劉少偉，關(guān)嬌，王潔，舒濤，馮剛

（1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安710051；2.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安710077）

具有橫向供應(yīng)策略的可維修備件兩級(jí)庫(kù)存模型

劉少偉1，關(guān)嬌2，王潔1，舒濤1，馮剛1

（1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安710051；2.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安710077）

在裝備可維修備件的多級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)中增加橫向供應(yīng)策略，將傳統(tǒng)的樹(shù)狀備件供應(yīng)模式扁平化，可以大大縮短備件平均延誤時(shí)間。在此背景下進(jìn)行多級(jí)可維修備件的庫(kù)存研究，建立具有橫向供應(yīng)策略的可維修備件兩級(jí)庫(kù)存模型，利用M/M/∞排隊(duì)系統(tǒng)評(píng)估備件滿足率、橫向供應(yīng)概率和缺貨概率等重要參數(shù)，設(shè)計(jì)啟發(fā)式算法進(jìn)行備件優(yōu)化配置。算例結(jié)果表明，引入橫向供應(yīng)策略后可維修備件兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)的保障總費(fèi)用能夠降低39.4%.

運(yùn)籌學(xué)；可維修備件；橫向供應(yīng)；兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)

0 引言

如何對(duì)裝備可維修備件庫(kù)存配置進(jìn)行科學(xué)的優(yōu)化決策，尋求裝備可維修備件保障費(fèi)用與裝備戰(zhàn)備完好性之間的最佳平衡是裝備維修保障研究中的一個(gè)重要課題。對(duì)于多級(jí)庫(kù)存模型，Sherbrooke于1968年建立了METRIC模型，該模型是多級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)的首次應(yīng)用［1］；文獻(xiàn)［2］提出了兩參數(shù)近似模型，稱為VARI-METRIC模型，與METRIC模型不同的是，該模型假設(shè)基層級(jí)尚未交付的備件申請(qǐng)量服從兩參數(shù)的負(fù)二項(xiàng)分布；文獻(xiàn)［3］提出了一個(gè)單項(xiàng)備件的兩級(jí)庫(kù)存模型；文獻(xiàn)［4］提出了基地級(jí)和基層級(jí)運(yùn)輸時(shí)間可以隨機(jī)產(chǎn)生的兩級(jí)備件庫(kù)存模型。文獻(xiàn)［1-4］為多級(jí)庫(kù)存模型理論奠定了基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［5］提出了以備件平均延誤時(shí)間為服務(wù)水平的兩級(jí)庫(kù)存模型，該模型針對(duì)的是不可維修備件；文獻(xiàn)［6］提出了類似文獻(xiàn)［5］的兩級(jí)庫(kù)存模型，考慮了緊急供應(yīng)策略，使所有倉(cāng)庫(kù)不出現(xiàn)缺貨情況，降低了庫(kù)存參數(shù)計(jì)算難度；文獻(xiàn)［7］分析了多個(gè)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)存模型，模型中引入橫向供應(yīng)策略，但屬于單級(jí)模型；文獻(xiàn)［8-12］針對(duì)多級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)，以總保障費(fèi)用最小為目標(biāo)，對(duì)基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)和基層倉(cāng)庫(kù)的備件庫(kù)存優(yōu)化配置進(jìn)行研究，但是沒(méi)有考慮庫(kù)存系統(tǒng)的備件保障平均延誤時(shí)間，所以不能很好地解決以備件延誤時(shí)間為服務(wù)水平的庫(kù)存優(yōu)化配置問(wèn)題。國(guó)內(nèi)對(duì)具有橫向供應(yīng)的庫(kù)存系統(tǒng)也做了一些探索性的研究工作，文獻(xiàn)［13］通過(guò)分析穩(wěn)定狀態(tài)下庫(kù)存水平的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，建立了基于庫(kù)存穩(wěn)態(tài)概率的可維修備件多點(diǎn)轉(zhuǎn)運(yùn)庫(kù)存模型，文獻(xiàn)［14］結(jié)合相關(guān)時(shí)間和費(fèi)用指標(biāo)建立了具有橫向供應(yīng)的備件庫(kù)存模型。

從國(guó)內(nèi)外關(guān)于備件庫(kù)存系統(tǒng)的研究成果來(lái)看，國(guó)外文獻(xiàn)的研究對(duì)象主要是商業(yè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)，相關(guān)研究較多，而國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)很少涉及基于METRIC模型或者M(jìn)ETRIC擴(kuò)展模型的可維修備件多級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)研究，關(guān)于具有橫向供應(yīng)策略的多級(jí)庫(kù)存研究更為少見(jiàn)，大多數(shù)涉及橫向供應(yīng)的研究成果沒(méi)有考慮延遲橫向供應(yīng)的情況，屬于單級(jí)模型。本文結(jié)合現(xiàn)有的裝備保障模式，建立了可維修備件兩級(jí)庫(kù)存模型，模型中允許基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)之間的橫向供應(yīng)，考慮延遲橫向供應(yīng)，利用M/M/∞排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)備件滿足率、橫向供應(yīng)概率和缺貨概率等重要參數(shù)進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)設(shè)計(jì)啟發(fā)式優(yōu)化算法，確定滿足所有基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)備件平均延誤時(shí)間允許下的最低備件保障總費(fèi)用和各種備件在基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)和各基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的最佳目標(biāo)庫(kù)存水平。

1 數(shù)學(xué)模型

本文研究的兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)的備件具體供應(yīng)過(guò)程為:當(dāng)裝備發(fā)生故障時(shí)，由所屬的基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)進(jìn)行備件供應(yīng)，并向基地級(jí)提出備件申請(qǐng)，同時(shí)將故障部件送基地級(jí)維修中心進(jìn)行修理；如果所屬基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)沒(méi)有所需備件，由同級(jí)其他倉(cāng)庫(kù)進(jìn)行橫向供應(yīng)，并由實(shí)施橫向供應(yīng)的基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)提出備件申請(qǐng)；如果同級(jí)的所有倉(cāng)庫(kù)都沒(méi)有所需備件時(shí)，由基地級(jí)供應(yīng)所需備件；如果基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)也沒(méi)有所需備件，就只好等待有故障部件被修理好再進(jìn)行供應(yīng)。同時(shí)，基地級(jí)維修中心修理好的故障備件被送到基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)存儲(chǔ)。

1.1 備件滿足率、橫向供應(yīng)概率及缺貨概率

本文研究的庫(kù)存系統(tǒng)執(zhí)行連續(xù)檢查的（S-1， S）庫(kù)存策略，當(dāng)備件需求由橫向供應(yīng)滿足時(shí)，橫向供應(yīng)概率用α表示；當(dāng)備件需求由正常供應(yīng)滿足時(shí)，備件滿足率由β表示；當(dāng)備件需求由于所有基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)都缺貨暫不能滿足時(shí)，缺貨概率由θ表示，以下介紹α、β和θ的求解方法。

將所有基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)看作一個(gè)庫(kù)存群，庫(kù)存群中備件i（i∈I，I為所有可維修備件的集合）的需求服從參數(shù)為λi0的泊松分布，針對(duì)庫(kù)存群的備件供應(yīng)時(shí)間服從平均值為L(zhǎng)i的指數(shù)分布，假設(shè)基地級(jí)修理中心的維修服務(wù)臺(tái)無(wú)限，根據(jù)Palm定理［15］，庫(kù)存群中尚未交付的備件申請(qǐng)量Qi（Si0）服從參數(shù)為λi0Li的泊松分布，即

基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)對(duì)庫(kù)存群的備件平均供應(yīng)時(shí)間Li表達(dá)為

式中:Ti為基地級(jí)對(duì)庫(kù)存群中備件i運(yùn)輸時(shí)間；Wi0為備件i的平均延誤時(shí)間；為備件i在基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)平均庫(kù)存為Si0時(shí)的期望缺貨水平。

對(duì)于每個(gè)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)中的每一項(xiàng)備件，都可以建立多個(gè)服務(wù)臺(tái)的M/M/∞排隊(duì)系統(tǒng)。針對(duì)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)j（j∈J，J為基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的集合）中備件i的M/ M/∞排隊(duì)系統(tǒng)有以下特性:

1）系統(tǒng)在任一時(shí)間的狀態(tài)是倉(cāng)庫(kù)中備件在該時(shí)刻的庫(kù)存量，庫(kù)存量不超過(guò)目標(biāo)庫(kù)存水平Sij.

2）當(dāng)狀態(tài)量為正值或0時(shí)，需求率為uij；當(dāng)狀態(tài)量為負(fù)值時(shí)，需求率為vij.

3）備件正常供應(yīng)時(shí)間為Tij（Tij=1/μij），對(duì)于允許延遲橫向供應(yīng)的情況，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為1時(shí)，備件供應(yīng)率為為來(lái)自倉(cāng)庫(kù)j向其他倉(cāng)庫(kù)橫向供應(yīng)備件i的延遲橫向供應(yīng)概率；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為0或負(fù)值時(shí)，在原來(lái)總服務(wù)率的基礎(chǔ)上增加延遲供應(yīng)倉(cāng)庫(kù)j中備件i的橫向供應(yīng)率所謂延遲橫向供應(yīng)，指如果某一基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存為0，此時(shí)有對(duì)該倉(cāng)庫(kù)的備件補(bǔ)充，備件將通過(guò)橫向供應(yīng)滿足缺貨倉(cāng)庫(kù)（庫(kù)存為負(fù)），該倉(cāng)庫(kù)備件補(bǔ)充延遲進(jìn)行。

4）備件需求過(guò)程和備件正常供應(yīng)時(shí)間均是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。圖1是允許延遲橫向供應(yīng)的M/M/∞排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)傳遞圖。

圖1 允許延遲橫向供應(yīng)的M/M/∞排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)傳遞圖Fig.1 The state-transition diagram of M/M/∞queueing system on delayed lateral transshipments

下面分析具有橫向供應(yīng)策略時(shí)倉(cāng)庫(kù)j中備件i的需求率，當(dāng)狀態(tài)量為正值時(shí)，備件需求率由兩部分組成，第一部分為倉(cāng)庫(kù)j中備件i的正常需求率λij，另一部分為倉(cāng)庫(kù)j有備件i時(shí)向其他倉(cāng)庫(kù)的橫向供應(yīng)率

倉(cāng)庫(kù)j向其他倉(cāng)庫(kù)的橫向供應(yīng)也就是其他倉(cāng)庫(kù)的橫向供應(yīng)備件需求，因此λ′ij可以用（4）式進(jìn)行求解:

即

式中:R（j，k）表示比基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)k更優(yōu)先供應(yīng)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)j的所有倉(cāng)庫(kù)集合。如果R（j，k）=?，定義

橫向供應(yīng)率的計(jì)算方法仍以上例說(shuō)明。如果備件庫(kù)存為0的倉(cāng)庫(kù)1有備件補(bǔ)充時(shí)，就將該備件供應(yīng)給倉(cāng)庫(kù)2，前提條件是倉(cāng)庫(kù)2缺貨，如果倉(cāng)庫(kù)2庫(kù)存為0而倉(cāng)庫(kù)3缺貨，就將該備件供應(yīng)給倉(cāng)庫(kù)3.另外，當(dāng)倉(cāng)庫(kù)1缺貨時(shí)，可以由倉(cāng)庫(kù)2或倉(cāng)庫(kù)3進(jìn)行延遲供應(yīng)。如果由倉(cāng)庫(kù)2延遲供應(yīng)時(shí)，只需倉(cāng)庫(kù)2庫(kù)存為0；如果由倉(cāng)庫(kù)3延遲供應(yīng)時(shí)，倉(cāng)庫(kù)2和倉(cāng)庫(kù)3的庫(kù)存都應(yīng)為0.那么來(lái)自倉(cāng)庫(kù)1的延遲橫向供應(yīng)概率為:.另外，當(dāng)倉(cāng)庫(kù)1缺貨時(shí)，可以由倉(cāng)庫(kù)2或倉(cāng)庫(kù)3進(jìn)行延遲供應(yīng)。如果由倉(cāng)庫(kù)2延遲供應(yīng)時(shí)，只需倉(cāng)庫(kù)2庫(kù)存為0；如果由倉(cāng)庫(kù)3延遲供應(yīng)時(shí)，倉(cāng)庫(kù)2和倉(cāng)庫(kù)3的庫(kù)存都應(yīng)為0.因此延遲供應(yīng)倉(cāng)庫(kù)1的橫向供應(yīng)率為:.

推廣到一般情況，去掉代表備件項(xiàng)的上標(biāo)或者下標(biāo)“i”，倉(cāng)庫(kù)j的延遲橫向供應(yīng)概率為

延遲供應(yīng)倉(cāng)庫(kù)j的橫向供應(yīng)率ηj為

式中:r（j，k）表示對(duì)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)j進(jìn)行橫向供應(yīng)時(shí)，在橫向供應(yīng)源排序中處于第k個(gè)的基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)；表示倉(cāng)庫(kù)j持有備件i庫(kù)存量為l的穩(wěn)態(tài)概率。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為0或負(fù)值時(shí)，如果此時(shí)備件i有需求，不能夠直接供應(yīng)，只能面臨兩種選擇:缺貨或者靠庫(kù)存群內(nèi)其他倉(cāng)庫(kù)橫向供應(yīng)。那么有橫向供應(yīng)策略的情況下，引起缺貨量增加的備件需求率vij為

式中:θi表示備件i的需求由于所有基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)都缺貨暫不能滿足的概率。

由于允許延遲橫向供應(yīng)，只有在所有基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)備件庫(kù)存量均為0或負(fù)值時(shí)庫(kù)存群才會(huì)出現(xiàn)缺貨，那么庫(kù)存群備件i的缺貨概率為

步驟1 根據(jù)（12）式確定庫(kù)存群備件i的缺貨概率θi.

步驟3 對(duì)于每一個(gè)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)j，如果Sij＞0，根據(jù)（11）式計(jì)算如果Sij=0，

步驟4 重復(fù)執(zhí)行步驟3，直到兩次迭代過(guò)程中所有基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的誤差均滿足δ＜0.001，輸出此時(shí)各基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的和θi，算法停止。

1.2 備件期望庫(kù)存水平與期望缺貨水平

1.2.1 基地級(jí)備件期望庫(kù)存水平和缺貨水平

式中:Ri為基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)可維修備件i的平均修理時(shí)間。

1.2.2 基層級(jí)備件期望庫(kù)存水平和缺貨水平

庫(kù)存群中備件i的期望缺貨水平為

庫(kù)存群中備件i的期望庫(kù)存水平為

基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)j中備件i的期望缺貨水平為

基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)j中備件i的期望庫(kù)存水平為

1.3 數(shù)學(xué)描述

單位時(shí)間內(nèi)兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)所有備件的備件保障總費(fèi)用為期望庫(kù)存持有費(fèi)用與橫向供應(yīng)費(fèi)用之和，即

式中:hi為單位備件i在單位時(shí)間內(nèi)的庫(kù)存持有費(fèi)用；為備件i的橫向供應(yīng)運(yùn)輸管理費(fèi)用。

解決的問(wèn)題為

針對(duì)以上問(wèn)題，設(shè)計(jì)貪婪算法求解。算法中備件延誤時(shí)間相對(duì)最大允許延誤時(shí)間的減小量ΔWuv和備件保障費(fèi)用增加量ΔCuv表達(dá)式如下:

式中:u∈I，v∈J；euv表示倉(cāng)庫(kù)v中備件u有1個(gè)單位庫(kù)存量，其他所有倉(cāng)庫(kù)所有備件庫(kù)存為0；C（S）為基地級(jí)庫(kù)存水平和基層級(jí)庫(kù)存水平確定的情況下總的備件保障費(fèi)用。在所有組合中搜索費(fèi)用增加幅度最小、對(duì)應(yīng)備件延遲時(shí)間減小幅度最大的情況，最終得到基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)的最優(yōu)目標(biāo)庫(kù)存水平和各基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的最優(yōu)目標(biāo)庫(kù)存水平

2 應(yīng)用舉例

假設(shè)兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)中有一個(gè)基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)，5個(gè)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)，其中倉(cāng)庫(kù)0代表基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)1、2、3、4、5代表5個(gè)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)。共有20項(xiàng)備件，不同基層級(jí)中每項(xiàng)備件的需求率見(jiàn)表1，每項(xiàng)備件的庫(kù)存持有費(fèi)用見(jiàn)表2.備件在基地級(jí)的平均修理時(shí)間為4 d，從基地級(jí)倉(cāng)庫(kù)到各基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)的運(yùn)輸時(shí)間為2 d.橫向供應(yīng)時(shí)間均為0.1 d，橫向供應(yīng)費(fèi)用均為150元，備件需求最大允許延誤時(shí)間為0.05 d.橫向供應(yīng)源的選擇順序?yàn)?當(dāng)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)1需要橫向供應(yīng)時(shí)，供應(yīng)源排序?yàn)閞2＞r3＞r4＞r5；當(dāng)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)2需要橫向供應(yīng)時(shí)，供應(yīng)源排序?yàn)閞1＞r3＞r5＞r4；當(dāng)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)3需要橫向供應(yīng)時(shí)，供應(yīng)源排序?yàn)閞5＞r1＞r2＞r4；當(dāng)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)4需要橫向供應(yīng)時(shí)，供應(yīng)源排序?yàn)閞5＞r2＞r1＞r3；當(dāng)基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)5需要橫向供應(yīng)時(shí)，供應(yīng)源排序?yàn)閞3＞r4＞r2＞r1.

表1 備件在不同基層級(jí)倉(cāng)庫(kù)中的需求率（個(gè)/d）Tab.1 Demand rate of spare parts in different organizational-level depots（unit/day）

表2 備件的庫(kù)存持有費(fèi)用（元/（個(gè)·d））Tab.2 Inventory holding cost of spare parts（yuan/unit/day）

通過(guò)計(jì)算得到備件滿足率、橫向供應(yīng)概率和缺貨概率以及備件期望庫(kù)存水平、期望缺貨水平，利用貪婪算法得到各倉(cāng)庫(kù)最優(yōu)目標(biāo)庫(kù)存水平見(jiàn)表3.

表3 各倉(cāng)庫(kù)各備件目標(biāo)庫(kù)存值（個(gè)）Tab.3 Stock level of spare parts in different depots（unit）

表3中“，”左側(cè)為有橫向供應(yīng)時(shí)的備件數(shù)量，“，”右側(cè)為無(wú)橫向供應(yīng)時(shí)的備件數(shù)量，對(duì)應(yīng)的備件保障總費(fèi)用分別為19 613元和32 360元。

從本算例可以看出，有橫向供應(yīng)策略比無(wú)橫向供應(yīng)策略的最低保障費(fèi)用減少了12 747元，費(fèi)用降低的幅度為39.4%.可見(jiàn)在可維修備件兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)中，橫向供應(yīng)策略是降低備件保障總費(fèi)用的有效手段。

3 結(jié)論

本文結(jié)合可維修備件保障的保障流程，建立具有橫向供應(yīng)策略的兩級(jí)多項(xiàng)可維修備件庫(kù)存模型，利用系統(tǒng)方法進(jìn)行可維修備件多級(jí)庫(kù)存模型研究，重點(diǎn)給出了備件滿足率、橫向供應(yīng)概率和缺貨概率的近似求解方法，同時(shí)確定了具有橫向供應(yīng)策略系統(tǒng)中的兩個(gè)重要的備件保障效能指標(biāo):期望庫(kù)存水平和期望缺貨水平，特定的算例表明，在相同的服務(wù)水平約束下，與無(wú)橫向供應(yīng)策略的兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)相比，具有橫向供應(yīng)策略的兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)的備件保障費(fèi)用有大幅下降。本文將傳統(tǒng)的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)備件保障模式扁平化，強(qiáng)調(diào)同級(jí)庫(kù)存間的資源共享，為部隊(duì)裝備保障人員制定合理的備件方案提供一定的決策依據(jù)。

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Research on Two-echelon Spare Parts Inventory Systems with Lateral Transshipments

LIU Shao-wei1，GUAN Jiao2，WANG Jie1，SHU Tao1，F(xiàn)ENG Gang1
（1.Missile Institute，Air Force Engineer University，Xi'an 710051，Shaanxi，China；2.Telecommunication Engineer Institute，Air Force Engineer University，Xi'an 710077，Shaanxi，China）

Multi-echelon spare parts inventory systems with lateral transshipments make the traditional tree-like supply mode become a flat structure，which can shorten the average waiting time of spare parts. The multi-echelon spare parts inventory system is analyzed to build a multi-echelon spare parts inventory model with lateral transshipments，and the related important parameters，including spare fill rate，lateral transshipment probability and probability of shortage，are evaluated based on M/M/∞queue model.A heuristic algorithm is used to minimize system-wide spare parts.The experiment shows that the two-echelon support cost with lateral supply can be reduced by 39.4%by introducing the lateral supply strategy.

operations research；repairable spare part；lateral transshipment；two echelon inventory system

TJ762111

A

1000-1093（2015）07-1334-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.024

2014-10-15

劉少偉（1979—），男，講師，博士。E-mail:lsw3721@163.com