閆麗

摘 要：線性代數是工科數學的一門主要課程，但它作為一門獨立課程教學的歷史并不長，需要調整、完善的地方還很多。

關鍵詞：工科線性代數；課程內容；體系；定義

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）19-013-02

線性代數是工科高等院校各專業(yè)的一門重要基礎課程，但線性代數作為一門獨立課程教學的歷史并不長，20世紀80年代中后期，一些大學才把線性代數作為工程數學的一門獨立課程。近年來，一方面由于線性代數在信息工程、工程計算中的大量使用；另一方面隨著素質教育的全面開展，線性代數成為對大學生進行數學思維、數學方法教育的一種手段，人們對線性代數越來越重視，對線性代數一些傳統(tǒng)教學內容、數學概念（定義）、授課方式的探索、調整和完善不斷深入。筆者結合多年教學經驗，談一些線性代數課程的教學體會。

1、目前，國內較多的工科線性代數教材內容安排是：行列式 矩陣 n維向量及向量空間 線性方程組 特征值與特征向量（相似、對角化） 二次型。也有少數一些教材內容安排是：線性方程組的消元解法 矩陣 行列式（含矩陣的秩、逆矩陣等） n維向量與方程組解的結構 特征值與特征向量（相似、對角化） 二次型。第二種內容安排，考慮主要到矩陣是貫穿線性代數的主要內容，行列式的經典定義對初學者又較難接受，所以先講矩陣，后講行列式，但因傳統(tǒng)的矩陣的秩等定義和定理，又是由行列式來定義或證明的，故矩陣的秩、逆矩陣等仍放在行列式后面講授，這樣一來，矩陣的內容，就被行列式的內容割裂開來，使得本來就以“塊”與“塊”拼接的、松散的課程結構變得更加缺乏內在統(tǒng)一性，易使學生產生混亂，所以筆者傾向于第一種教材內容安排。

2、毋庸置疑，具有較強抽象性與邏輯性是線性代數的課程特色；線性空間與線性變換是線性代數學科的基本理論核心，線性空間與線性變換內容的教學有利于對大學生數學思維和數學能力的培養(yǎng)，可實際情況是，大學生在學習線性代數時，由于他們的相關預備知識不足；還不具備在抽象化過程中的批判眼光以及對事物的共同特征加以一般化和統(tǒng)一化的演繹能力；特別是線性代數這種形式化理論帶來的統(tǒng)一化、一般化和簡單化的好處，他們還不能理解，因此在學習過程中普遍感到難度較大，如果這時一味地強調線性代數的課程特色，以線性空間與線性變換為課程主線，勢必會加大學生學習難度，甚至使學生產生厭學情緒，筆者認為線性代數教學突出矩陣理論及其運算這條主線更適合工科學生的實際情況和專業(yè)需求，更有利于激發(fā)學生的學習興趣，而學生的抽象思維能力和數學思想也可以通過這樣的過程得到培養(yǎng)。我們現(xiàn)行的一些教材和教學也是這樣做的。

3、經典的行列式的定義利用了逆序數，其優(yōu)點是具體，而且由此證明行列式的性質也不難，但在教學過程中，學生對逆序數的概念都不那么容易搞明白，行列式的定義就更難接受了。筆者比較傾向于用歸納法定義行列式，即：

當 時， ；

當 時，

；

當 時，

，

其中 是 的代數余子式。

顯然，和行列式的經典定義相比，這樣定義的行列式學生更容易接受和掌握。利用此定義及定理：行列式與展開的行（列）無關（李懋和等編著的《線性代數》（兵器工業(yè)出版社，2004）對此定理進行了證明），證明行列式的性質也不難。當然，如果行列式的性質不用證明，這樣的行列式定義就更簡單了。

4、借助行列式所定義的矩陣的秩，也是讓學生接受起來感到困難的概念，并且這種定義主要用于某些定理及其推論的證明，而求矩陣的秩通常并不用定義而是用矩陣的初等變換。如果利用與矩陣等價的標準形中1的個數來定義矩陣的秩，問題就變得簡單多了，學生也易于掌握。當然，這里需要證明一個矩陣的等價標準形是唯一的，運用反證法和分塊矩陣的知識，即可得到證明。以下給出證明過程：

價于 ，但由 的上面表示式知 至少有一列為零，矛盾。故 ，推出 的等價標準形唯一。

5、長期以來，我國線性代數教材絕大多數屬于傳統(tǒng)“塊”狀體系，行列式、矩陣、線性方程組解的存在性、解的結構，向量組的線性相關與無關，二次型、特征值等等，擺放在學生面前的每一“塊”，都是一個新的開始，需要學生從頭認識，熟悉起來，特別是每一“塊”在描述它的對象時往往要使用幾種語言和若干不同記法，而在這些語言和記法之間存在著不同思維模式的轉換，無疑這些都是導致學生感到困難的重要因素，因此，在進行每一“塊”教學時，恰當地選擇好切入點，直接關系到教學的效果，如行列式可以以二元線性方程組為切入點；幾何向量是線性空間的極好模型，從2維、3維幾何空間開始（強調其有關運算的性質），再到 維向量空間；矩陣及其初等變換是從用消元法解線性方程組過程中抽取出來的，由這些學生們熟悉的模型，而引入或展開新的知識，會讓學生比較容易接受。

目前，工科院校線性代數課程教學還存在著許多需要提高和完善的地方，制訂一種以公理化為基礎，使大學生較為容易接受的線性代數課程體系和教學方法，是我們每位任課教師的共同責任。

參考文獻：

[1] 游 宏.關于工科線性代數課程教學的幾點思考。大學數學課程報告論壇論文集，2009.