☉云南省曲靖市第一中學 陳 潤

一個“以逐級設問為導向”的教學嘗試案例
——函數(shù)單調(diào)性的概念

☉云南省曲靖市第一中學 陳 潤

一、教材分析

函數(shù)的單調(diào)性是高考的重點考查內(nèi)容之一，是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，在比較幾個數(shù)的大小、求函數(shù)值域、對函數(shù)的定性分析，以及與其他知識的綜合上都有廣泛的應用.通過對這一節(jié)課的學習，可以讓學生加深對函數(shù)的本質(zhì)認識.也為今后研究具體函數(shù)的性質(zhì)做了充分準備，起到承上啟下的作用.

教學重點：形成增（減）函數(shù)的形式化定義.

教學難點：形成增（減）函數(shù)概念的過程中，如何從圖像升降的直觀認識過渡到函數(shù)的增減性用數(shù)學符號語言表述；用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

二、教法

啟發(fā)式教學，在教師的引導下，通過開放性問題的設置來啟發(fā)學生，讓學生在思考中體會數(shù)學概念形成過程中所蘊含的數(shù)學方法.

三、學法

采用著重于學生探索的方法，結(jié)合師生共同討論、歸納.根據(jù)學生的認知水平，設計了五種方法：①創(chuàng)設情境——引入概念；②觀察歸納——形成概念；③應用舉例——深化概念；④即時訓練——鞏固新知；⑤總結(jié)反思——提高認識.

四、教學程序及設想

（一）創(chuàng)設情境——引入概念

由具體的實例引入：

問題1：觀察下列各個函數(shù)的圖像（圖1，圖2），說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律.

圖1

圖2

答：隨x的增大，y的值有變化.

設問意圖：給出學生這兩個引例是從圖像上激發(fā)學生對探索研究、學習新知識的熱情，為導入新課及順利完成教學任務做了思想上的準備.

問題2：畫出一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2的圖像，從圖像觀察隨x的增大，y的值有什么變化.以二次函數(shù)f（x）=x2為例，列出x，y對應值表，進行相應的分析.

答：在x∈（-∞，0）上，隨著x的增大，y減?。辉趚∈（0，+∞）上，隨著x的增大，y增大.

設問意圖：為得出增函數(shù)與減函數(shù)的概念從圖形和數(shù)值上做好了鋪墊.

（二）觀察歸納——形成概念

把圖形語言轉(zhuǎn)變成數(shù)學語言，借助點這個中間橋梁.（作為這一節(jié)的重點內(nèi)容講解）

問題1：構(gòu)成圖像的要數(shù)是什么？

答：點（x，y）是構(gòu)成圖像的基本要素.

設問意圖：引入數(shù)與形結(jié)合的橋梁點（x，y）這個工具，為接下來的問題做好鋪墊.

問題2：（1）圖像的變化與點（x，y）的運動有關(guān)系嗎？

答：有.

（2）看圖像的實質(zhì)是看什么？

答：看點（x，y）的變化.

設問意圖：引導學生把構(gòu)成圖像的基本要素點（x，y）單列出來研究，這就為接下來的研究找準了方向.

問題3：能用定點（1，2）來刻畫圖像的運動變化嗎？

答：不能，因為1，2是常數(shù)，定點（1，2）不能刻畫圖像的運動變化.

設問意圖：引導學生用動點（x，y）來分析和刻畫圖像的運動變化.

問題4：（1）一個動點（x，y）能夠刻畫圖像的變化嗎？

答：不能.

（2）用三個動點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）能夠刻畫圖像變化嗎？

答：可以，但三個動點的刻畫相對較為復雜.

（3）那最好用幾個動點來刻畫圖像的運動變化？

答：兩個動點（x1，y1），（x2，y2）.

設問意圖：引導學生用動點來刻畫圖像，一個動點沒有比較，突出不了變化的特性.三個動點可以刻畫，但相互間的變化較為復雜.最好用兩個動點，這樣既可以刻畫變化，也可以形成比較.

問題5：（1）點（x，y）由哪些要素組成？

答：橫坐標x，縱坐標y.

（2）橫坐標x、縱坐標y都是數(shù)，那么能用數(shù)來刻畫圖像的變化嗎？

答：能.

設問意圖：引導學生從形的特性向數(shù)的方向轉(zhuǎn)移.

問題6：（1）點（x，y）的坐標體現(xiàn)的是幾維的思想？

答：二維，一維由x確定，另一維由y確定.

（2）能把二維降為一維來研究嗎？

答：能.

設問意圖：引導學生用消元降維的思想研究問題.

問題7：（1）點運動時，橫坐標x1，x2，縱坐標f（x1），f（x2）都是變數(shù)，對用數(shù)來刻畫圖像的變化會帶來困難.那你會想到哪些更好的方法？

答：固定兩個動點的橫坐標x1，x2，縱坐標f（x1），f（x2）中某一類量之間的大小，去研究另一類坐標間的大小關(guān)系.

（2）那固定哪個坐標？

答：習慣研究橫坐標x1，x2，那就固定橫坐標x1＜x2.

設問意圖：引導學生從已有的認知出發(fā)，讓學生體會從研究四個量x1，x2，f（x1），f（x2），到只需研究兩個量f（x1），f（x2），從研究橫縱坐標兩類量到只需研究縱坐標一類量的變化.

問題8：x1，x2是變化的，如何取x1，x2？

答：任取x1，x2∈D（D為定義域的子集）.

設問意圖：讓學生體會所取的x1，x2的變化應該用“任取”這兩個字來刻畫.

問題9：任取x1，x2∈D，且規(guī)定了x1，x2后，怎樣研究f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）呢？

答：采用f（x1）-f（x2）＜0或f（x1）-f（x2）＞0的方法.

設問意圖：讓學生體會定義中的兩個簡單不等關(guān)系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻畫了函數(shù)遞增或遞減的性質(zhì).這就是數(shù)學魅力！

問題10：怎樣完整地把以上想法用數(shù)學語言表達出來？

答：設函數(shù)y=f（x）定義域的子集為D，若對任意的x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），則f（x）為區(qū)間D上的增（減）函數(shù).

設問意圖：通過上述的問題，讓學生體會怎樣從已有的認知中提煉出增（減）函數(shù)的形式化定義.

問題11：定義中的關(guān)鍵詞語是哪些？

答：通過學生的分析討論得出以下幾個關(guān)鍵詞語：

（1）“定義域內(nèi)某個區(qū)間”.這里包含兩層意思：第一，函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論；第二，函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，否則無法討論其單調(diào)性.

（2）“任意兩個”和“都有”.就是說這里的x1，x2在給定區(qū)間上具有任意性，不能用特殊值來判斷函數(shù)的單調(diào)性（要特別強調(diào)），而且只要x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））恒成立.

設問意圖：讓學生正確地、深入地理解概念的關(guān)鍵.這教師應該啟發(fā)引導學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力.

問題12：你對數(shù)學化的過程還有那些需要補充和改正？

答：如果我們已知f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判斷函數(shù)值的大小，也可以有函數(shù)值的大小去判斷自變量的大小，即一般成立則特殊成立，反之不然.

設問意圖：讓學生體會辨證法中一般和特殊的關(guān)系.

（三）應用舉例——深化概念

例1人教A版必修1課本P29頁例1.

意圖：（1）會根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間；（2）明確區(qū)間的端點值不影響函數(shù)在這一區(qū)間上的單調(diào)性.

例2人教A版必修1課本P29例2.

問：怎樣用定義來證明呢？

要求：學生思索并動筆，教師不斷點撥啟發(fā)，最后師生共同完成（教師認真規(guī)范地板書證明過程，以對學生起到示范作用）.

意圖：通過此題解題達到以下要求：

（1）總結(jié)歸納出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）-f（x2）；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f（x1）-f（x2）的正負）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.（2）變式訓練：討論函數(shù)y=k為常數(shù)，且k≠0）.

意圖：通過變式訓練使學生認識到反比例函數(shù)的單調(diào)性決定于系數(shù)k，同時訓練了學生進行分類討論的重要數(shù)學思想.

（四）即時訓練——鞏固新知

（1）人教A版必修1課本P32練習第1、2、3、4題.

意圖：為了使學生達到對知識的深化理解，從而達到鞏固提高的效果，設計了一組即時訓練題，并且把課本的例題融入即時訓練題中，通過學生的觀察嘗試，討論研究，教師引導來鞏固新知識.

（五）總結(jié)反思——提高認識

由學生總結(jié)本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容：

函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖像判斷，再利用定義證明.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結(jié)論.

意圖：讓學生通過知識性內(nèi)容的小結(jié)，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì).

反思：設問要注意問題的關(guān)聯(lián)性，問題要緊扣知識的本質(zhì)規(guī)律設置，同時要兼顧學生的認知規(guī)律.問題間最好有層次與遞進關(guān)系，解答問題的同時應該起到知識積累的作用.

這種圖像用動點研究的思維有沒有生命力呢？

舉例：解關(guān)于x的不等式ax+b≥0.

畫出y=ax+b的圖像.

提問：①圖像變化與點運動有關(guān)系嗎？看圖像的實質(zhì)是看什么？（看點）

②點由哪些要素組成？（橫坐標、縱坐標）

③橫、縱坐標都是數(shù)，那么能用數(shù)來刻畫圖像的變化嗎？（能）

④點的坐標體現(xiàn)的是幾維的思想？（二維）

⑤能把二維降為一維來研究嗎？（能）

⑥解關(guān)于x的不等式，看圖像時是看什么坐標？（不等式大于或小于0，實質(zhì)是先看y的大小，然后把圖像上滿足y的變化的點往x軸方向做正投影，即可得到滿足不等式的x的值，從而可解出不等式）

上面解不等式的思路可推廣到更一般的（不等式對應函數(shù)的圖像可畫出）不等式.

以上，筆者僅從教材，學情，教法，學法，教學程序上以問題為導向，說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”.

1.中華人民共和國教育部.國家基礎教育課程改革綱要（試行）［N］.中國教育報，2001（7）.