唐應(yīng)輝，劉金銀，余玅妙

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

2.四川師范大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

3.四川理工學(xué)院理學(xué)院，四川自貢 643000）

N-控制策略且溫儲備失效M/G/1可修排隊

唐應(yīng)輝1,2，劉金銀1，余玅妙3

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

2.四川師范大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

3.四川理工學(xué)院理學(xué)院，四川自貢 643000）

把“N-門限值進(jìn)入控制策略”引入到具有溫儲備失效和延遲修理的M/G/1可修排隊系統(tǒng)，其中在系統(tǒng)處于溫儲備失效的狀態(tài)下最多容許N（≥1）個顧客進(jìn)入系統(tǒng).利用全概率分解技術(shù)和Laplace變換工具，討論了系統(tǒng)在任意時刻t隊長的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)分布，得到了穩(wěn)態(tài)隊長分布的遞推表達(dá)式.同時分別討論了當(dāng)N=1與N→∞時的特殊情況.最后，建立了系統(tǒng)單位時間總成本費(fèi)用函數(shù)，通過數(shù)值計算例子討論了最優(yōu)門限值N?.

可修排隊系統(tǒng)；溫儲備失效；N-門限值進(jìn)入控制策略；隊長分布；全概率分解

1 引言

在過去的幾十年里，國內(nèi)外眾多學(xué)者對可修排隊系統(tǒng)和休假排隊系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛深刻的研究，得到了許多有價值的成果［1-5］.隨著實(shí)際應(yīng)用的需要，各種各樣的休假機(jī)制和控制策略被引入到排隊系統(tǒng)里面［6-15］.但是，在可修排隊系統(tǒng)的研究文獻(xiàn)中，多數(shù)都是假定服務(wù)臺在系統(tǒng)閑期內(nèi)不發(fā)生故障（即服務(wù)臺處于冷儲備關(guān)閉狀態(tài)），而實(shí)際情況并非如此.事實(shí)上，很多系統(tǒng)在空閑時系統(tǒng)不會被完全關(guān)閉，相關(guān)設(shè)備仍然處于較低負(fù)荷的運(yùn)行狀態(tài).例如：在雷達(dá)系統(tǒng)中，雷達(dá)發(fā)射機(jī)會不停的發(fā)射電磁能量經(jīng)過收發(fā)轉(zhuǎn)換開關(guān)傳送給天線，產(chǎn)生電磁波，利用電磁波的二次輻射、轉(zhuǎn)發(fā)或輻射的固有性質(zhì)來探測目標(biāo)，獲取目標(biāo)空間坐標(biāo)、速度、特征等信息，整個系統(tǒng)在沒有目標(biāo)信息反射時仍然處于運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài).文獻(xiàn)［16］首次提出并研究了服務(wù)臺在閑期和忙期中均可能發(fā)生失效的M/G/1可修排隊系統(tǒng)，而且服務(wù)臺在閑期和忙期中具有不同的故障率.對于這類可修排隊系統(tǒng)，從排隊模型方面講，不同于文獻(xiàn)［1］研究的可修排隊系統(tǒng)，從可靠性模型方面講，又不同于相應(yīng)經(jīng)典的可靠性系統(tǒng)模型［17］.文獻(xiàn)［18］把文獻(xiàn)［16］研究的系統(tǒng)模型推廣到成批到達(dá)的Mx/G/1可修排隊系統(tǒng)，最近，文獻(xiàn)［19，20］考慮了在溫儲備故障狀態(tài)下到達(dá)的顧客以概率p進(jìn)入的M/G/1可修排隊系統(tǒng)，并討論了該系統(tǒng)的排隊指標(biāo)和可靠性指標(biāo).但是，文獻(xiàn)［16，18，19，20］都假設(shè)服務(wù)臺在溫儲備期間發(fā)生故障能立即得到修理，而在實(shí)際中，由于系統(tǒng)在溫儲備期間工作人員可能不在崗（因?yàn)橄到y(tǒng)處于空閑期間），因此系統(tǒng)在溫儲備期間發(fā)生故障時不會立即被發(fā)現(xiàn)，從而發(fā)生溫儲備故障的系統(tǒng)就得不到立即修理.因此，考慮服務(wù)臺系統(tǒng)閑期發(fā)生溫儲備故障而不能立即得到修理是有實(shí)際背景的.為了預(yù)防在溫儲備故障期間過多的顧客進(jìn)入造成系統(tǒng)擁擠和顧客等待時間的延長，減少整個系統(tǒng)的成本，在溫儲備故障期間對進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)進(jìn)行限制是非常必要的.因此，本文首次將“N-門限值進(jìn)入控制策略”引入到具有溫儲備故障且不能立即得到修理的M/G/1可修排隊系統(tǒng)，考慮在溫儲備故障的狀態(tài)下最多容許N（≥1）個到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的情況，使用全概率分解方法和Laplace變換（簡稱L變換）工具，借用更新過程理論，分別討論了系統(tǒng)的瞬態(tài)隊長分布和穩(wěn)態(tài)隊長分布，并分析了當(dāng)N=1和N→∞的特殊情況.最后，結(jié)合更新報酬理論建立了系統(tǒng)單位時間的費(fèi)用結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，用數(shù)值實(shí)例討論了系統(tǒng)的最優(yōu)控制閾值N?.

2 模型描述

系統(tǒng)的模型描述如下：

1）服務(wù)臺有兩類故障（兩類故障修復(fù)后完全恢復(fù)相應(yīng)功能）：服務(wù)臺在服務(wù)員的“廣義忙期”中發(fā)生的故障，稱為服務(wù)臺的“第一類故障”，其壽命X服從負(fù)指數(shù)分布X（t）=1-e-αt，0≤α＜∞.服務(wù)臺發(fā)生“第一類故障”可得到立即修理，其修理時間Z的分布函數(shù)是任意分布Z（t）=Pr｛Z≤t｝，t≥0，且設(shè)平均修理時間為β1（0≤β1＜∞）.服務(wù)臺在系統(tǒng)閑期中發(fā)生溫儲備故障，稱為“第二類故障”，其溫儲備壽命為一般分布Y（t）=Pr｛Y≤t｝，t≥0，服務(wù)臺發(fā)生溫儲備故障時得不到立即修理，只有在有顧客到達(dá)系統(tǒng)需要服務(wù)時才發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺是否正常.如果服務(wù)臺沒有發(fā)生溫儲備故障，到達(dá)的顧客立即接受服務(wù)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)入服務(wù)員的“廣義忙期”狀態(tài)，若服務(wù)臺已經(jīng)發(fā)生了溫儲備故障，此時開始修理已溫儲備的服務(wù)臺，到達(dá)的顧客只有等服務(wù)臺修好后再接受服務(wù).服務(wù)臺溫儲備故障的修理時間V有任意分布V（t）=Pr｛V≤t｝，t≥0，且設(shè)平均修理時間為β2（0≤β2＜∞）.

2）系統(tǒng)在服務(wù)臺處于溫儲備故障的修理期間內(nèi)采取“N-門限值進(jìn)入控制策略”：在溫儲備故障的修理期間內(nèi)最多允許N-1個到達(dá)顧客進(jìn)入，即如果在此時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)大于N-1，則系統(tǒng)就從第N-1個到達(dá)的顧客進(jìn)入系統(tǒng)時刻起，禁止后面到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng)，等溫儲備失效的系統(tǒng)修復(fù)完后，重新允許到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng).而在服務(wù)員的“廣義忙期”中到達(dá)的顧客仍然可以完全進(jìn)入系統(tǒng).

3）到達(dá)時間的間隔｛τn,n≥1｝獨(dú)立同負(fù)指數(shù)分布F（t）=1-e-λt，t≥0.顧客實(shí)際所需的服務(wù)時間｛χn,n≥1｝獨(dú)立同一般分布G（t）=Pr｛χn≤t｝，t≥0，且平均服務(wù)時間設(shè)為μ-1（0＜μ＜∞）.

4）服務(wù)臺在服務(wù)員的“廣義忙期”中發(fā)生“第一類故障”時，正在接受服務(wù)的顧客需要等待其修復(fù)，再繼續(xù)接受服務(wù)，已服務(wù)過的時間仍然有效，且假定隨機(jī)變量τ,χ,X,Z,Y,,V是彼此獨(dú)立的.

3 系統(tǒng)隊長的瞬態(tài)概率分布和穩(wěn)態(tài)概率分布

將式（2）代入式（1）可得

由于

由式（5）和式（6）整理化簡即可.證畢.

定理2對Re｛s｝＞0，有

1）當(dāng)j=1,2,...,N-1時，

2）當(dāng)j=N時，

3）當(dāng)j=N+1,N+2,...時，

證明1）當(dāng)j=1,2,...,N-1時，時刻t隊長為j，則時刻t可能落在服務(wù)員的“廣義忙期”也可能落在第二類故障的修理期，且滿足隊長為j，利用全概率分解技術(shù)，可得

由于

由文獻(xiàn)［5］可得

其中Qj（t）由文獻(xiàn)［5］的4.2節(jié)給出，j≥1.

將式（13）～式（15），取Laplace變換整理可得

將式（17）代入式（16），整理即可得到式（7）.

2）當(dāng)j=N時，時刻t可能落在服務(wù)員的“廣義忙期”且隊長為N，或時刻t落在第二類故障的修理期內(nèi)且隊長為N（此時在第二類故障的修理期內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)大于或者等于N-1），于是，同理可得

將式（19）代入式（18），再取Laplace變換，整理即可得到式（9）.

3）當(dāng)j≥N+1時，時刻t隊長為j當(dāng)且僅當(dāng)時刻t落在服務(wù)員的“廣義忙期”中且隊長為j，同理可得

將式（21）代入式（20），作Laplace變換，整理即可得到式（11）.證畢.

當(dāng)j=0時，由式（5）與式（6），利用羅比達(dá)法則可得

當(dāng)j=1,2,...,N-1時，由式（7）和羅比達(dá)法則可得

綜上所述，當(dāng)j=1,2,...,N-1時，pj=0，當(dāng)j=N與j≥N+1時，同理可得pj=0.當(dāng)＜1時，由文獻(xiàn)［19］引理2.1，有此時有

下面證明當(dāng)eρ＜1時，｛pj,j≥0｝構(gòu)成概率分布.事實(shí)上，

經(jīng)計算得

至此，新時代新重慶牢記“四個扎實(shí)”，立足“兩點(diǎn)”定位，加快“兩地”建設(shè)，以重慶人的“堅韌頑強(qiáng)、開放包容、豪爽耿直”的精氣神努力實(shí)現(xiàn)“兩高”目標(biāo)。全市上下團(tuán)結(jié)一致、沉心靜氣，全面貫徹新發(fā)展理念，統(tǒng)籌推進(jìn)“五位一體”總體布局，協(xié)調(diào)推進(jìn)“四個全面”戰(zhàn)略布局，以供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革為主線，扎實(shí)做好穩(wěn)增長、促改革、調(diào)結(jié)構(gòu)、惠民生、防風(fēng)險各項(xiàng)工作，堅決打好“三大攻堅戰(zhàn)”，大力實(shí)施“八項(xiàng)行動計劃”，努力打造“山水之城，美麗之地”，不斷提升人民群眾的獲得感、幸福感、安全感，奮力把黨的十九大精神和習(xí)近平總書記的殷殷囑托全面落實(shí)在重慶大地上。

將式（28）～式（30）代入式（27），整理即可.證畢.

定理4令P（z）表示穩(wěn)態(tài)分布｛pj,j=0,1,2,...｝的概率母函數(shù)，則當(dāng)＜1時，有

而且平均隊長為

于是整理可得

推論1當(dāng)N=1時，此時相當(dāng)于在服務(wù)臺第二類故障的修理期間到達(dá)的顧客禁止進(jìn)入系統(tǒng)，則當(dāng)＜1時，穩(wěn)態(tài)分布｛pj,j=0,1,2,...｝為

其母函數(shù)為

且平均隊長為

推論2當(dāng)N→∞時，相當(dāng)于服務(wù)臺在第二類故障的修理期內(nèi)到達(dá)的顧客全部進(jìn)入系統(tǒng)，則當(dāng)＜1時，穩(wěn)態(tài)分布｛pj,j=0,1,2,...｝為

證明當(dāng)N→∞時，由式（22）與式（23），并注意到此時有ΔN=λβ2，Δ=1+λy（λ）β2，F(xiàn)（N-1）（t）=0，并且有

然后代入相應(yīng)式子整理即可.證畢.

4 費(fèi)用結(jié)構(gòu)函數(shù)與最優(yōu)N?的討論

假設(shè)系統(tǒng)費(fèi)用結(jié)構(gòu)為：

1）顧客在系統(tǒng)中逗留（包括等待和服務(wù)）單位時間的成本費(fèi)用為h個單位；

2）第一類故障服務(wù)臺單位時間的維修費(fèi)用為cz個單位，第二類故障服務(wù)臺單位時間的維修費(fèi)用為cv個單位；

3）在一個周期內(nèi)的固定消耗費(fèi)用為c0個單位.

記C（N）為系統(tǒng)在該策略下，長時間運(yùn)行單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的費(fèi)用.由更新報酬理論［21］知

下面計算一個更新周期的期望長度與一個更新周期內(nèi)成本期望費(fèi)用.

令A(yù)表示在服務(wù)員的“廣義忙期”開始時系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)，bj=Pr｛A=j｝，由系統(tǒng)模型假設(shè)可知，1≤j≤N，于是

則在服務(wù)員的“廣義忙期”開始時系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)為

由顧客到達(dá)過程是參數(shù)λ的Poisson流，可得系統(tǒng)閑期I的平均長度為

由模型的描述可知，系統(tǒng)的一個更新周期是指從一個服務(wù)員“廣義忙期”結(jié)束時算起，直到下一個相鄰的服務(wù)員“廣義忙期”結(jié)束為止的這段時間.容易知道，若服務(wù)臺在系統(tǒng)閑期中不發(fā)生溫儲備故障，系統(tǒng)的一個更新周期是一個系統(tǒng)閑期長度I與一個服務(wù)員“廣義忙期”長度eBA之和；若服務(wù)臺在系統(tǒng)閑期中發(fā)生溫儲備故障，系統(tǒng)的一個更新周期是一個系統(tǒng)閑期長度I，一個第二類故障修理時間長度V與一個服務(wù)員“廣義忙期”長度eBA之和.因此系統(tǒng)的一個更新周期的期望長度為

一個更新周期內(nèi)的期望費(fèi)用由以下幾個部分組成：

1）單位時間內(nèi)在系統(tǒng)中逗留顧客的成本期望費(fèi)用為hL，其中L由定理4給出；

2）服務(wù)臺在一個更新周期內(nèi)的第一類故障修理期望費(fèi)用為E［Z］E［eBA］cz/（E［X］+E［Z］）；

3）服務(wù)臺在一個更新周期內(nèi)的第二類故障修理的期望費(fèi)用為E［V］y（λ）cv；

4）一個更新周期內(nèi)的固定消耗費(fèi)用為c0.

于是在一個更新周期內(nèi)的系統(tǒng)單位時間成本期望費(fèi)用C（N）為

下面通過數(shù)值計算例子來討論最優(yōu)閾值N?，取G（t）=1-e-μt，0≤μ＜∞，Z（t）=1-e-γt，0≤γ＜∞，Y（t）=1-e-θt，0≤θ＜∞，V（t）=1-e-βt，0≤β＜∞.代入到C（N）的表達(dá)式，經(jīng)化簡整理得

取參數(shù)λ=1.0，μ=2.0，α=0.6，γ=2.0，θ=0.1，β=0.6，h=20，c0=500，cz=50，cv=20.表1和圖1分別給出了在不同的控制策略閾值N下系統(tǒng)單位時間的運(yùn)行費(fèi)用（數(shù)值結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后4位）.

表1 不同的控制策略閾值N下系統(tǒng)運(yùn)行的單位時間平均費(fèi)用Table 1The long-run expected cost per unit time against different threshold value N

圖1 控制策略閾值N對單位時間平均費(fèi)用的影響Fig.1The influence of the long-run expected cost per unit time against threshold value N

5 結(jié)束語

本文將N-門限值進(jìn)入控制策略首次引入到“具有溫儲備失效的M/G/1可修排隊系統(tǒng)”中，使得模型更加符合實(shí)際情況，推廣了具有溫儲備失效可修排隊系統(tǒng)的研究模型.利用全概率分解技術(shù)和更新過程理論，討論了系統(tǒng)隊長的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)分布.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合更新報酬理論，建立了在該控制策略下，系統(tǒng)長期運(yùn)行單位時間所產(chǎn)生的費(fèi)用目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，并通過數(shù)值計算討論了最優(yōu)N?，使得本文的研究有了更好的應(yīng)用價值.

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Tang Yinghui，Mu Yongcong，Yu Miaomiao.Analysis of reliability on M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during second type failure times：Some reliability indices［J］.Journal of Systems Engineering，2012，27（4）：559-567.（in Chinese）

［21］Ross S M.Stochastic Processes［M］.2nd Edition.New York：Wiley，1996.作者簡介：

唐應(yīng)輝（1963-），男，四川廣安人，博士，教授，研究方向：系統(tǒng)可靠性，排隊論和決策理論，Email：tangyh@uestc.edu.cn；

劉金銀（1988-），男，四川自貢人，碩士，研究方向：系統(tǒng)可靠性和排隊論，Email：liujinyin2006@126.com；

余玅妙（1979-），男，湖北沙市人，博士，副教授，研究方向：排隊論，可靠性，隨機(jī)庫存理論等，Email：mmyu75@163.com. **********************************************************************************************

M/G/1 repairable queue with N-control policy and warm standby failure

Tang Yinghui1,2，Liu Jinyin1，Yu Miaomiao3

（1.School of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
2.School of Fundamental Education，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
3.School of Science，Sichuan University of Science and Engineering，Zigong 643000，China）

This paper considers an M/G/1 repairable queuing system with warm standby and delayed repair，in which the“N-threshold entering-control policy”is introduced.In such a policy，at most N（≥1）customers are allowed to enter into the system during the warm standby failure period.By the total probability decomposition technique and the Laplace transform，this paper discusses the transient queue length distribution and the steady state queue length distribution at any time t，and obtain the recursion expression of the steady state queue length distribution.Moreover，This paper also considers some special cases when N=1 and N→∞.Finally，the total long run expected average cost per unit time for the system is developed，and the optimal threshold N?is determined by numerically examples.

repairable queueing system；warm standby failure；N-threshold entrance control policy；queuelength distribution；total probability decomposition

O213.2；O226

A

1000-5781（2015）06-0852-13

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.013

2013-08-26；

2013-11-28.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171138；71571127；71301111）.