秦 晨，張偉仁

（1.新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830054；2.武警烏魯木齊指揮學(xué)院教研部，新疆烏魯木齊830049）

剛體平動和剛體定軸轉(zhuǎn)動中力學(xué)問題的對比研究

秦 晨1，張偉仁2

（1.新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830054；2.武警烏魯木齊指揮學(xué)院教研部，新疆烏魯木齊830049）

剛體轉(zhuǎn)動一直是普通物理學(xué)中的重點和難點。質(zhì)點運動的相關(guān)知識學(xué)生都比較熟悉，但是剛體的轉(zhuǎn)動卻是首次接觸。由于對質(zhì)點運動的描述和對剛體轉(zhuǎn)動的描述有一定的相似性，而且質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動的一些定律和定理也有很大的相似程度，因此可以在已有的質(zhì)點運動知識的基礎(chǔ)上，來理解剛體轉(zhuǎn)動的相關(guān)知識。

質(zhì)點運動；剛體平動；剛體轉(zhuǎn)動；定軸轉(zhuǎn)動

物理學(xué)是研究物質(zhì)最普遍、最基本的運動形式的基本規(guī)律的一門學(xué)科[1]。以經(jīng)典物理為主要內(nèi)容的《普通物理學(xué)》是高等學(xué)校非物理專業(yè)的理工科學(xué)生的一門重要的基礎(chǔ)課，其中力學(xué)在該課程中占有很大的比重[2]。剛體力學(xué)是力學(xué)的重要組成部分，也一直是《普通物理學(xué)》中的重點和難點。為了很好的理解剛體的運動，我們可以將剛體的平動和轉(zhuǎn)動進行對比研究，從而對剛體的運動有深入地了解和認識[3]，并將剛體運動的知識應(yīng)用于非線性控制系統(tǒng)[4]、機械設(shè)計制造[5]、自動化控制[6-8]、多剛體系統(tǒng)動力學(xué)分析[9]等各類科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐當中[10]。

剛體是指在任何外力作用下，其形狀和大小完全不變的物體，是一種理想的質(zhì)點系統(tǒng)。剛體最基本的運動形式是平動和轉(zhuǎn)動，任何復(fù)雜的剛體運動都可以分解為平動與轉(zhuǎn)動的疊加[11]。當剛體作平動時，所有質(zhì)元的運動狀態(tài)都是相同的，所以可以選取剛體中任一質(zhì)元的運動來表示整個剛體的運動，因此平動的剛體可以當成一個質(zhì)點來處理[12]，剛體的平動可以用質(zhì)點運動的相關(guān)知識來處理。當而剛體作轉(zhuǎn)動時，剛體上每個質(zhì)元的運動狀態(tài)不盡相同，我們需要考慮到每個質(zhì)元的運動，才能將剛體的轉(zhuǎn)動完整的描述出來。為了研究剛體的轉(zhuǎn)動，我們需要對剛體上所有質(zhì)元求和，才能得到剛體的運動規(guī)律。關(guān)于質(zhì)點的運動規(guī)律，學(xué)生從初中開始就有接觸，因此比較熟悉；而關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動的知識，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中接觸很少，有些還是首次遇到，而且剛體轉(zhuǎn)動的物理模型通常也比較抽象，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)時一時較難接受，理解上也比較困難。為了使學(xué)生能從已有的質(zhì)點運動的知識體系出發(fā)，更好地理解剛體轉(zhuǎn)動的知識，可以通過對比研究，將質(zhì)點平動和轉(zhuǎn)動的知識作為基礎(chǔ)和參照，來學(xué)習(xí)剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，使學(xué)生更好地理解剛體轉(zhuǎn)動的相關(guān)運動規(guī)律。

1 剛體平動和剛體定軸轉(zhuǎn)動的對比研究[12]

為了在已有的質(zhì)點運動規(guī)律的基礎(chǔ)上，很好的理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的相關(guān)物理量、相關(guān)定理和定律，下面分別就剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律，通過對比研究對剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律進行深入地分析和討論。

1.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述

剛體的轉(zhuǎn)動有定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動，本文以剛體的定軸轉(zhuǎn)動為例來介紹剛體平動和剛體轉(zhuǎn)動的對比研究。

在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，取垂直于固定轉(zhuǎn)軸的平面作為轉(zhuǎn)動平面，轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸的交點為原點，則轉(zhuǎn)軸上的各點都保持不變，而軸外所有質(zhì)點在同一時間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度都一樣，所以可以用質(zhì)點做圓周運動的角位移、角速度和角加速度來定義繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角位移、角速度和角加速度。因此剛體做定軸轉(zhuǎn)動時其角位移可以定義為Δθ=θ2-θ1，角速度定義為，角加速度定義為。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，盡管剛體上各個質(zhì)點的角位移、角速度和角加速度都相同，但是距離轉(zhuǎn)軸的距離為ri的不同質(zhì)點其線速度、切向加速度和法向加速度卻各不相同。距離轉(zhuǎn)軸距離為ri的各質(zhì)點做圓周運動的線速度、切向加速度和法向加速度分別為υi=ωri，aτi=αri，ani=ω2ri，這三個式子給出了描述剛體定軸轉(zhuǎn)動時，線量和角量的關(guān)系。

1.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律

由牛頓力學(xué)可以知道，力F是使物體平動狀態(tài)發(fā)生改變的原因，力矩M=r×F是使物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變的原因。通過對比可以看到F和M有著類似的作用，都是使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變的原因。

為了反映質(zhì)點在力的作用下運動狀態(tài)改變的難易程度，常用慣性質(zhì)量（簡稱質(zhì)量）m來表示質(zhì)點慣性的大小，所以質(zhì)量就是物體慣性大小的量度。而轉(zhuǎn)動慣量J是剛體轉(zhuǎn)動時慣性大小的量度，剛體轉(zhuǎn)動慣量越大，其原有的轉(zhuǎn)動狀態(tài)越難改變。剛體的轉(zhuǎn)動慣量由組成剛體的各質(zhì)元的質(zhì)量mi與其到轉(zhuǎn)軸的距離ri的平方的乘積之和來決定。單個質(zhì)點繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為J=mr2，由分立質(zhì)點組成的質(zhì)點系繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為，質(zhì)量連續(xù)分布的剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為J=∫Mr2dm。由此可見，慣性質(zhì)量m和轉(zhuǎn)動慣量J在描述質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動時起著類似的作用，有著相似的地位。

在質(zhì)點動力學(xué)中，牛頓第二定律給出了力F和加速度a的瞬時關(guān)系。即物體受到外力作用時，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同，其矢量式為F=ma。而在剛體的轉(zhuǎn)動中，剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律描述了力矩M的瞬時作用規(guī)律。即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩M等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J與角加速度α的乘積，可表示為M=Jα。

從前面介紹的內(nèi)容來看，從描述質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動的物理量的角度來說，F(xiàn)和M是對應(yīng)的，m和J是對應(yīng)的，a和α是對應(yīng)的；從牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律所給出的作用規(guī)律來說，二者給出的都是改變物體運動狀態(tài)的原因的瞬時作用規(guī)律，即F和M的瞬時作用規(guī)律。所以，通過對比可以看出，剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律在轉(zhuǎn)動中的地位相當于牛頓第二定律在質(zhì)點運動中的地位。質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中與剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律相關(guān)的知識點如表1所示。

表1 與剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律相關(guān)的質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動對照表

1.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

為了理解動能定理，首先需要知道動能的概念。質(zhì)點運動的動能，稱為平動動能，表示為，早已被大家所熟知。而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的動能，即轉(zhuǎn)動動能，卻是一個新的物理量，轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半，即。由于對不同的轉(zhuǎn)軸，剛體的轉(zhuǎn)動慣量J不同，所以這里轉(zhuǎn)動動能也與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。由于平動動能和轉(zhuǎn)動動能兩者形式十分相似，式中m和J都是慣性大小的量度，線速度υ與角速度ω也是相對應(yīng)的，所以通過對比研究可以看到，平動動能和轉(zhuǎn)動動能在質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中具有相同的地位，通過對比可以通過已經(jīng)熟知的平動動能很好地理解轉(zhuǎn)動動能。

為了理解動能定理，還需要了解質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中的功和功率。在質(zhì)點運動中，力的功和功率分別表示為和，而在剛體轉(zhuǎn)動中，力矩的功和功率分別表示為和。通過對比可以看到，F(xiàn)和M、r和θ、υ和ω分別是一一對應(yīng)的，所以通過對比研究，可以通過已經(jīng)熟知的力的功和功率很好地理解力矩的功和功率。

有了上面的基礎(chǔ)，下面來看質(zhì)點的動能定理和剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。質(zhì)點的動能定理給出了外力做功對質(zhì)點動能的影響，即外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量，可以表示為。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理給出了合外力矩所做的功對剛體轉(zhuǎn)動動能的影響，即合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量，可以表示為。通過對比可以看到，在質(zhì)點的動能定理和剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理中，兩個定理的形式是完全對應(yīng)的，每個物理量也都呈現(xiàn)出一一對應(yīng)的關(guān)系，所以可以比較容易的從已經(jīng)很熟悉的質(zhì)點的功能定理出發(fā)，很好地理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。在質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中與剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理相關(guān)的知識點如表2所示。

表2 與剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理相關(guān)的質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動對照表

1.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律

在質(zhì)點的運動中，質(zhì)點的動量記作p=mυ，沖量記作，沖量表示力的時間積累效果，這是學(xué)生已經(jīng)很熟悉的內(nèi)容。而在剛體的轉(zhuǎn)動中，相對應(yīng)的物理量分別是剛體轉(zhuǎn)動的角動量記作L=Jω，沖量矩記作，沖量矩表示力矩的時間積累效果。通過對比可以看到，動量和角動量、沖量和沖量矩分別在質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中承擔(dān)著相似的作用，處于相同的地位。

角動量是物體轉(zhuǎn)動運動量的量度。一個質(zhì)量為m，運動速度為υ，相對固定點O的矢徑為r的質(zhì)點，其角動量L定義為矢徑r與質(zhì)點的動量mυ的矢積，即L=r×mυ。L的方向垂直于r和mυ所組成的平面，其指向可以由右手螺旋法則確定，并且L的方向與角速度ω的方向一致。當質(zhì)點以角速度ω繞圓心作圓周運動時，質(zhì)點對圓心的角動量L的大小為L=mr2ω。而剛體對軸的角動量，就是剛體上各個質(zhì)點對該軸的角動量之和。所以剛體對某定軸的角動量L定義為剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J與角速度ω的乘積，即。L的方向沿該轉(zhuǎn)動軸，并與這時轉(zhuǎn)動的角速度ω的方向相同。對比質(zhì)點角動量和剛體角動量的表達式可以看到，mr2和J相對應(yīng)，兩個L的方向也是一致的，所以通過對比研究，可以很好地理解剛體對軸的角動量這個新的知識點。

質(zhì)點的角動量守恒定律指出，若質(zhì)點所受外力對某固定點的力矩為零，則質(zhì)點對該固定點的角動量守恒。即若M=0，則L=L0，L=r×mυ是常矢量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律指出，若外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量守恒。即若M=0，則L=L0，L=Jω是常量。通過對比可以看到，質(zhì)點的角動量守恒定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律在描述質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中有著相似的表述，它們所表示的物理意義也很類似，所以通過對比研究，可以在比較熟悉的質(zhì)點的角動量守恒定律的基礎(chǔ)上，很好地理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律。在質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中與剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律相關(guān)的知識點如表3所示。

表3 與剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律相關(guān)的質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動對照表

2 總結(jié)

通過以上的對比研究可以看到，在質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動中，對質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動的描述，以及與質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動相關(guān)的定理和定律有很大的相似程度。因此通過對比研究，在對剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律、動能定理、角動量定理和角動量守恒定律進行深入分析之后，可以在已有的質(zhì)點運動規(guī)律（對應(yīng)剛體平動）的基礎(chǔ)上，很好地理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的相關(guān)規(guī)律，并將剛體平動和剛體轉(zhuǎn)動的知識很好地應(yīng)用在生產(chǎn)和實踐當中。

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The Comparative Study on the Mechanical Issues in Rigid Body Translation and Rigid Body Fixed-axis Rotation

QIN Chen1,ZHANG Wei-ren2
(1.College of Physics and Electronic Engineering,Xinjiang Normal University,Urumqi Xinjiang,830054;2.Department of Teaching and Research,Urumqi Armed Police Command College,Urumqi Xinjiang,830049)

Rigid body rotation is always important and difficult in the general physics.The student is familiar with the particle motion,but first contact the rigid body rotation.Based on the basis that there are some similarities between the description,the law and the theorem of particle motion and rigid body rotation,we can better understand the related knowledge of rigid body rotation in the basis of knowledge of particle motion.

particle motion;rigid body translation;rigid body rotation;fixed-axis rotation

O313.3

A

1674-0874(2015)04-0025-04

2015-03-20

國家自然科學(xué)基金項目[11364043];新疆師范大學(xué)博士科研啟動基金項目[XJNUBS1516]

秦晨(1980-)，女，新疆烏魯木齊人，博士，講師，研究方向：原子與分子物理、化學(xué)。

〔責(zé)任編輯 高彩云〕