文 | 符號亮

基于風(fēng)險溢價視角的違約公司債券定價數(shù)學(xué)解析

文 | 符號亮

本文對違約概率不同公司債券從風(fēng)險溢價理論解析，將公司債券價值表達(dá)成拋物型偏微分方程，所依賴?yán)?、波動性、債券支付等變量均可通過市場上觀測和計量估計得到，并得到債券風(fēng)險溢價是波動性和價值比率的函數(shù)。

公司債券 違約風(fēng)險 風(fēng)險溢價

理論回顧

關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)理論和經(jīng)驗研究文獻(xiàn)已發(fā)表很多，歸結(jié)起來主要包括了純預(yù)期理論、流動性理論、期限偏好理論和市場分割理論。關(guān)于違約概率較大時的債券的定價理論沒有得到系統(tǒng)的發(fā)展，有必要從風(fēng)險溢價角度解釋債券期限結(jié)構(gòu)。本文嘗試要解決這個問題。

公司債務(wù)定價的理論假設(shè)

假設(shè)債券期限結(jié)構(gòu)既定，債券價格差別只取決于違約概率高低，做如下假設(shè)：1.無交易成本，無稅收，投資者進(jìn)入無障礙；2.資產(chǎn)交易時間連續(xù)進(jìn)行；3.公司價值和資本結(jié)構(gòu)無關(guān)；4.期限結(jié)構(gòu)固定已知。對承諾未來時刻τ支付1元無風(fēng)險貼現(xiàn)債券，價格為P（τ）=exp （-rτ） ，r為（瞬時）無風(fēng)險利率且不隨時間改變。5.整個時間上，公司價值動態(tài)可用擴散隨機過程描述，其隨機微分方程為dV=（αV-C）dt+σVdz，α是單位時間公司瞬時期望收益率。C若為正，表股息或利息；若為負(fù)，則表公司從新融資中獲得凈收入。相應(yīng)的σ，表單位時間公司收益瞬時標(biāo)準(zhǔn)差。dz表標(biāo)準(zhǔn)高斯—維納過程。

假定證券任意時點市場價值Y可寫成公司價值和時間的函數(shù)，即為Y=F（V，t）。把這種證券價值動態(tài)寫成隨機微分方程形式：

dY=（αyY-Cy）dt+σyYdzy（1）

式中，αy為該證券單位時間瞬時期望收益率；Cy為單位時間對該證券的支付； σy為單位時間瞬時收益標(biāo)準(zhǔn)差；dzy為標(biāo)準(zhǔn)高斯—維納過程。

然而，給定Y=F（V，t）時，（1）式中αy，σy，dzy與假設(shè)5中所定義相應(yīng)變量α，σ，dz之間存顯函數(shù)關(guān)系。根據(jù)伊藤引理和假設(shè)5，可把Y動態(tài)寫成（下標(biāo)表偏導(dǎo)數(shù)）：

可違約公司債務(wù)定價

現(xiàn)在我們構(gòu)造一個三證券投資組合，包括公司、特定證券和無風(fēng)險債務(wù)，使投資組合總投資為零。利用賣空收益和借款對多頭進(jìn)行融資，就可得到該投資組合。令W1表示該投資組合投資與公司瞬時貨幣量，W2表示投資于證券貨幣量，W3［=-（W1+W2）］為投資于無風(fēng)險債務(wù)貨幣量。若dx表投資組合瞬時收益，則有（3c）式，有：

方程（7）是F的拋物型偏微分方程。如果證券價值為公司價值和時間的函數(shù)，則該方程一定滿足（7）式。

F除了是公司價值和時間的函數(shù)外，它還依賴?yán)?、公司價值波動性、公司支付策略以及對證券持有者所承諾支付策略。給定利率和當(dāng)前公司價值，盡管兩個投資者效用函數(shù)不同，對公司未來期望不同，只要對公司價值波動率認(rèn)識一致，則可對特定證券價值F的認(rèn)識就相同。

風(fēng)險貼現(xiàn)債券定價

應(yīng)用前面公式，我們研究一個簡單公司債務(wù)定價。假設(shè)公司存在兩類型權(quán)益：（A）單一同質(zhì)債務(wù)；（B）公司股權(quán)，即剩余索償權(quán)。其中債券發(fā)行條款中有如下條款：①公司承諾在特定日期T，共支付給債券持有者B元；②如果不能支付，債權(quán)人可以立即接管公司，且股東沒有任何收益；③公司不能發(fā)行任何新的優(yōu)先和同等級別權(quán)益，也不能在債務(wù)到期前支付現(xiàn)金股息以及回購股份。

因不支付利息，有Cy=0；根據(jù)條件（3），有C=0；此外，τ=T-t表距離到期日時間長度，得Ft=-Fτ。為得到債務(wù)價值，求解（7）式的兩個邊界條件可通過債權(quán)發(fā)行條款和債務(wù)責(zé)任條款得到。根據(jù)定義，V=F（V，τ）+f（V，τ） ，f表公司股權(quán)價值。因F和f只能取非負(fù)值，則有：