黃娟，肖鐵忠，李小汝，羅范杰

(1.四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，四川德陽(yáng)618000;2.西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川綿陽(yáng)621010)

0 前言

隨著制造業(yè)向著高效率、高質(zhì)量、高精度、高智能發(fā)展，精密和超精密加工已經(jīng)成為現(xiàn)代制造業(yè)最重要的發(fā)展方向。大量研究表明:熱誤差占總誤差的40% ～70%［1］，對(duì)于高精密機(jī)床熱誤差所占比重更大。因此，熱變形導(dǎo)致機(jī)床加工誤差的問(wèn)題日益突出?？偟膩?lái)說(shuō)，減少熱誤差有誤差防止法和誤差補(bǔ)償法［2］。相對(duì)于“硬技術(shù)”的誤差防止法，誤差補(bǔ)償法是一項(xiàng)具有顯著經(jīng)濟(jì)價(jià)值并有效提高機(jī)床精度的手段［3］。

要建立魯棒性較好，預(yù)測(cè)精度高的熱誤差模型，溫度測(cè)點(diǎn)的選擇是一個(gè)難點(diǎn)。由于機(jī)床的溫度場(chǎng)分布非常復(fù)雜，要想獲取整個(gè)機(jī)床的溫度場(chǎng)需要布置大量的傳感器，但這會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)處理量過(guò)大、數(shù)據(jù)耦合、布線過(guò)多、影響加工等問(wèn)題。因此對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化選擇成為機(jī)床熱誤差補(bǔ)償研究的重要方向之一［4］。結(jié)合不同的應(yīng)用場(chǎng)合，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們提出了許多模糊聚類算法，如模糊關(guān)系方法［5］、相似性關(guān)系方法［6］、基于模糊等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包法［7］、基于模糊圖論的最大支撐樹(shù)法［8］、動(dòng)態(tài)規(guī)劃［9］等方法。然而上述方法均不能適用于數(shù)據(jù)量大的情況，實(shí)用性較差。文中采用基于目標(biāo)函數(shù)的模糊C均值聚類 (FCM)方法對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分組優(yōu)化，結(jié)合相關(guān)分析找出測(cè)溫關(guān)鍵點(diǎn)，并利用多元線性回歸對(duì)機(jī)床熱誤差進(jìn)行建模，驗(yàn)證該方法的有效性。

1 溫度測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化選擇

1.1 FCM模糊聚類分析

FCM聚類是屬于基于目標(biāo)函數(shù)的模糊聚類，是硬C均值聚類算法的改進(jìn)，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到數(shù)據(jù)集中的每個(gè)樣本與類中心之間的隸屬度矩陣，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)樣本的自動(dòng)分類。根據(jù)機(jī)床的結(jié)構(gòu)和溫度場(chǎng)分布情況 (可用有限元分析或者熱成像儀獲得初步的溫度場(chǎng)結(jié)果)，在機(jī)床的主要發(fā)熱源部件如主軸箱、軸承等重要位置布置N個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行聚類。需要分類的溫度測(cè)點(diǎn)集合為:X＝{x1，x2，…，xN}集合中每個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)xk有S個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，設(shè)xk＝(xk1，xk2，…xks)T，如果將溫度測(cè)點(diǎn)集合X劃分為C類，則X的模糊C劃分空間為:

其中:uik表示樣本xk與子集Xi(1≤i≤C)的隸屬關(guān)系。在模糊C劃分空間中定義FCM模糊聚類算法的目標(biāo)函數(shù)為:

U＝［uij］C×N表示C個(gè)子集構(gòu)成的模糊函數(shù)矩陣。V＝［v1，v2，…，vC］表示 C類的聚類中心向量;d(xj，vi)表示第j類中的觀測(cè)值與第i類的中心之間的歐式距離，可以表征兩個(gè)量之間的相似程度。m為加權(quán)指數(shù) (或平滑指數(shù))，m＞1，目前沒(méi)有相關(guān)證明和理論能夠確定m的最佳值，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)通常m＝1.5～3［10］，并構(gòu)建一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù):

其中，λj＝1，2，…，N為拉格朗日倍增因子。

聚類的準(zhǔn)則為~JFCM＝(U，V，λ)取到極小值算法迭代結(jié)束。具體流程如下:

步驟一:初始化數(shù)據(jù)。給定聚類數(shù)目C，2≤C≤N，N是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)迭代停止的閾值ε，加權(quán)指數(shù)m，聚類原型V(0)，并設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器b＝0;

步驟二:用公式 (4)和公式 (5)更新模糊劃分矩陣U和聚類中心矩陣V

步驟三:判斷迭代終止條件‖vb-vb＋1‖＜ε是否成立，若成立則聚類結(jié)束，同時(shí)返回劃分矩陣U和聚類中心矩陣V，否者迭代計(jì)數(shù)器b＝b＋1，返回步驟二繼續(xù)迭代。

1.2 FCM模糊聚類測(cè)溫點(diǎn)實(shí)例分析

由于機(jī)床溫度場(chǎng)的分布比較復(fù)雜，溫度測(cè)點(diǎn)的布置一般都是由工程經(jīng)驗(yàn)判斷進(jìn)行，文中以一臺(tái)立式銑床為研究對(duì)象，采用熱成像儀得到機(jī)床的溫度場(chǎng)分布情況如圖1所示，根據(jù)熱成像儀的溫度場(chǎng)分布情況，在機(jī)床主要發(fā)熱部位布置PT100傳感器，具體為:前軸承處 (1#，2#)，后軸承處 (3#，4#)，主軸箱(5#，6#，7#，8#，9#)，立柱 (10#，11#，12#)，環(huán)境溫度 (13#)。

圖1 熱成像儀溫度場(chǎng)

實(shí)驗(yàn)中對(duì)機(jī)床采取500 r/min的轉(zhuǎn)速運(yùn)行2 h，接著1 000 r/min的轉(zhuǎn)速運(yùn)行3 h，每隔10 min采集一次數(shù)據(jù)。用電渦流位移傳感器檢測(cè)主軸前端X，Y，Z 3個(gè)方向的熱變形。實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖2所示。

圖2 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖

得到各測(cè)點(diǎn)的溫升和主軸熱變形曲線如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，各測(cè)溫點(diǎn)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，需要對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分組優(yōu)化選擇。

圖3 溫升曲線

圖4 熱變形位移曲線

文中采用FCM模糊聚類進(jìn)行測(cè)點(diǎn)分組優(yōu)化，從物理意義和聚類的有效性考慮，加權(quán)指數(shù)m一般為2，設(shè)置分類數(shù)為5，迭代156次后目標(biāo)函數(shù)收斂，目標(biāo)函數(shù)的變化曲線如圖5所示，根據(jù)模糊劃分矩陣得到聚類結(jié)果如表1所示。

將聚類結(jié)果可視化得到3D聚類圖如圖6所示。從圖6可以看出，各類分割明顯，聚類效果較好。

表1 聚類分組結(jié)果

圖5 目標(biāo)函數(shù)變化圖

圖6 溫度測(cè)點(diǎn)3D聚類圖

根據(jù)每個(gè)分組的溫度變量與機(jī)床主軸的綜合熱誤差 (X，Y，Z三方向熱誤差的加權(quán)綜合)的相關(guān)系數(shù)大小來(lái)選擇每個(gè)組的關(guān)鍵溫度點(diǎn)，見(jiàn)表2，最終選擇 T5，T9，T1，T11，T6用于建模。

表2 測(cè)溫點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)

2 多元線性回歸建模

應(yīng)用多元回歸分析建立機(jī)床熱誤差與關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型可表示為［11］:

其中，(β0，β1，…，βn)是待確定的相關(guān)系數(shù)。ε是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。以最小二乘估計(jì)法，將新測(cè)量的機(jī)床優(yōu)化后的溫度和熱誤差數(shù)據(jù)代入公式 (6)，建立回歸方程。由于機(jī)床X方向結(jié)構(gòu)對(duì)稱，熱誤差很小，因此只建立Y和Z方向的熱誤差模型如下:

以新測(cè)量的關(guān)鍵點(diǎn)溫升和主軸熱變形數(shù)據(jù)對(duì)回歸模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，得到如圖7和圖8的模型預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)對(duì)比驗(yàn)證圖。

圖7 Y方向熱誤差模型驗(yàn)證

圖8 Z方向熱誤差模型驗(yàn)證

從圖7和圖8可以看出，采用多元線性回歸方法建立的熱誤差模型，能有有效的預(yù)測(cè)機(jī)床的熱變形，Y方向的熱誤差最大殘差值為5.3μm，Z方向最大殘差值為8.9μm，同時(shí)也驗(yàn)證了FCM模糊聚類測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法的有效性。

3 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合FCM模糊聚類方法和相關(guān)分析對(duì)立式銑床的溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了分組優(yōu)化，有效的將測(cè)溫點(diǎn)由13個(gè)減少到5個(gè)，減少了熱誤差溫度數(shù)據(jù)測(cè)量的工作量，同時(shí)利用多元線性回歸方法建立了以優(yōu)化后溫度測(cè)點(diǎn)為變量的熱誤差模型，將Y，Z方向的熱誤差從最大50μm減小到9μm以內(nèi)，驗(yàn)證了FCM測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法的有效性，為數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償提供了參考。

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