張拓，卜曉明，陳奕含，楊忻怡，楊璐

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧錦州121013）

關(guān)于嶺參數(shù)k的選取問(wèn)題

張拓，卜曉明，陳奕含，楊忻怡，楊璐

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧錦州121013）

對(duì)嶺估計(jì)中參數(shù)k的選取問(wèn)題進(jìn)行了研究，并對(duì)Hoerl-Kennard公式進(jìn)行了改進(jìn)，使參數(shù)k的選取更為準(zhǔn)確。

嶺估計(jì)；參數(shù)；均方誤差；有偏估計(jì)

嶺回歸估計(jì)是應(yīng)用最廣泛的一種有偏估計(jì)，其目的在于減小均方誤差，所以嶺參數(shù)k的選取也應(yīng)使MSE（β^（k））達(dá)到最小。k的選取不僅依賴于未知參數(shù)β和σ2，而且這種依賴關(guān)系也沒(méi)有明確確定，這都使k的選取存在很大難度［1］。目前關(guān)于k的選取方法已有10余種，主要方法包括嶺跡法、方差擴(kuò)大因子法、雙H公式法、Hoerl-Kennard公式法等。本文在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)之上，主要對(duì)Hoerl-Kennard公式［2-3］進(jìn)行研究與改進(jìn)，以期獲得更小誤差。

1　嶺估計(jì)

考慮線性回歸模型

參數(shù)β的嶺估計(jì)定義為β^（k）=（X'X+kI）-1X'Y，其中：當(dāng)k＞0時(shí)，稱k為嶺參數(shù)或偏參數(shù)；當(dāng)k=0時(shí)，β^（0）=（X'X）-1X'y為β的LS估計(jì)［4］。

為方便討論，本研究采取典則形式。

定義設(shè)X'X的特征值為λ1，λ2，…，λp，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量為φ1，φ2，…，φp，記Φ=（φ1，φ2，…，φp），Φ為p×p標(biāo)準(zhǔn)正交陣，即Φ'Φ=Ι。記Δ=diag（λ1，λ2，…，λp），則X'X=ΦΔΦ'，線性模型：

可寫為

其中Z=XΦ，α=Φ'β。稱式（3）為線性回歸模型的典則形式，α為典則回歸系數(shù)。均方誤差在參數(shù)與估計(jì)的正交變換下保持不變，故典則回歸系數(shù)和原回歸系數(shù)擁有相同的均方誤差［5］，即MSE（^α（k））=MSE（β^（k））。

2　Hoerl-Kennard公式的進(jìn)一步改進(jìn)

由前文及文獻(xiàn)［1，6］可以得到：

引理1令H（k）=MSE（^α（k）），則H（k）=MSE（β^（k）），有

其中：k≥0；H（k）為光滑函數(shù)。又H'（0）＜0，H'（+∞）＞0，故使H（k）取得最小值的k必然存在。記k0=inf{ k：H'（k）=0}，則H（k0）＜H（0），α^（k0）改進(jìn)了LS估計(jì)α^（0）。

引理2存在使H'（k0）=0，其中按升序排列［7］，且記α（i）=

將λ1，λ2，…，λp中與α（i）相對(duì)應(yīng)的值記為λ（i），i=1，2，…，p，Hoerl-Kennard公式給出的k值估計(jì)恰好為。當(dāng)α的各分量α均相等，即

定理1如果存在2≤r≤p，且α（r-1）＜α（r），則存在k0＞，使

證明因?yàn)棣粒╮-1）＜α（r），所以若kα

對(duì)式（4）與（5）進(jìn)行加和，則有：

定理得證。

推論若2≤r≤p，且α（r-1）＜α（r），則存在ki＞k0，使MSE（ki））＜MSE（k0））。時(shí)，就可以按該定理方法持續(xù)進(jìn)行下去，使均方誤差逐漸減少，于是可以得到更進(jìn)一步的改進(jìn)。當(dāng)改進(jìn)參數(shù)取，同樣可以得到以下結(jié)論。

證明過(guò)程可以參考定理1。自此在Hoerl-Kennard公式基礎(chǔ)上更進(jìn)一步改進(jìn)了關(guān)于嶺參數(shù)k的選取方法，使嶺參數(shù)k的選取更為準(zhǔn)確。

［1］陳希孺，王松桂.近代回歸分析［M］.合肥：安徽教育出版社，1986.

［2］Hoerl A E，Kennard R W.Ridge regression：biased estimation for non-orthogonal problems［J］.Technometrics，1970，12（1）：55-67.

［3］Hoerl A E，Kennard R W.Ridge regression：application for non-orthogonal problems［J］.Technometrics，1970，12（1）：69-72.

［4］王松桂.線性模型的理論及其應(yīng)用［M］.合肥：安徽教育出版社，1987.

［5］Sarkar.Mean square error matrix comparison of some estimators in linear regressions with multicollinearity［J］，Statistics and Probability Letters，1996，30（2）：133 -138.

［6］王志福.嶺估計(jì)中參數(shù)選擇的一種新方法［J］.錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，24（1）：47-49.

［7］李明奇，吳旭.回歸系數(shù)的部分嶺估計(jì)［J］.河南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，30（6）：749-752.

［8］王浩華，李勝軍.嶺回歸中參數(shù)估計(jì)的討論［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，27（1）：5-7.

（責(zé)任編輯劉舸）

Selection of Ridge Parameter k

ZHANG Tuo，BU Xiao-ming，CHEN Yi-han，YANG Xin-yi，YANG Lu
（College of Mathematics and Physics，Bohai University，Jinzhou 121013，China）

An in-depth study on choosing parameter k in ridge estimation was researched.At the same time，in order to make parameter k more accurate，we did a proper improvement on Hoerl-Kennard formula.

ridge estimation；parameter；mean square error；biased estimation

O212.2

A

1674-8425（2015）04-0136-03

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.027

2015-01-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371030）

張拓（1989—），男，碩士研究生，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方面研究。

張拓，卜曉明，陳奕含，等.關(guān)于嶺參數(shù)k的選取問(wèn)題［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（4）：136 -138.

format：ZHANG Tuo，BU Xiao-ming，CHEN Yi-han，et al.Selection of Ridge Parameter k［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：136-138.