王琳

摘 要：深度學習是相對于淺層學習而言的一個心理學概念。運用其引導數(shù)學課堂問題的解決，構(gòu)建數(shù)學課堂問題解決的操作范式，既能提高數(shù)學課堂教學的有效性，又能激發(fā)學生對學習數(shù)學的興趣，形成解決數(shù)學問題的策略能力。

關鍵詞：深度學習；問題解決；知識內(nèi)化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）19-035-2

問題是數(shù)學學習的心臟，而問題解決則反映了教師的教育智慧及方法策略，因此，如何解剖問題和講解習題自然是數(shù)學課堂最重要內(nèi)容之一。多倫多大學Hinton教授于2006年提出深度學習概念，為數(shù)學課堂問題解決教學提供了新的思考范式。

一、深度學習的內(nèi)涵

深度學習的概念源于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的研究，Hinton教授認為，人腦具有非常強大的學習能力和特征提取能力，它具有一個深度結(jié)構(gòu)，每層都有上千上萬級的神經(jīng)元，整個網(wǎng)絡有百萬級至百億級的參數(shù)空間。這種特征層次表示神經(jīng)元每一層都會向上一層做出抽象思維的的輸入，并在層次上位于上層的神經(jīng)元具備更多的抽象特征。人腦學習這種深層架構(gòu)決定教師在設置教學問題時，應有梯隊性和階層設置，層次化地組織思想和概念，符合學生學習的心理特征，問題解決應具有層次性，不能讓學習者只有淺層次思考，這樣會出現(xiàn)學習深度不足問題。深度學習觀下數(shù)學問題教學有如下特征：人腦具有復雜的深度結(jié)構(gòu)；學生學習的認知過程逐層進行，逐步抽象；學生先學習簡單的概念，然后用概念去進行邏輯運算和抽象推理；問題設置不能膚淺化，要進行深度理解，深度不足會出現(xiàn)數(shù)學學習困難。

二、深度學習與數(shù)學問題解決教學

將深度學習引導至數(shù)學問題解決教學中，在深度學習觀支持下，首先，教師通過創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生求知欲望；其次，讓學生親身體驗和感受分析問題，提出解決問題的方法。具體來說，就是通過一系列更微觀的子問題設計，使學生對數(shù)學知識形成深刻的、結(jié)構(gòu)化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，再者，深度學習強調(diào)的是使用數(shù)學的意識，培養(yǎng)學生的探索精神、合作意識和實際操作能力，通過問題解決能而且產(chǎn)生更為濃厚的學習數(shù)學的興趣、形成認真求知的科學態(tài)度和勇于進取的堅定信念。可表述一般問題解決程序：弄清問題、擬定計劃、執(zhí)行計劃、檢查答案。其操作模式可以分解為以下的一串教學問題：

①它是一個什么范疇的問題？要解決什么問題？即“目標”是什么？

②現(xiàn)有哪些材料（條件）？有沒有“潛在”的、“隱含”的條件？從題目的敘述中獲取“符號信息”，從題目的圖形中獲取“形象信息”等。

③有哪些工具？條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)系？從已經(jīng)學過的相關概念、定理、公式、基本模式和解題經(jīng)驗中提取。

④還缺少（需要）什么？能否以現(xiàn)有的條件，在工具的助推下滿足這個需求？

⑤在相關工具的作用下，從條件到結(jié)論，是否形成了一個和諧、縝密的邏輯結(jié)構(gòu)？

⑥結(jié)論是否完備、純粹？

當然，上述過程能否順利實施，既需要充分知識儲備、基本的經(jīng)驗積累，也需要豐富的聯(lián)想和機智的教學策略。

三、深度學習觀數(shù)學課堂教學案例

教學案例：已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N，求AM·AN的值。

講解：

Q1：這是一個什么問題？——解析幾何中的“直線和圓”的位置關系。

Q2：解析幾何的本質(zhì)是什么？——借助坐標系，用代數(shù)的方法解決幾何問題。

Q3：“直線和圓”的位置關系中最關鍵的量是什么？——圓心到直線的距離。

Q4：本題要解決什么問題？——起點相同、方向相反的兩個向量的數(shù)量積。

Q5：求兩個向量的數(shù)量積有哪些辦法？——a·b=|a|·|b|·cos（符號運算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2（坐標運算）；結(jié)合圖形對向量a，b做適當?shù)摹安鸱帧焙笤傩羞\算（圖形運算）。

Q6：本題宜選擇哪個辦法？——注意到在平面直角坐標系中，A點的坐標已知，只要求出M，N兩點的坐標，即可用坐標運算求AM·AN。

Q7：本題還有哪些條件？M，N兩點的坐標是否可求？怎么求？——注意到N點是直線l，m的交點，而直線m的方程已知，只需有直線l的方程，即可通過解方程組求得N點坐標，又直線l過點A，故可以設直線l的斜率（關注斜率不存在的情況）。M點是直線l被橢圓截得的弦的中點，在有直線l方程的條件下，可以通過解方程組，結(jié)合韋達定理求出M點坐標。

Q8：是否可以順利實施？——

數(shù)學問題解決教學，注重的是教師引導，始終置于學生于深層次理解思維之中，追求的是方法形成的過程順理成章、自然流暢，就是引導學生奔著目標有序前進，讓學生感同身受、躍躍欲試，活化學生的問題解決能力。

四、深度學習與問題解決后反思

問題反思也是數(shù)學學習悟道的一個過程，也是深度學習在數(shù)學教學中應用不可缺少的一個環(huán)節(jié)，它使深度學習活動走向一個更高級階段。什么時候反思？反思什么？怎么反思？是學生對知識方法吸收內(nèi)化的重要過程，可以通過以下步驟進行。

1.對解題結(jié)果的反思。解題結(jié)果是否回答了題目的設問？解題結(jié)果是否和實際問題相吻合？推導的過程中是否改變了變量的范圍？邏輯上有沒有漏洞？討論的范圍是否完備？有沒有遺漏什么條件、限制？等等。對解題結(jié)果的反思能使學生的思維更加嚴謹，同時也是解決“會而不對、對而不全”這個老大難問題的有效辦法。

2.對解題過程的反思。題目涉及到的知識點有哪些？它們是怎么聯(lián)系起來的？解答的切入點在哪？關鍵點在哪？警戒點（易錯的地方）在哪？還能用什么方法解（一題多解）？有哪些題也是這樣做的（多題一解）？條件可以變變嗎？設問可以改改嗎？我們不必要求學生對每一道題都做如此這般的大動作，但也絕不能每一道題一做完就丟。

3.對解題規(guī)律的反思。某一章節(jié)的問題、某一類型的問題，其求解方法往往有其規(guī)律性。比如“直線與圓”的問題往往用到“圓心到直線”的距離，“方程有解”問題往往轉(zhuǎn)化為“參變量關于主變量的函數(shù)值域”問題；甚至某種條件通常怎么發(fā)展？某種求解通常怎么轉(zhuǎn)化？也都是有一定規(guī)律的。遺憾的是這些反思、發(fā)現(xiàn)、歸納、整理的工作很多時候都是老師代做了，然后告知學生。其實只有學生自己做了，才有真正的價值；所謂“老師代勞終覺淺，絕知此事要躬行”。

五、后記

深度學習是近年來學習領域很熱的一個概念，把它引導到數(shù)學課堂教學問題解決中來，強調(diào)把學習設置到復雜的、有意義的問題情境中，通過教師設置臺階式問題，引導學生進行深度理解，通過師生合作解決實際問題來學習隱含于問題背后的科學知識，形成解決問題的技能，并形成自主學習的能力。因此，深度學習觀下問題解決嘗試，對于促進學生溝通知識點之間的聯(lián)系，對于培養(yǎng)學生思維的開闊、靈敏、深刻、創(chuàng)新，即提升學生的思維品質(zhì)，對于激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)揮數(shù)學功能等方面確有其不可估量的教學價值。

[參考文獻]

[1]曹才翰，章建躍著.數(shù)學教育心理學.北京師范大學出版社，2006（06）.

[2]波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題.科學出版社，1982.