黃宗盛，聶佳佳，胡培

（西南交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川成都 610031）

具競爭性零售商的閉環(huán)供應(yīng)鏈微分對策模型

黃宗盛，聶佳佳，胡培

（西南交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川成都 610031）

研究了具競爭性零售商的閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的最優(yōu)回收控制策略.首先構(gòu)建了零售商回收的閉環(huán)供應(yīng)鏈微分對策模型，利用微分對策理論求解模型并得到制造商和零售商的最優(yōu)控制策略.分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)回收成本系數(shù)不那么低時(shí)系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)均衡，僅在一定的最優(yōu)控制策略下系統(tǒng)收斂到穩(wěn)態(tài)均衡.此時(shí)零售商的回收投入和產(chǎn)品回收率隨時(shí)間推移而增大；而零售商的零售價(jià)格隨時(shí)間推移而減小，產(chǎn)品銷售速率隨時(shí)間推移而增大；制造商的批發(fā)價(jià)格與轉(zhuǎn)移價(jià)格有關(guān)：當(dāng)轉(zhuǎn)移價(jià)格較高時(shí)，制造商的批發(fā)價(jià)格隨時(shí)間推移而增大，反之，制造商的批發(fā)價(jià)格隨時(shí)間推移而減小；零售商之間關(guān)于產(chǎn)品回收具有“先動”優(yōu)勢.

閉環(huán)供應(yīng)鏈；微分對策；零售商回收；競爭性零售商

1 引言

由于閉環(huán)供應(yīng)鏈在經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等方面體現(xiàn)出的巨大優(yōu)勢，近年來受到了全社會的廣泛關(guān)注.在企業(yè)界，很多公司早已通過產(chǎn)品回收再制造來降低生產(chǎn)成本，如Xerox、Kodak和HP等［1-3］.目前施行產(chǎn)品再制造的企業(yè)已經(jīng)廣泛覆蓋各個行業(yè)，如電腦、復(fù)印機(jī)、墨盒、家具、汽車零部件、醫(yī)用器材以及輪胎等［4］.企業(yè)要施行再制造戰(zhàn)略，廢舊產(chǎn)品的回收是一個關(guān)鍵問題.本文試圖從一種動態(tài)的視角，探討具有競爭性零售商的供應(yīng)鏈中的產(chǎn)品回收控制問題.

近年來，學(xué)者們針對閉環(huán)供應(yīng)鏈的運(yùn)作管理進(jìn)行了大量研究，主要探討供應(yīng)鏈成員的回收策略或者供應(yīng)鏈的最佳回收渠道選擇問題.Savaskan等［1］在閉環(huán)供應(yīng)鏈的架構(gòu)下探討了逆向渠道的選擇問題，發(fā)現(xiàn)零售商回收時(shí)的效率高于制造商及第三方回收時(shí)的效率.Savaskan等［1］的研究為閉環(huán)供應(yīng)鏈的逆向渠道設(shè)計(jì)提供了較為經(jīng)典的框架，許多學(xué)者正是在他們的基礎(chǔ)上展開了進(jìn)一步的研究［3-9］，但這些研究假設(shè)供應(yīng)鏈中僅存在一個零售商，這與實(shí)際情況有所不符.Savaskan等［2］進(jìn)一步在零售商競爭的架構(gòu)下，探討了閉環(huán)供應(yīng)鏈的產(chǎn)品回收問題.易余胤［10］同樣在零售商競爭的背景下，探討了不同供應(yīng)鏈主導(dǎo)結(jié)構(gòu)下的閉環(huán)供應(yīng)鏈產(chǎn)品回收問題，研究發(fā)現(xiàn)在市場無領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)產(chǎn)品回收率最高.李響等［11］則研究了多制造商同時(shí)進(jìn)行產(chǎn)品回收再制造時(shí)的回收競爭博弈，但上述研究沒有考慮正向渠道.

上述文獻(xiàn)極大的豐富了關(guān)于閉環(huán)供應(yīng)鏈的研究成果，為企業(yè)的運(yùn)作管理提供了一定的借鑒，然而仍存在一些不足.以上關(guān)于閉環(huán)供應(yīng)鏈的模型多為時(shí)間靜態(tài)模型，沒有考慮系統(tǒng)的特征隨時(shí)間的動態(tài)變化情況.在閉環(huán)供應(yīng)鏈的動態(tài)模型方面，Kiesm¨uller［12］考察了一個具有提前期的動態(tài)產(chǎn)品回收系統(tǒng)，采用極大值原理求解了系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略.Geyer等［13］在考慮產(chǎn)品零部件耐用性和有限生命周期的條件下研究了企業(yè)的動態(tài)再制造策略.此外以上關(guān)于閉環(huán)供應(yīng)鏈的動態(tài)模型，主要是在集中式供應(yīng)鏈的架構(gòu)下，從整體研究系統(tǒng)的最優(yōu)策略，而系統(tǒng)動態(tài)特征主要考察庫存特征.然而閉環(huán)供應(yīng)鏈中產(chǎn)品的回收過程亦具有動態(tài)特征，針對這一情況，黃宗盛等［14，15］通過考察回收過程的動態(tài)特征構(gòu)建了相應(yīng)微分對策模型，并分析了不同逆向渠道下的回收效率.對比發(fā)現(xiàn)，制造商回收可能對供應(yīng)鏈成員更為有利.但他們的研究僅在單個零售商的背景下，實(shí)踐中零售商競爭的情況則更具代表性.鑒于此，本文將進(jìn)一步在零售商競爭的背景下，探討相應(yīng)回收控制策略.

對于負(fù)責(zé)回收廢舊產(chǎn)品的企業(yè)而言，產(chǎn)品的回收是一個長期動態(tài)的過程.負(fù)責(zé)回收產(chǎn)品的企業(yè)需要持續(xù)投入資金進(jìn)行產(chǎn)品回收活動，如回收宣傳、回收設(shè)施建設(shè)與逆向物流服務(wù)等，以換取系統(tǒng)的產(chǎn)品回收率.從動態(tài)的角度考慮，企業(yè)本階段回收投入較高時(shí)，并不會即刻反映為較高的回收率，而是企業(yè)回收率的變化率上升，亦即回收率上升更快.以往的產(chǎn)品回收模型忽略了這個動態(tài)過程.當(dāng)考慮產(chǎn)品回收率的動態(tài)變化過程時(shí)，可以更好的描述回收率隨回收投入的動態(tài)變化情況［14］.本文將在競爭性零售商的供應(yīng)鏈架構(gòu)下，構(gòu)建關(guān)于產(chǎn)品回收的微分對策模型.

2 模型

在閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中，目前關(guān)于回收率的模型多為時(shí)間靜態(tài)模型［1，2］，此時(shí)主要從總體戰(zhàn)略的角度考察是否進(jìn)行產(chǎn)品回收或者回收多少廢舊產(chǎn)品.這樣的模型忽略了對系統(tǒng)動態(tài)回收過程的考察，雖然可以對企業(yè)的產(chǎn)品回收提供戰(zhàn)略參考，但無法指導(dǎo)企業(yè)如何進(jìn)行回收投入，即無法得到回收投入的時(shí)間控制路徑.實(shí)際上，企業(yè)的產(chǎn)品回收是一個動態(tài)的投入產(chǎn)出過程.當(dāng)企業(yè)某一階段投入較多的資金，容易想象其產(chǎn)品回收率將上升，但這個上升并不是即時(shí)的，而是首先反映在回收率的變化率上，因而是一個動態(tài)的過程.高的回收投入換來高的產(chǎn)品回收率變化率.將產(chǎn)品回收率看作系統(tǒng)的狀態(tài)變量，而回收努力投入為控制變量，則有［15，16］

其中τ（t）為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，表示t時(shí)刻的產(chǎn)品回收率.A（t）表示t時(shí)刻的回收投入，主要體現(xiàn)回收企業(yè)在回收設(shè)施的建設(shè)、維護(hù)以及對消費(fèi)者的回收宣傳上投入的資金量；ρ的大小體現(xiàn)回收投入對回收率的影響程度.δ表示回收率的衰減系數(shù).對于本文的動態(tài)回收模型，可以理解為隨著時(shí)間的推移，回收設(shè)施會逐漸陳舊，同時(shí)消費(fèi)者對企業(yè)的回收宣傳也會逐漸遺忘，這些都會造成產(chǎn)品回收率的衰減.式（1）較為清楚的反映了產(chǎn)品回收率隨回收投入的動態(tài)變化過程.另外，若衰減系數(shù)δ較大，即回收設(shè)施質(zhì)量下降速度較快或者消費(fèi)者對回收宣傳遺忘較快時(shí)，企業(yè)需要更大的投入，產(chǎn)品回收率才不會下降.

兩個零售商在各自的銷售區(qū)域中進(jìn)行產(chǎn)品回收，因此回收率的動態(tài)變化特征由與式（1）類似的兩個微分方程描述，即

由式（2）可發(fā)現(xiàn)，零售商各自的回收率僅受自身回收投入的影響.這主要是由于回收努力投入主要體現(xiàn)為構(gòu)建回收設(shè)施、逆向物流和回收宣傳等方面的投入水平，并非競爭性手段，因此這里假定零售商之間的回收努力投入對相互之間的產(chǎn)品回收率沒有影響.回收投入高的一方回收率會上升的較快，但并不會造成另一方回收率上升變慢.

制造商利用廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造和利用新材料進(jìn)行制造出的產(chǎn)品在性能和外觀上都完全一致［1，2］.值得說明的是，這里比較適用制造商利用舊產(chǎn)品中的某些部件再結(jié)合新材料進(jìn)行生產(chǎn)的情形，而制造商利用廢舊產(chǎn)品進(jìn)行簡單翻新生產(chǎn)的情況不適用于本文的討論.零售商負(fù)責(zé)分銷制造商的產(chǎn)品，任意時(shí)刻的產(chǎn)品需求函數(shù)為

其中i=1,2；φ＞0表示市場容量，0＜γ＜1反映零售商之間的競爭強(qiáng)度.

再制造閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的假設(shè)如下：

2）在閉環(huán)供應(yīng)鏈中，制造商為渠道的領(lǐng)導(dǎo)者，而零售商為追隨者；

3）用cm表示制造商利用新材料進(jìn)行生產(chǎn)的單位成本，cr表示利用廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造的單位成本，且Δ=cm-cr＞0，表明制造商通過再制造是可以節(jié)約成本的，否則制造商不會有選擇產(chǎn)品再制造這種生產(chǎn)方式的經(jīng)濟(jì)驅(qū)動力；對于零售商回收的舊產(chǎn)品制造商給予單位支付b，設(shè)b≤Δ，很顯然，一旦制造商購買舊產(chǎn)品的成本大于舊產(chǎn)品為其節(jié)約的成本，制造商也不會選擇再制造這種生產(chǎn)方式；

4）對于從消費(fèi)者處返回的舊產(chǎn)品，零售商給予單位支付σ.為簡單起見，且在不失一般性的前提下，設(shè)σ=0.需要指出的是，該假設(shè)只是簡化了本文的數(shù)學(xué)復(fù)雜度，不會影響本文的結(jié)論；

5）制造商和零售商的決策期為［0,∞），貼現(xiàn)率為r.

由于零售商回收在現(xiàn)實(shí)中更為常見，因而本文主要探討零售商回收下的情況.此時(shí)，零售商需要決定在產(chǎn)品回收中的投入Ai（t）以及產(chǎn)品的零售價(jià)格.零售商i的目標(biāo)函數(shù)為

而制造商主要決定給零售商的批發(fā)價(jià)格w（t），其目標(biāo)函數(shù)為

約束條件為式（1）.

3 最優(yōu)控制策略

顯然該問題屬于制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈，為了求解均衡時(shí)雙方的最優(yōu)策略，根據(jù)逆向歸納法的原理，首先構(gòu)建零售商i的現(xiàn)值Hamilton函數(shù)為

其中μri和μr（3-i）為協(xié)狀態(tài)變量.根據(jù)最大值原理的最優(yōu)化必要條件為

根據(jù)式（7）和式（8）求解得到零售商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為

由式（10）可以看出，零售商不僅根據(jù)自身的產(chǎn)品回收率下調(diào)零售價(jià)格，還根據(jù)競爭對手的回收率下調(diào)自己的零售價(jià)格，但自身的回收率對自己產(chǎn)品價(jià)格的影響更大.這表明兩個零售商中如果有一個零售商不進(jìn)行產(chǎn)品的回收時(shí)，其產(chǎn)品價(jià)格將會高于進(jìn)行產(chǎn)品回收的零售商，導(dǎo)致其在價(jià)格競爭中處于劣勢，因而零售商不進(jìn)行產(chǎn)品回收對其自身是不利的.

根據(jù)零售商的最優(yōu)反應(yīng)構(gòu)造制造商的現(xiàn)值Hamilton函數(shù)為

最優(yōu)化必要條件為

由式（12）求解得到制造商的最優(yōu)批發(fā)價(jià)格為

將式（13）代入零售商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)可得零售商的最優(yōu)策略為

再將式（13）和式（14）代入零售商的狀態(tài)和協(xié)狀態(tài)變化方程中，進(jìn)行化簡可得

其中

命題1給出了閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)均衡的存在條件.

命題1當(dāng)（δr+δ2）k＞max（ρ2（E3-E2）,-ρ2（E1+E2+E3））時(shí)，再制造閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)均衡，且此時(shí)穩(wěn)態(tài)均衡為鞍點(diǎn)均衡，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)均衡為

穩(wěn)態(tài)時(shí)制造商的批發(fā)價(jià)格為

穩(wěn)態(tài)時(shí)零售商各自的零售價(jià)格和回收努力投入為

證明式（15）微分方程組的特征根為

當(dāng)-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＞0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＜0時(shí)，有λ1,2＞0，λ3＞0和λ4＜0，此時(shí)微分方程組的解發(fā)散；當(dāng)-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＜0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＞0時(shí)，有λ1＞0,λ2＜0和λ3,4＞0，此時(shí)微分方程組的解仍然發(fā)散；僅當(dāng)-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＜0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＜0，即（δr+δ2）k＞max（ρ2（E3-E2）,-ρ2（E2+E3））時(shí)，微分方程的特征根有λ1＞0，λ2＜0和λ3＞0，λ4＜0，此時(shí)微分方程組的穩(wěn)態(tài)為鞍點(diǎn)均衡［17］.

根據(jù)˙τi=0和˙μri=0可求得閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的狀態(tài).由于穩(wěn)態(tài)時(shí)的產(chǎn)品回收率應(yīng)滿足0＜＜1，由于E1＜0，因而當(dāng)ρ2E2+ρ2E3+δkr+δ2k＞0時(shí)0＜；再當(dāng)ρ2E2+ρ2E3+δkr+δ2k＜-ρ2E1，即（δr+δ2）k＞-ρ2（E1+E2+E3）時(shí)，可使＜1.又-ρ2（E2+E3）-ρ2E1＞-ρ2（E2+E3），因此對于該問題系統(tǒng)達(dá)到鞍點(diǎn)均衡的條件為

命題1表明只有零售商的回收成本系數(shù)較大時(shí)系統(tǒng)才存在穩(wěn)定的狀態(tài)，如果回收商的成本系數(shù)太小對于系統(tǒng)而言反而是不穩(wěn)定的.現(xiàn)實(shí)中廢舊產(chǎn)品可能分布在銷售商所在區(qū)域的任何一個位置，同時(shí)零售商需要進(jìn)行產(chǎn)品的回收宣傳、逆向渠道建設(shè)等，因此對于零售商而言，要進(jìn)行產(chǎn)品的回收可能會產(chǎn)生巨大的成本，這使得其回收成本系數(shù)不會太低.因而微分方程穩(wěn)定的條件是基本能夠滿足的.另外，在Savaskan等［1］中也有類似假設(shè).

將命題1中的穩(wěn)態(tài)解代入供應(yīng)鏈成員的利潤表達(dá)式中可得零售商的穩(wěn)態(tài)瞬時(shí)利潤率為

制造商的穩(wěn)態(tài)瞬時(shí)利潤率為

命題2給出了制造商和零售商達(dá)到穩(wěn)態(tài)均衡的最優(yōu)控制策略.

命題2零售商回收下，制造商的最優(yōu)批發(fā)價(jià)格控制策略為

零售商的最優(yōu)零售價(jià)格控制策略為

零售商的最優(yōu)回收控制策略為

其中

將式（26）分別回代入式（10），式（13）和式（14）中即可得到命題2中制造商和零售商的最優(yōu)控制策略.證畢.

命題3若τ10＞τ20，則τ1（t）＞τ2（t），A1（t）＞A2（t），p1（t）＜p2（t），D1（t）＞D2（t），反之τ10＜τ20時(shí)有相反的結(jié)論；若τ1=τ2，τ1（t）=τ2（t），A1（t）=A2（t），p1（t）=p2（t），D1（t）=D2（t）.

證明由于τ1（t）-τ2（t）=（τ10-τ20）eλ4t，因此τ10＞τ20時(shí)，τ1（t）＞τ2（t），反之，則有τ1（t）＜τ2（t）.命題中其他結(jié)論的證明與此類似.證畢.

命題3說明零售商之間對于產(chǎn)品回收具有“先動”優(yōu)勢，即初始回收率高的零售商在以后的回收率、回收投入和銷售速率上會高于對方.對于零售商而言，“先動”可以提高其銷售速率，但是否一定帶來瞬時(shí)利潤的提高？下面通過數(shù)值仿真進(jìn)行考察.設(shè)系統(tǒng)參數(shù)為ρ=2，Δ=2，φ=50，γ=0.5，cm=6，δ=1，r= 0.15，k=100，b=0.9，τ10=0.1，τ20=0.圖1給出了零售商1和零售商2的瞬時(shí)利潤隨時(shí)間的變化情況.由圖中可以看出，零售商的瞬時(shí)利潤隨時(shí)間增高，逐漸達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的瞬時(shí)利潤，且零售商1的利潤率高于零售商2的利潤率.這說明零售商的“先動”不僅能提高其產(chǎn)品銷售率，還能提升其利潤水平.因此零售商均有盡快投入產(chǎn)品回收的動機(jī).

圖1 不同初始回收率下零售商瞬時(shí)利潤隨時(shí)間變化情況Fig.1The instant profit of retailer changes over time under different initial return rate

鑒于零售商均有提前進(jìn)行產(chǎn)品回收的積極性，在以下的分析中，不妨設(shè)τ10=τ20.

命題4在最優(yōu)控制策略下的閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)有：1）系統(tǒng)產(chǎn)品回收率隨時(shí)間推移而增大；2）零售商的回收投入隨時(shí)間推移而增大，而零售商的零售價(jià)格隨時(shí)間推移而減小，產(chǎn)品銷售速率則隨時(shí)間推移而增快；3）當(dāng)b＞Δ/2時(shí)，制造商的批發(fā)價(jià)格隨時(shí)間推移而增大，當(dāng)b＜Δ/2時(shí)，批發(fā)價(jià)格隨時(shí)間推移而減小.

證明1）由于λ2＜0，因而

命題4表明，零售商的回收投入會隨時(shí)間逐步上升到穩(wěn)定時(shí)的狀態(tài)，而產(chǎn)品回收率也相應(yīng)隨時(shí)間上升.由于產(chǎn)品回收率升高，制造商生產(chǎn)成本降低，零售商會降低各自的零售價(jià)格，而產(chǎn)品銷售速率則會逐步上升.有意思的是，制造商的批發(fā)價(jià)格演化路徑并非隨時(shí)間推移而降低，而是與回收品的轉(zhuǎn)移價(jià)格有關(guān)：當(dāng)轉(zhuǎn)移價(jià)格較高時(shí)，制造商的最優(yōu)控制策略是隨時(shí)間逐漸提高批發(fā)價(jià)格到穩(wěn)定時(shí)的狀況，而當(dāng)轉(zhuǎn)移價(jià)格較低時(shí)，制造商的最優(yōu)控制策略則是隨時(shí)間逐漸下調(diào)批發(fā)價(jià)格到穩(wěn)定時(shí)的狀況.只有在這樣的控制策略下系統(tǒng)才能達(dá)到最佳的狀態(tài).

4 參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響分析

本部分將對系統(tǒng)參數(shù)變化對零售商回收控制策略、系統(tǒng)產(chǎn)品回收率及制造商和零售商的利潤率的影響展開分析，著重考察零售商之間的競爭強(qiáng)度、系統(tǒng)貼現(xiàn)率及轉(zhuǎn)移價(jià)格的影響.由于本文模型的較為復(fù)雜，因此難以通過解析方法進(jìn)行分析，下面主要采取數(shù)值仿真的方法進(jìn)行研究.系統(tǒng)的基準(zhǔn)參數(shù)設(shè)定為τ10=τ20=0,ρ=2,Δ=2,b=1.1,φ=50,cm=6,δ=1,r=0.15,k=100,γ=0.15.分析時(shí)將控制其中目標(biāo)參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化，而其他參數(shù)將保持不變.

1）零售商競爭強(qiáng)度的影響

圖2主要是考察零售商之間的競爭強(qiáng)度對系統(tǒng)的影響.當(dāng)γ越大，零售商之間的競爭程度越激烈.由圖2可以看出，零售商的最優(yōu)回收投入隨時(shí)間推移而提高.當(dāng)零售商之間的競爭程度加強(qiáng)時(shí)，零售商進(jìn)行產(chǎn)品回收的積極性會增強(qiáng)，系統(tǒng)的回收率會更高：同時(shí)這也會帶來零售商和制造商利潤水平的提升.由此可以發(fā)現(xiàn)，零售商之間競爭程度的加強(qiáng)會對閉環(huán)供應(yīng)鏈的逆向渠道產(chǎn)生影響.在一個競爭相對激烈的系統(tǒng)中，產(chǎn)品回收率會更高，同時(shí)對供應(yīng)鏈成員的利潤更為有利.在Bertrand模型中，當(dāng)企業(yè)間的競爭程度或產(chǎn)品替代性越高時(shí)，各方的需求會更高，對各方的利潤也更為有利.

圖2.1 γ對零售商最優(yōu)回收投入的影響Fig.2.1The impact of γ on the return effort

圖2.2 γ對系統(tǒng)產(chǎn)品回收率的影響Fig.2.2The impact of γ on the return rate

圖2.3 γ對零售商瞬時(shí)利潤的影響Fig.2.3The impact of γ on the profit of retailer

圖2.4 γ對制造商瞬時(shí)利潤的影響Fig.2.4The impact of γ on the profit of manufacturer

2）系統(tǒng)貼現(xiàn)率的影響

圖3主要考察貼現(xiàn)率對系統(tǒng)的影響.貼現(xiàn)率越高，企業(yè)對未來的長期利潤就越不看重，而更看重眼下的利益.由圖3可以發(fā)現(xiàn)，貼現(xiàn)率越高，零售商對產(chǎn)品回收的投入越低，而系統(tǒng)的產(chǎn)品回收率也相應(yīng)越低.由于零售商為產(chǎn)品回收的投入方，高的貼現(xiàn)率限制了零售商在系統(tǒng)運(yùn)行的初始階段投入資金的積極性，這一方面降低了在初始階段大量投入產(chǎn)生的較大成本，但另一方面產(chǎn)品回收為零售商帶來的收益也受到影響.因而貼現(xiàn)率對零售商利潤的影響并非單調(diào)的增加或減少.而是存在一定的貼現(xiàn)率，使得此時(shí)零售商能獲得最大的穩(wěn)態(tài)利潤率.由于制造商對產(chǎn)品回收并不進(jìn)行投入，因而貼現(xiàn)率對其利潤的影響是單方面的，貼現(xiàn)率越高對制造商的利潤越不利.由此可以得出，當(dāng)系統(tǒng)貼現(xiàn)率較高時(shí)，制造商可在初始階段參與回收系統(tǒng)的搭建，為零售商分擔(dān)一定的經(jīng)濟(jì)壓力，避免零售商投入積極性導(dǎo)致系統(tǒng)的回收率較低的狀況.同時(shí)這也有利于提升制造商和零售商的利潤水平.

3）轉(zhuǎn)移價(jià)格的影響

圖4主要考察廢舊產(chǎn)品轉(zhuǎn)移價(jià)格的變化對系統(tǒng)的影響.當(dāng)b上升時(shí)，制造商從回收的舊產(chǎn)品中獲益減小，而零售商獲益增大，從圖4可以看出，零售商的最優(yōu)回收投入隨時(shí)間上升，當(dāng)廢舊產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移價(jià)格上升時(shí)，零售商的最優(yōu)回收努力投入相應(yīng)增加，同時(shí)穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的回收率也隨之上升.此時(shí)零售商擁有較高的積極性投入廢舊產(chǎn)品的回收，但較為意外的是穩(wěn)態(tài)時(shí)零售商的瞬時(shí)利潤并未有提升.另外值得注意的是，盡管轉(zhuǎn)移價(jià)格上升會降低制造商從節(jié)約的成本中獲取的收益，但由于此時(shí)產(chǎn)品回收率較高，零售價(jià)格較低，刺激了需求，反而使得制造商的瞬時(shí)利潤有所上升，這表明制造商應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高廢舊產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移價(jià)格，激勵零售商更好的進(jìn)行產(chǎn)品的回收，這對制造商自身也是有利的.

圖3.1 r對零售商最優(yōu)回收投入的影響Fig.3.1The impact of r on the return effort

圖3.2 r對系統(tǒng)產(chǎn)品回收率的影響Fig.3.2The impact of r on the return rate

圖3.3 r對零售商瞬時(shí)利潤的影響Fig.3.3The impact of r on the profit of retailer

圖3.4 r對制造商瞬時(shí)利潤的影響Fig.3.4The impact of r on the profit of manufacturer

圖4.1 b對零售商最優(yōu)回收投入的影響Fig.4.1The impact of b on the return effort

圖4.2 b對系統(tǒng)產(chǎn)品回收率的影響Fig.4.2The impact of b on the return rate

圖4.3 b對零售商瞬時(shí)利潤的影響Fig.4.3The impact of b on the profit of retailer

圖4.4 b對制造商瞬時(shí)利潤的影響Fig.4.4The impact of b on the profit of manufacturer

5 結(jié)束語

在考慮閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)產(chǎn)品回收率動態(tài)變化特征的基礎(chǔ)上，利用最優(yōu)控制及微分對策理論求得制造商和零售商的開環(huán)最優(yōu)控制策略并對最優(yōu)策略進(jìn)行分析.研究發(fā)現(xiàn)，在零售商回收成本系數(shù)不那么低時(shí)系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)均衡，且在最優(yōu)開環(huán)控制策略下系統(tǒng)收斂到穩(wěn)態(tài)均衡，此時(shí)有：1）零售商的產(chǎn)品回收率隨時(shí)間推移而增大；零售商的回收投入隨時(shí)間推移而增大，而零售商的零售價(jià)格隨時(shí)間推移而減小，產(chǎn)品銷售速率則隨時(shí)間推移而增大；制造商的最優(yōu)批發(fā)價(jià)格路徑與轉(zhuǎn)移價(jià)格有關(guān)，當(dāng)轉(zhuǎn)移價(jià)格較高時(shí)，制造商的批發(fā)價(jià)格隨時(shí)間推移而增大，反之，制造商的批發(fā)價(jià)格隨時(shí)間推移而減??；2）零售商之間關(guān)于產(chǎn)品回收具有“先動”優(yōu)勢.

對于具競爭性零售商的閉環(huán)供應(yīng)鏈的進(jìn)一步研究方向是考察制造商和零售商同時(shí)參與回收的情況和求解微分對策的閉環(huán)控制策略.

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Differential game model in closed-loop supply chain with competing retailers

Huang Zongsheng，Nie Jiajia，Hu Pei

（School of Economics and Management，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The optimal control strategies in a closed-loop supply chain with competing retailers are studied. First，the differential game model of a closed-loop supply chain with retailer collecting is established，and the optimal control strategies of the manufacturer and the retailers are resolved by the differential game approach. Some results are found.The Saddle point equilibrium exists only under certain conditions.The collecting investment of the retailer as well as the product return rate increases with time，while the retail prices decrease with time.The demand rate of retailers increase with time.The wholesale price of the manufacturer may increase or decrease with time，depending on the transfer price of the used product.When the transfer price is high，the wholesale price increases with time，on the contrary，the wholesale price decreases with time.The product collecting between the competing retailers has a'first-move advantage'effect for the retailers.

closed-loop supply chain；differential game；retailer recycle；competing retailers

F270

A

1000-5781（2015）06-0779-11

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.007

黃宗盛（1985-），男，四川綿陽人，博士，講師，研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理，Email：chris163@yeah.net；

聶佳佳（1981-），男，河南許昌人，博士，副教授，研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理，Email：nie jia@126.com；

胡培（1957-），男，重慶人，博士，教授，研究方向：系統(tǒng)建模與決策，Email：huhupei@126.com.

2013-06-20；

2014-01-16.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71101120；71440016）.