黃娟，肖鐵忠，李小汝，羅范杰

(1.四川工程職業(yè)技術(shù)學院機電工程系，四川德陽618000;2.西南科技大學制造科學與工程學院，四川綿陽621010)

0 前言

隨著制造業(yè)向著高效率、高質(zhì)量、高精度、高智能發(fā)展，精密和超精密加工已經(jīng)成為現(xiàn)代制造業(yè)最重要的發(fā)展方向。大量研究表明:熱誤差占總誤差的40% ～70%［1］，對于高精密機床熱誤差所占比重更大。因此，熱變形導致機床加工誤差的問題日益突出?？偟膩碚f，減少熱誤差有誤差防止法和誤差補償法［2］。相對于“硬技術(shù)”的誤差防止法，誤差補償法是一項具有顯著經(jīng)濟價值并有效提高機床精度的手段［3］。

要建立魯棒性較好，預測精度高的熱誤差模型，溫度測點的選擇是一個難點。由于機床的溫度場分布非常復雜，要想獲取整個機床的溫度場需要布置大量的傳感器，但這會導致數(shù)據(jù)處理量過大、數(shù)據(jù)耦合、布線過多、影響加工等問題。因此對溫度測點的優(yōu)化選擇成為機床熱誤差補償研究的重要方向之一［4］。結(jié)合不同的應用場合，國內(nèi)外學者們提出了許多模糊聚類算法，如模糊關(guān)系方法［5］、相似性關(guān)系方法［6］、基于模糊等價關(guān)系的傳遞閉包法［7］、基于模糊圖論的最大支撐樹法［8］、動態(tài)規(guī)劃［9］等方法。然而上述方法均不能適用于數(shù)據(jù)量大的情況，實用性較差。文中采用基于目標函數(shù)的模糊C均值聚類 (FCM)方法對溫度測點進行分組優(yōu)化，結(jié)合相關(guān)分析找出測溫關(guān)鍵點，并利用多元線性回歸對機床熱誤差進行建模，驗證該方法的有效性。

1 溫度測點的優(yōu)化選擇

1.1 FCM模糊聚類分析

FCM聚類是屬于基于目標函數(shù)的模糊聚類，是硬C均值聚類算法的改進，通過對目標函數(shù)進行優(yōu)化，得到數(shù)據(jù)集中的每個樣本與類中心之間的隸屬度矩陣，從而實現(xiàn)對數(shù)據(jù)樣本的自動分類。根據(jù)機床的結(jié)構(gòu)和溫度場分布情況 (可用有限元分析或者熱成像儀獲得初步的溫度場結(jié)果)，在機床的主要發(fā)熱源部件如主軸箱、軸承等重要位置布置N個測點進行聚類。需要分類的溫度測點集合為:X＝{x1，x2，…，xN}集合中每個溫度測點xk有S個觀測數(shù)據(jù)，設xk＝(xk1，xk2，…xks)T，如果將溫度測點集合X劃分為C類，則X的模糊C劃分空間為:

其中:uik表示樣本xk與子集Xi(1≤i≤C)的隸屬關(guān)系。在模糊C劃分空間中定義FCM模糊聚類算法的目標函數(shù)為:

U＝［uij］C×N表示C個子集構(gòu)成的模糊函數(shù)矩陣。V＝［v1，v2，…，vC］表示 C類的聚類中心向量;d(xj，vi)表示第j類中的觀測值與第i類的中心之間的歐式距離，可以表征兩個量之間的相似程度。m為加權(quán)指數(shù) (或平滑指數(shù))，m＞1，目前沒有相關(guān)證明和理論能夠確定m的最佳值，根據(jù)實際經(jīng)驗通常m＝1.5～3［10］，并構(gòu)建一個新的目標函數(shù):

其中，λj＝1，2，…，N為拉格朗日倍增因子。

聚類的準則為~JFCM＝(U，V，λ)取到極小值算法迭代結(jié)束。具體流程如下:

步驟一:初始化數(shù)據(jù)。給定聚類數(shù)目C，2≤C≤N，N是數(shù)據(jù)個數(shù)，設置目標函數(shù)迭代停止的閾值ε，加權(quán)指數(shù)m，聚類原型V(0)，并設置迭代計數(shù)器b＝0;

步驟二:用公式 (4)和公式 (5)更新模糊劃分矩陣U和聚類中心矩陣V

步驟三:判斷迭代終止條件‖vb-vb＋1‖＜ε是否成立，若成立則聚類結(jié)束，同時返回劃分矩陣U和聚類中心矩陣V，否者迭代計數(shù)器b＝b＋1，返回步驟二繼續(xù)迭代。

1.2 FCM模糊聚類測溫點實例分析

由于機床溫度場的分布比較復雜，溫度測點的布置一般都是由工程經(jīng)驗判斷進行，文中以一臺立式銑床為研究對象，采用熱成像儀得到機床的溫度場分布情況如圖1所示，根據(jù)熱成像儀的溫度場分布情況，在機床主要發(fā)熱部位布置PT100傳感器，具體為:前軸承處 (1#，2#)，后軸承處 (3#，4#)，主軸箱(5#，6#，7#，8#，9#)，立柱 (10#，11#，12#)，環(huán)境溫度 (13#)。

圖1 熱成像儀溫度場

實驗中對機床采取500 r/min的轉(zhuǎn)速運行2 h，接著1 000 r/min的轉(zhuǎn)速運行3 h，每隔10 min采集一次數(shù)據(jù)。用電渦流位移傳感器檢測主軸前端X，Y，Z 3個方向的熱變形。實驗過程如圖2所示。

圖2 試驗現(xiàn)場圖

得到各測點的溫升和主軸熱變形曲線如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，各測溫點具有較強的線性相關(guān)性，需要對測點進行分組優(yōu)化選擇。

圖3 溫升曲線

圖4 熱變形位移曲線

文中采用FCM模糊聚類進行測點分組優(yōu)化，從物理意義和聚類的有效性考慮，加權(quán)指數(shù)m一般為2，設置分類數(shù)為5，迭代156次后目標函數(shù)收斂，目標函數(shù)的變化曲線如圖5所示，根據(jù)模糊劃分矩陣得到聚類結(jié)果如表1所示。

將聚類結(jié)果可視化得到3D聚類圖如圖6所示。從圖6可以看出，各類分割明顯，聚類效果較好。

表1 聚類分組結(jié)果

圖5 目標函數(shù)變化圖

圖6 溫度測點3D聚類圖

根據(jù)每個分組的溫度變量與機床主軸的綜合熱誤差 (X，Y，Z三方向熱誤差的加權(quán)綜合)的相關(guān)系數(shù)大小來選擇每個組的關(guān)鍵溫度點，見表2，最終選擇 T5，T9，T1，T11，T6用于建模。

表2 測溫點的相關(guān)系數(shù)

2 多元線性回歸建模

應用多元回歸分析建立機床熱誤差與關(guān)鍵溫度測點的數(shù)學模型可表示為［11］:

其中，(β0，β1，…，βn)是待確定的相關(guān)系數(shù)。ε是一個服從正態(tài)分布的隨機變量。以最小二乘估計法，將新測量的機床優(yōu)化后的溫度和熱誤差數(shù)據(jù)代入公式 (6)，建立回歸方程。由于機床X方向結(jié)構(gòu)對稱，熱誤差很小，因此只建立Y和Z方向的熱誤差模型如下:

以新測量的關(guān)鍵點溫升和主軸熱變形數(shù)據(jù)對回歸模型進行試驗驗證，得到如圖7和圖8的模型預測、實測對比驗證圖。

圖7 Y方向熱誤差模型驗證

圖8 Z方向熱誤差模型驗證

從圖7和圖8可以看出，采用多元線性回歸方法建立的熱誤差模型，能有有效的預測機床的熱變形，Y方向的熱誤差最大殘差值為5.3μm，Z方向最大殘差值為8.9μm，同時也驗證了FCM模糊聚類測點優(yōu)化方法的有效性。

3 結(jié)束語

結(jié)合FCM模糊聚類方法和相關(guān)分析對立式銑床的溫度測點進行了分組優(yōu)化，有效的將測溫點由13個減少到5個，減少了熱誤差溫度數(shù)據(jù)測量的工作量，同時利用多元線性回歸方法建立了以優(yōu)化后溫度測點為變量的熱誤差模型，將Y，Z方向的熱誤差從最大50μm減小到9μm以內(nèi)，驗證了FCM測點優(yōu)化方法的有效性，為數(shù)控機床熱誤差補償提供了參考。

［1］NI Jun.CMCMachine Accuracy Enhancement Through Real-Time Error Compensation［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，1997，119:717-725.

［2］趙海濤.數(shù)控機床熱誤差模態(tài)分析、測點布置及建模研究［D］.上海:上海交通大學，2006.

［3］王興文.數(shù)控機床熱誤差補償技術(shù)研究［D］.太原:中北大學，2010.

［4］TSENG PC，HO JL.A Study of High-Precision CNC Lathe Thermal Errors and Compensation ［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2002，19(11):850-858.

［5］TAMURA S，HIGUCHI S，TANAKA K.Pattern classification based on fuzzy relations［J］.IEEE Trans.SMC，1971，1(1):217-242.

［6］BACKER E，JAIN A K.A Clustering Performance Measure Based on Fuzzy Set Decomposition［J］.IEEE Trans.PAMI，1981，3(1):66-74.

［7］趙瑞月，梁睿君，葉文華.基于模糊聚類與偏相關(guān)分析的機床溫度測點優(yōu)化［J］.機械科學與技術(shù)，2012，31(11):1767-1771.

［8］丁斌.動態(tài)Fuzzy圖最大數(shù)聚類分析［J］.數(shù)值計算與計算機應用，1992(2):157-159.

［9］劉柏私，謝開貴，周家啟.配電網(wǎng)重構(gòu)的動態(tài)規(guī)劃算法［J］.中國機電工程學報，2005，25(9):29-34.

［10］ PAL N R，BEZDEK J C.On Clustering for the Fuzzy C-means Model［J］.IEEE Trans.FS，1995，3(3):370-379.

［11］吳誠鷗，秦偉良.近代實用多元統(tǒng)計分析［M］.北京:氣象出版社，2007.