好的一組作為最優(yōu)解，并以它為設計點驗證優(yōu)化后的效果，優(yōu)化前后與圓整后結(jié)果如表3、4所示。

表3 關鍵結(jié)構設計參數(shù)優(yōu)化前后值 mm

表4 優(yōu)化前后結(jié)果對比

由表4可知，優(yōu)化并經(jīng)圓整后的噴印機結(jié)構重量為544.26 kg，比優(yōu)化前降低了8.7%;而第1階固有頻率為54.171 Hz，比優(yōu)化前提高了15.8%。噴印機的結(jié)構動態(tài)特性得到較大提升，滿足了產(chǎn)品的多目標優(yōu)化設計要求。

5 結(jié)論

(1)以減輕印制電子噴印機重量和提高結(jié)構動態(tài)性能為目標，基于ANSYS Workbench協(xié)同仿真平臺，結(jié)合響應面法與多目標遺傳算法，對噴印機的機械結(jié)構參數(shù)進行了多目標優(yōu)化設計，經(jīng)優(yōu)化后的結(jié)構重量比優(yōu)化前降低了8.7%，而1階固有頻率提高了15.8%，實現(xiàn)了噴印機的優(yōu)化設計;

(2)采用響應面法，能夠合理有效地確定初始種群，保證多目標優(yōu)化算法能夠快速地收斂，從而在可行域內(nèi)得到Pareto最優(yōu)解集，提高了多目標優(yōu)化設計效率。

［1］楊振國.印制電子的研究現(xiàn)狀、技術特性及產(chǎn)業(yè)化前景［J］.印制電路信息，2010(1):8-12.

［2］練超逸，呂賜興，劉金鑫，等.面向印制電子的噴印控制系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)［J］.制造業(yè)自動化，2014，36(3):153-156.

［3］姜衡，管貽生，邱志成，等.基于響應面法的立式加工中心動靜態(tài)多目標優(yōu)化［J］.機械工程學報，2011，47(11):125-133.

［4］夏鏈，陳靜，韓江，等.基于響應面法的機床床身動靜態(tài)多目標優(yōu)化［J］.組合機床與自動化加工技術，2012(9):83-86.

［5］UMBERTO Alibrandi.A Response Surface Method for Stochastic Dynamic Analysis［J］.Reliability Engineering ＆System Safety，2014，126:44-53.

［6］孫光永，李光耀，鐘志華，等.基于序列響應面法的汽車結(jié)構耐撞性多目標粒子群優(yōu)化設計［J］.機械工程學報，2009，45(2):224-230.

［7］曹立波，陳杰，歐陽志高，等.基于碰撞安全性的保險杠橫梁輕量化設計與優(yōu)化［J］.中國機械工程，2012，23(23):2888-2893.

［8］DIWEKAR U M，KALAGNANAM J R.Robust Design U-sing an Efficient Sampling Technique［J］.Computers and Chemical Engineering，1996，20:389-394.

［9］FONSECA C M，F(xiàn)LEMING P J.Multi-objective Optimization and Multiple Constraint Handling with Evolutionary Algorithms-part I:A Unified Formulation［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part A:Systems and Humans，1998，28(1):26-37.

［10］DEB K，PARTAP A，AGARWALSS，et al A Fast and E-litist Multi-objective Genetic Algorithm:NSGA-Ⅱ［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):182-197.