黃汝平

（福建省龍巖市高級中學(xué) 福建龍巖 364000）

知其然，又知所以然
——對《形同質(zhì)別的不等式恒成立與有解問題分析》補充

黃汝平

（福建省龍巖市高級中學(xué) 福建龍巖 364000）

不等式恒成立與有解問題是高考的熱點，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.怎樣在理解的基礎(chǔ)上，掌握其解決方法，是突破這個難點關(guān)鍵所在.否則易混淆、易錯.因而需對問題的本質(zhì)提示，區(qū)別各問題異同點.文中通過舉例說明，幫助學(xué)生理解解題原理，再結(jié)合變式訓(xùn)練，使得學(xué)生切實理解并掌握.

熱點 難點 原理 恒成立 有解

不等式恒成立與有解問題是高考的熱點，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.有關(guān)這一問題的文章很多.文［1］中就不等式恒成立與有解問題，通過一個問題，比較系統(tǒng)歸納了五種有關(guān)不等式恒成立與有解的常見類型，并給予解法分析，同時得出了兩個結(jié)論，最后再舉了兩個例子來說明，使學(xué)生對此問題有個清晰的認(rèn)識，知道該怎么做，稱之為知其然.本文想對此問題作個補充，不妨當(dāng)作變式訓(xùn)練，記為變式1、2、3，并對這八個類型問題談?wù)勛约旱恼J(rèn)識， 為了讓讀者便于閱讀和思考，仍以文［1］中所提出的問題加以說明，使學(xué)生明白為什么可以這樣，可謂知所以然.

解法一.此類問題若能將參數(shù)k與x分離，一般首選分離參數(shù)法

解法二.若參數(shù)k與x不易分離，當(dāng) ］3，3［-∈x 時，轉(zhuǎn)化為

而第二類就比較不好理解，尤其是問題（4）、變式1和變式3.前面談到變式1是指時，函數(shù)與的圖像有交點即自變量相同，函數(shù)值相同.而卻不是，如圖1，若作一條與y軸垂直的直線l，當(dāng)l同時與函數(shù)與函數(shù)的圖像有交點，則方程有解，否則無解.從集合角度看，函數(shù)的值域A與函數(shù)的值域B交集應(yīng)滿足.對于第二類問題其實質(zhì)是研究集合A與B的關(guān)系.利用數(shù)軸能形象刻畫它們二者的關(guān)系.在實際教學(xué)中，若能借助幾何畫板變換函數(shù)的圖象效果會更好.我認(rèn)為把滿足這一條件，看成兩圖像有一樣“高”的時候.那么滿足看成“高矮“比較，學(xué)生會覺得形象、直觀.在數(shù)軸上體現(xiàn)就是集合A與B關(guān)系.再看問題（4）： 若對于任意總存在使得成立，就好理解為什么據(jù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識先求出變式3： 若存在使得成立.可先研究此時通過容易得到或用補集法可得所求k的取值范圍

圖1

同學(xué)們可將上述的八個問題看成解這兩類問題的原理，再舉幾個實例，供同學(xué)們參考.

分析與略解：（Ⅰ）略

解：（1）略

［1］鄭一平.形同質(zhì)別的不等式恒成立與有解問題分析.數(shù)學(xué)通訊.2010（7）

黃汝平，中學(xué)高級教師，連續(xù)多年被評為"優(yōu)秀班主任"，發(fā)表論文多篇.