黃娟,肖鐵忠,李小汝,羅范杰
(1.四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系,四川德陽618000;2.西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院,四川綿陽621010)
隨著制造業(yè)向著高效率、高質(zhì)量、高精度、高智能發(fā)展,精密和超精密加工已經(jīng)成為現(xiàn)代制造業(yè)最重要的發(fā)展方向。大量研究表明:熱誤差占總誤差的40% ~70%[1],對于高精密機(jī)床熱誤差所占比重更大。因此,熱變形導(dǎo)致機(jī)床加工誤差的問題日益突出。總的來說,減少熱誤差有誤差防止法和誤差補(bǔ)償法[2]。相對于“硬技術(shù)”的誤差防止法,誤差補(bǔ)償法是一項(xiàng)具有顯著經(jīng)濟(jì)價(jià)值并有效提高機(jī)床精度的手段[3]。
要建立魯棒性較好,預(yù)測精度高的熱誤差模型,溫度測點(diǎn)的選擇是一個(gè)難點(diǎn)。由于機(jī)床的溫度場分布非常復(fù)雜,要想獲取整個(gè)機(jī)床的溫度場需要布置大量的傳感器,但這會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)處理量過大、數(shù)據(jù)耦合、布線過多、影響加工等問題。因此對溫度測點(diǎn)的優(yōu)化選擇成為機(jī)床熱誤差補(bǔ)償研究的重要方向之一[4]。結(jié)合不同的應(yīng)用場合,國內(nèi)外學(xué)者們提出了許多模糊聚類算法,如模糊關(guān)系方法[5]、相似性關(guān)系方法[6]、基于模糊等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包法[7]、基于模糊圖論的最大支撐樹法[8]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[9]等方法。然而上述方法均不能適用于數(shù)據(jù)量大的情況,實(shí)用性較差。文中采用基于目標(biāo)函數(shù)的模糊C均值聚類 (FCM)方法對溫度測點(diǎn)進(jìn)行分組優(yōu)化,結(jié)合相關(guān)分析找出測溫關(guān)鍵點(diǎn),并利用多元線性回歸對機(jī)床熱誤差進(jìn)行建模,驗(yàn)證該方法的有效性。
FCM聚類是屬于基于目標(biāo)函數(shù)的模糊聚類,是硬C均值聚類算法的改進(jìn),通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,得到數(shù)據(jù)集中的每個(gè)樣本與類中心之間的隸屬度矩陣,從而實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)樣本的自動(dòng)分類。根據(jù)機(jī)床的結(jié)構(gòu)和溫度場分布情況 (可用有限元分析或者熱成像儀獲得初步的溫度場結(jié)果),在機(jī)床的主要發(fā)熱源部件如主軸箱、軸承等重要位置布置N個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行聚類。需要分類的溫度測點(diǎn)集合為:X={x1,x2,…,xN}集合中每個(gè)溫度測點(diǎn)xk有S個(gè)觀測數(shù)據(jù),設(shè)xk=(xk1,xk2,…xks)T,如果將溫度測點(diǎn)集合X劃分為C類,則X的模糊C劃分空間為:
其中:uik表示樣本xk與子集Xi(1≤i≤C)的隸屬關(guān)系。在模糊C劃分空間中定義FCM模糊聚類算法的目標(biāo)函數(shù)為:
U=[uij]C×N表示C個(gè)子集構(gòu)成的模糊函數(shù)矩陣。V=[v1,v2,…,vC]表示 C類的聚類中心向量;d(xj,vi)表示第j類中的觀測值與第i類的中心之間的歐式距離,可以表征兩個(gè)量之間的相似程度。m為加權(quán)指數(shù) (或平滑指數(shù)),m>1,目前沒有相關(guān)證明和理論能夠確定m的最佳值,根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)通常m=1.5~3[10],并構(gòu)建一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù):
其中,λj=1,2,…,N為拉格朗日倍增因子。
聚類的準(zhǔn)則為~JFCM=(U,V,λ)取到極小值算法迭代結(jié)束。具體流程如下:
步驟一:初始化數(shù)據(jù)。給定聚類數(shù)目C,2≤C≤N,N是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),設(shè)置目標(biāo)函數(shù)迭代停止的閾值ε,加權(quán)指數(shù)m,聚類原型V(0),并設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器b=0;
步驟二:用公式 (4)和公式 (5)更新模糊劃分矩陣U和聚類中心矩陣V
步驟三:判斷迭代終止條件‖vb-vb+1‖<ε是否成立,若成立則聚類結(jié)束,同時(shí)返回劃分矩陣U和聚類中心矩陣V,否者迭代計(jì)數(shù)器b=b+1,返回步驟二繼續(xù)迭代。
由于機(jī)床溫度場的分布比較復(fù)雜,溫度測點(diǎn)的布置一般都是由工程經(jīng)驗(yàn)判斷進(jìn)行,文中以一臺立式銑床為研究對象,采用熱成像儀得到機(jī)床的溫度場分布情況如圖1所示,根據(jù)熱成像儀的溫度場分布情況,在機(jī)床主要發(fā)熱部位布置PT100傳感器,具體為:前軸承處 (1#,2#),后軸承處 (3#,4#),主軸箱(5#,6#,7#,8#,9#),立柱 (10#,11#,12#),環(huán)境溫度 (13#)。
圖1 熱成像儀溫度場
實(shí)驗(yàn)中對機(jī)床采取500 r/min的轉(zhuǎn)速運(yùn)行2 h,接著1 000 r/min的轉(zhuǎn)速運(yùn)行3 h,每隔10 min采集一次數(shù)據(jù)。用電渦流位移傳感器檢測主軸前端X,Y,Z 3個(gè)方向的熱變形。實(shí)驗(yàn)過程如圖2所示。
圖2 試驗(yàn)現(xiàn)場圖
得到各測點(diǎn)的溫升和主軸熱變形曲線如圖3和圖4所示。從圖3可以看出,各測溫點(diǎn)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性,需要對測點(diǎn)進(jìn)行分組優(yōu)化選擇。
圖3 溫升曲線
圖4 熱變形位移曲線
文中采用FCM模糊聚類進(jìn)行測點(diǎn)分組優(yōu)化,從物理意義和聚類的有效性考慮,加權(quán)指數(shù)m一般為2,設(shè)置分類數(shù)為5,迭代156次后目標(biāo)函數(shù)收斂,目標(biāo)函數(shù)的變化曲線如圖5所示,根據(jù)模糊劃分矩陣得到聚類結(jié)果如表1所示。
將聚類結(jié)果可視化得到3D聚類圖如圖6所示。從圖6可以看出,各類分割明顯,聚類效果較好。
表1 聚類分組結(jié)果
圖5 目標(biāo)函數(shù)變化圖
圖6 溫度測點(diǎn)3D聚類圖
根據(jù)每個(gè)分組的溫度變量與機(jī)床主軸的綜合熱誤差 (X,Y,Z三方向熱誤差的加權(quán)綜合)的相關(guān)系數(shù)大小來選擇每個(gè)組的關(guān)鍵溫度點(diǎn),見表2,最終選擇 T5,T9,T1,T11,T6用于建模。
表2 測溫點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)
應(yīng)用多元回歸分析建立機(jī)床熱誤差與關(guān)鍵溫度測點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型可表示為[11]:
其中,(β0,β1,…,βn)是待確定的相關(guān)系數(shù)。ε是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。以最小二乘估計(jì)法,將新測量的機(jī)床優(yōu)化后的溫度和熱誤差數(shù)據(jù)代入公式 (6),建立回歸方程。由于機(jī)床X方向結(jié)構(gòu)對稱,熱誤差很小,因此只建立Y和Z方向的熱誤差模型如下:
以新測量的關(guān)鍵點(diǎn)溫升和主軸熱變形數(shù)據(jù)對回歸模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證,得到如圖7和圖8的模型預(yù)測、實(shí)測對比驗(yàn)證圖。
圖7 Y方向熱誤差模型驗(yàn)證
圖8 Z方向熱誤差模型驗(yàn)證
從圖7和圖8可以看出,采用多元線性回歸方法建立的熱誤差模型,能有有效的預(yù)測機(jī)床的熱變形,Y方向的熱誤差最大殘差值為5.3μm,Z方向最大殘差值為8.9μm,同時(shí)也驗(yàn)證了FCM模糊聚類測點(diǎn)優(yōu)化方法的有效性。
結(jié)合FCM模糊聚類方法和相關(guān)分析對立式銑床的溫度測點(diǎn)進(jìn)行了分組優(yōu)化,有效的將測溫點(diǎn)由13個(gè)減少到5個(gè),減少了熱誤差溫度數(shù)據(jù)測量的工作量,同時(shí)利用多元線性回歸方法建立了以優(yōu)化后溫度測點(diǎn)為變量的熱誤差模型,將Y,Z方向的熱誤差從最大50μm減小到9μm以內(nèi),驗(yàn)證了FCM測點(diǎn)優(yōu)化方法的有效性,為數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償提供了參考。
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