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        基于風(fēng)險溢價視角的違約公司債券定價數(shù)學(xué)解析

        2015-11-19 06:05:57符號亮
        經(jīng)濟視野 2015年23期
        關(guān)鍵詞:公司債券溢價證券

        文 | 符號亮

        基于風(fēng)險溢價視角的違約公司債券定價數(shù)學(xué)解析

        文 | 符號亮

        本文對違約概率不同公司債券從風(fēng)險溢價理論解析,將公司債券價值表達(dá)成拋物型偏微分方程,所依賴?yán)?、波動性、債券支付等變量均可通過市場上觀測和計量估計得到,并得到債券風(fēng)險溢價是波動性和價值比率的函數(shù)。

        公司債券 違約風(fēng)險 風(fēng)險溢價

        理論回顧

        關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)理論和經(jīng)驗研究文獻(xiàn)已發(fā)表很多,歸結(jié)起來主要包括了純預(yù)期理論、流動性理論、期限偏好理論和市場分割理論。關(guān)于違約概率較大時的債券的定價理論沒有得到系統(tǒng)的發(fā)展,有必要從風(fēng)險溢價角度解釋債券期限結(jié)構(gòu)。本文嘗試要解決這個問題。

        公司債務(wù)定價的理論假設(shè)

        假設(shè)債券期限結(jié)構(gòu)既定,債券價格差別只取決于違約概率高低,做如下假設(shè):1.無交易成本,無稅收,投資者進(jìn)入無障礙;2.資產(chǎn)交易時間連續(xù)進(jìn)行;3.公司價值和資本結(jié)構(gòu)無關(guān);4.期限結(jié)構(gòu)固定已知。對承諾未來時刻τ支付1元無風(fēng)險貼現(xiàn)債券,價格為P(τ)=exp (-rτ) ,r為(瞬時)無風(fēng)險利率且不隨時間改變。5.整個時間上,公司價值動態(tài)可用擴散隨機過程描述,其隨機微分方程為dV=(αV-C)dt+σVdz,α是單位時間公司瞬時期望收益率。C若為正,表股息或利息;若為負(fù),則表公司從新融資中獲得凈收入。相應(yīng)的σ,表單位時間公司收益瞬時標(biāo)準(zhǔn)差。dz表標(biāo)準(zhǔn)高斯—維納過程。

        假定證券任意時點市場價值Y可寫成公司價值和時間的函數(shù),即為Y=F(V,t)。把這種證券價值動態(tài)寫成隨機微分方程形式:

        dY=(αyY-Cy)dt+σyYdzy(1)

        式中,αy為該證券單位時間瞬時期望收益率;Cy為單位時間對該證券的支付; σy為單位時間瞬時收益標(biāo)準(zhǔn)差;dzy為標(biāo)準(zhǔn)高斯—維納過程。

        然而,給定Y=F(V,t)時,(1)式中αy,σy,dzy與假設(shè)5中所定義相應(yīng)變量α,σ,dz之間存顯函數(shù)關(guān)系。根據(jù)伊藤引理和假設(shè)5,可把Y動態(tài)寫成(下標(biāo)表偏導(dǎo)數(shù)):

        可違約公司債務(wù)定價

        現(xiàn)在我們構(gòu)造一個三證券投資組合,包括公司、特定證券和無風(fēng)險債務(wù),使投資組合總投資為零。利用賣空收益和借款對多頭進(jìn)行融資,就可得到該投資組合。令W1表示該投資組合投資與公司瞬時貨幣量,W2表示投資于證券貨幣量,W3[=-(W1+W2)]為投資于無風(fēng)險債務(wù)貨幣量。若dx表投資組合瞬時收益,則有(3c)式,有:

        方程(7)是F的拋物型偏微分方程。如果證券價值為公司價值和時間的函數(shù),則該方程一定滿足(7)式。

        F除了是公司價值和時間的函數(shù)外,它還依賴?yán)?、公司價值波動性、公司支付策略以及對證券持有者所承諾支付策略。給定利率和當(dāng)前公司價值,盡管兩個投資者效用函數(shù)不同,對公司未來期望不同,只要對公司價值波動率認(rèn)識一致,則可對特定證券價值F的認(rèn)識就相同。

        風(fēng)險貼現(xiàn)債券定價

        應(yīng)用前面公式,我們研究一個簡單公司債務(wù)定價。假設(shè)公司存在兩類型權(quán)益:(A)單一同質(zhì)債務(wù);(B)公司股權(quán),即剩余索償權(quán)。其中債券發(fā)行條款中有如下條款:①公司承諾在特定日期T,共支付給債券持有者B元;②如果不能支付,債權(quán)人可以立即接管公司,且股東沒有任何收益;③公司不能發(fā)行任何新的優(yōu)先和同等級別權(quán)益,也不能在債務(wù)到期前支付現(xiàn)金股息以及回購股份。

        因不支付利息,有Cy=0;根據(jù)條件(3),有C=0;此外,τ=T-t表距離到期日時間長度,得Ft=-Fτ。為得到債務(wù)價值,求解(7)式的兩個邊界條件可通過債權(quán)發(fā)行條款和債務(wù)責(zé)任條款得到。根據(jù)定義,V=F(V,τ)+f(V,τ) ,f表公司股權(quán)價值。因F和f只能取非負(fù)值,則有:

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