周　鋼，朱泰英

CDIO工程教育模式下的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究與實(shí)踐

周鋼，朱泰英

本文探討了CDIO工程教育模式下概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)工作。就教學(xué)理念、理論教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)無(wú)縫鏈接，分組報(bào)告教學(xué)、案例教學(xué)，豐富教學(xué)模式、改革考核評(píng)價(jià)體系等方面具體闡述了相關(guān)研究和實(shí)踐工作，為應(yīng)用型本科學(xué)科基礎(chǔ)課教學(xué)提供了一個(gè)很好的借鑒。

概率統(tǒng)計(jì)；CDIO工程教育模式；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；分組報(bào)告；案例教學(xué)

CDIO工程教育模式是由美國(guó)麻省理工學(xué)院和瑞典皇家工學(xué)院等四所大學(xué)經(jīng)過(guò)多年的探索研究形成的國(guó)際工程教育改革的最新成果。CDIO代表構(gòu)思（Conceive）、設(shè)計(jì)（Design）、實(shí)現(xiàn)（Implement）和運(yùn)作（Operate）。它將學(xué)科導(dǎo)向改變?yōu)轫?xiàng)目導(dǎo)向，將應(yīng)試教育轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用能力教育，變強(qiáng)調(diào)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性為注重項(xiàng)目訓(xùn)練的完整性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高等學(xué)校各專業(yè)重要的學(xué)科基礎(chǔ)課，涉及的知識(shí)面廣泛，與實(shí)踐聯(lián)系緊密，是應(yīng)用性較強(qiáng)的一門課程。在CDIO工程教育模式下，結(jié)合課程自身的特點(diǎn)，開(kāi)展概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)研究，對(duì)實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型本科院校的培養(yǎng)目標(biāo)有著重要的意義。

一、基本理念

在CDIO工程教育模式下，圍繞學(xué)?！凹夹g(shù)立校、應(yīng)用為本”的辦學(xué)定位，以“理論知識(shí)夠用為度，應(yīng)用能力培養(yǎng)為先”為原則，重構(gòu)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)實(shí)踐教學(xué)和理論教學(xué)的無(wú)縫鏈接，著力推動(dòng)分組討論教學(xué)、案例教學(xué)法、探究式學(xué)習(xí)、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)等多種教學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)（Team Study）和同伴指導(dǎo)（Peer Instruction），培養(yǎng)學(xué)生獲取知識(shí)的能力（自學(xué)能力），運(yùn)用知識(shí)的能力（解決問(wèn)題的能力），共享知識(shí)的能力（團(tuán)隊(duì)合作能力），發(fā)現(xiàn)知識(shí)的能力（創(chuàng)新能力），傳播知識(shí)的能力（交流溝通能力），終身學(xué)習(xí)的能力（求知欲），為培養(yǎng)符合國(guó)際工程師互認(rèn)體系《華盛頓協(xié)議》要求的技術(shù)本科人才提供概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科基礎(chǔ)課層面的一體化支持。

二、具體措施

（一）理論教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)無(wú)縫鏈接

理論教學(xué)突出概率統(tǒng)計(jì)的基本思想、基本理論和基本方法，該講透的地方絕不含糊，對(duì)于難點(diǎn)、重點(diǎn)盡量做到深入淺出。例如，在講利用概率性質(zhì)計(jì)算事件的概率時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生把求概率看成計(jì)算相關(guān)韋恩圖的面積，結(jié)合韋恩圖的圖形表示，無(wú)論是加法公式、減法公式等內(nèi)容的證明還是具體題目的計(jì)算都變得簡(jiǎn)單易行。在講全概率公式時(shí)，我引入“抓鬮不分先后”的實(shí)際問(wèn)題，用全概率公式解釋了這個(gè)日常生活中常用做法的理論依據(jù)，展示了概率統(tǒng)計(jì)無(wú)處不在的應(yīng)用。貝葉斯公式是教學(xué)中的難點(diǎn)，但是我引導(dǎo)學(xué)生利用決策樹(shù)的方法解題，繞過(guò)了艱深晦澀的公式，以更加清晰易懂的形式解決相關(guān)問(wèn)題。對(duì)于正態(tài)分布這個(gè)概率統(tǒng)計(jì)中的最重要的內(nèi)容，我從概念的引入、公式的介紹、具體計(jì)算步驟的推導(dǎo)、結(jié)合圖形做題以及正態(tài)分布在確定公交車門的高度、體育比賽裁判積分規(guī)則的制定、6σ管理等方面的應(yīng)用作了詳細(xì)的闡述，真正做到了該講透的地方絕不含糊。在講二維隨機(jī)變量的條件分布時(shí)，通過(guò)不同類型的例子以及解題中的細(xì)節(jié)，打消了學(xué)生在這個(gè)難點(diǎn)上的各種疑慮。在講參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，詳細(xì)介紹了分位數(shù)在公式推導(dǎo)過(guò)程中的作用，讓學(xué)生不僅知其然而且知其所以然。同時(shí)，在理論教學(xué)中，使用全英文教學(xué)的內(nèi)容至少占到10%，以培養(yǎng)學(xué)生用英語(yǔ)交流溝通的能力。

實(shí)驗(yàn)課的開(kāi)設(shè)改變了概率統(tǒng)計(jì)課程一貫呆板的教學(xué)方式，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)中不必要的煩瑣計(jì)算和記憶公式的負(fù)擔(dān)。我們把Matlab軟件的使用融進(jìn)教材，嘗試將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論教學(xué)與上機(jī)實(shí)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，并編寫(xiě)了這本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)》。實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容包括：Matlab的基本使用方法、概率分布的數(shù)值計(jì)算與作圖、隨機(jī)變量數(shù)字特征的數(shù)值計(jì)算、隨機(jī)模擬、正態(tài)分布綜合實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等內(nèi)容。這些實(shí)驗(yàn)的取材緊密結(jié)合教材內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的組成部分和延伸補(bǔ)充，同時(shí)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容簡(jiǎn)單且比較容易操作，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不需占用過(guò)多的課內(nèi)時(shí)間。主要是培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，實(shí)現(xiàn)了理論教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)無(wú)縫鏈接。

（二）開(kāi)展分組報(bào)告教學(xué)

分組的目的是調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性，變填鴨式教學(xué)為自主式學(xué)習(xí)、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，使每組的學(xué)生把老師交給的任務(wù)當(dāng)作一個(gè)項(xiàng)目來(lái)完成。每個(gè)小組成員需要在一起分析問(wèn)題、討論解決問(wèn)題的方案、尋找外部資源（如去圖書(shū)館借書(shū)）以解決問(wèn)題中的難點(diǎn)，上臺(tái)報(bào)告自己小組的成果。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生之間交流溝通、相互指導(dǎo)，形成團(tuán)隊(duì)聚集學(xué)習(xí)能量，不斷發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新解決問(wèn)題的思路，當(dāng)眾發(fā)表自己小組的結(jié)論，接受其他小組的質(zhì)疑和檢驗(yàn)，實(shí)實(shí)在在地將應(yīng)試教育變?yōu)镃DIO工程教育模式下的教育，培養(yǎng)學(xué)生各個(gè)方面的應(yīng)用能力。

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者讓學(xué)生自行組隊(duì)，2-3人一組。由于是自由選課，課堂上各個(gè)專業(yè)的學(xué)生都有，而且很多學(xué)生相互不認(rèn)識(shí)，于是學(xué)生通過(guò)我組建的課程QQ群互相交流協(xié)調(diào)，最后經(jīng)過(guò)一周的時(shí)間確定好了分組并選出了組長(zhǎng)。接下來(lái)，筆者把連續(xù)型隨機(jī)變量（不含正態(tài)分布）這一節(jié)內(nèi)容分成11個(gè)模塊，每個(gè)模塊可能是一個(gè)需要解釋的定義或一個(gè)需要證明的定理或一些需要說(shuō)明的性質(zhì)或一道需要求解的例題，這些都提前一周時(shí)間公布給學(xué)生，讓學(xué)生有充分的時(shí)間通力合作解決問(wèn)題。最后，在某一節(jié)課的課堂上每個(gè)小組派一個(gè)代表上講臺(tái)面向全班同學(xué)講解。學(xué)生上臺(tái)報(bào)告時(shí)，我能感受到他們一個(gè)個(gè)都神采奕奕，精神面貌很好，臺(tái)下的各組學(xué)生在整個(gè)報(bào)告當(dāng)場(chǎng)也有熱烈的互動(dòng)，有些組不拘泥于老師給出的框架，還有一些延伸、擴(kuò)展，超出了我的預(yù)期。分組報(bào)告教學(xué)的效果達(dá)到了CDIO工程教育模式的培養(yǎng)目標(biāo)。

（三）開(kāi)展案例教學(xué)

案例教學(xué)以理論教學(xué)為基礎(chǔ)，如果沒(méi)有扎實(shí)的理論知識(shí)和基本方法作基礎(chǔ)，學(xué)生在再好的案例面前也會(huì)束手無(wú)策，找不到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，每節(jié)課從頭到尾都以案例教學(xué)為依托來(lái)完成所有教學(xué)工作，就顯得虛無(wú)縹緲，達(dá)不到理想的教學(xué)效果。所以，理論教學(xué)是基礎(chǔ)，案例教學(xué)是與理論教學(xué)相輔相成的。教學(xué)案例以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力為目標(biāo)，案例不同于課本中純粹的數(shù)學(xué)中的例子，也不同于一般的應(yīng)用題，案例是在實(shí)際工作、生活和研究中遇到的有豐富實(shí)際背景，帶有一定復(fù)雜性和綜合性的問(wèn)題。案例教學(xué)中選擇的案例，是和理論教學(xué)相匹配，圍繞培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力展開(kāi)的。由于在校學(xué)生不可能在各行各業(yè)都實(shí)習(xí)一遍獲得實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，所以選擇的案例不宜過(guò)于專業(yè)化，否則學(xué)生將難以展開(kāi)分析和提出問(wèn)題的解決方案，這樣也就達(dá)不到案例教學(xué)的目的。案例教學(xué)讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)主角，而教師則以引導(dǎo)為主，課堂上能形成教學(xué)互動(dòng)，課堂上的案例教學(xué)往往需要大量的師生互動(dòng)，花費(fèi)的時(shí)間也很多，但是每門課的課時(shí)都是有限的，不可能把案例教學(xué)的全部過(guò)程都在課堂上完成。這就需要教師合理分配案例教學(xué)的時(shí)間，案例教學(xué)的一部?jī)?nèi)容可以在課堂上完成，剩下的內(nèi)容可以交代學(xué)生在課后完成。

在講極大似然估計(jì)時(shí)，我引入下面案例：對(duì)于兩個(gè)因素-淀粉或糖，以及綠葉或白葉，下表記錄了自花授粉雜合子的后代觀測(cè)數(shù)（Fisher，1958）。根據(jù)遺傳理論，以上4個(gè)單元概率分別為0.25（2+θ），0.25（1-θ），0.25（1-θ）及0.25θ，其中θ（0＜θ＜1）是與因素相連接的參數(shù)，計(jì)算θ的最大似然估計(jì)和漸近方差，據(jù)此構(gòu)造θ的95%置信區(qū)間。

類型觀測(cè)數(shù)淀粉綠葉1997淀粉白葉906含糖綠葉904含糖白葉32

很多教科書(shū)在講解最大似然估計(jì)時(shí)，一般都只涉及從服從某個(gè)分布的總體中取樣，然后根據(jù)樣本值對(duì)總體分布中的未知參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)。但是最大似然估計(jì)也常用來(lái)解決多項(xiàng)單元概率問(wèn)題。假設(shè)X1，X2，L，Xm是單元1，2，…，m內(nèi)的觀測(cè)數(shù)，服從總數(shù)為n，單元概率分別為p1，p2，L，pm的多項(xiàng)分布，則X1，X2，L，Xm的聯(lián)合頻率函數(shù)是

這里，每個(gè)Xi的邊際分布都是（n，pi）二項(xiàng)分布，因此不獨(dú)立（受限于總和n），它們的聯(lián)合頻率函數(shù)不是邊際頻率函數(shù)的乘積，這與教科書(shū)上的例子不同。但我們?cè)趯W(xué)排列組合時(shí)知道，n個(gè)元素分為不同的k組，每組內(nèi)的元素不加區(qū)分，數(shù)目分別為r1，r2，…，rk，則排法共有：n！/（r1！r2！…rk！）r1+r2+…+rk=n，我們也就不難寫(xiě)出單元問(wèn)題的聯(lián)合分布的表達(dá)式。根據(jù)最大似然估計(jì)的大樣本理論可以求出漸近方差，從而據(jù)此構(gòu)造處相應(yīng)的置信區(qū)間。所以，這個(gè)案例既源于課本又高于課本，可以引導(dǎo)學(xué)生去思考，去根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決遇到的新問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

同時(shí)，在講這個(gè)案例之前，我先把案例告訴學(xué)生，叫學(xué)生自己主動(dòng)在課前討論分析這個(gè)生物學(xué)中的案例和課本上例子的異同，引導(dǎo)學(xué)生課前查閱相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的資料或者生物學(xué)資料，最后形成解決方案的文字稿，在課上全班討論解決方案的對(duì)錯(cuò)及原因等等。這樣整個(gè)案例教學(xué)的全過(guò)程就很緊湊，課堂內(nèi)外形成良性互動(dòng)。

（四）豐富教學(xué)模式，改革考核評(píng)價(jià)體系

在大數(shù)據(jù)和移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)風(fēng)起云涌的互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，很多新的教學(xué)模式出現(xiàn)了，E-learning網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)、微課和翻轉(zhuǎn)課堂就是對(duì)現(xiàn)有教學(xué)模式的有效補(bǔ)充。微課的核心工作就是用一個(gè)5-8分鐘的視頻展示教學(xué)大綱中的某個(gè)知識(shí)點(diǎn)（尤其是重點(diǎn)難點(diǎn)），教學(xué)視頻短小精煉，支持“移動(dòng)學(xué)習(xí)”和碎片化學(xué)習(xí)。有了微課視頻的幫助，以先學(xué)后教為特征的“翻轉(zhuǎn)課堂”就可以收到更大的效果。不管是分組報(bào)告教學(xué)還是案例教學(xué)，學(xué)生通過(guò)課前零散觀看教學(xué)視頻，充分利用時(shí)間來(lái)預(yù)習(xí)，擴(kuò)展課堂的時(shí)空界限，在課堂上才可能真正實(shí)現(xiàn)“翻轉(zhuǎn)”，在教學(xué)中才能形成有效的師生互動(dòng)，才能真正調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。E-learning網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)是一個(gè)更復(fù)雜、更綜合的教學(xué)互動(dòng)平臺(tái)。在這個(gè)平臺(tái)上，學(xué)生可以通過(guò)課程bbs與任課教師和其他同學(xué)實(shí)現(xiàn)在線交流，也可以通過(guò)嵌入的學(xué)校郵件系統(tǒng)和移動(dòng)短信平臺(tái)與任課教師實(shí)現(xiàn)離線交流。任課教師可以把微課視頻掛在平臺(tái)上給學(xué)生預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，也可以發(fā)表在線作業(yè)并且讓學(xué)生在線提交作業(yè)，或者開(kāi)展在線考試，通過(guò)大數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)，了解學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的掌握情況并及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，從而提高教學(xué)效果。

引進(jìn)國(guó)外優(yōu)秀教材，在中外合作辦學(xué)班級(jí)和創(chuàng)新試驗(yàn)班等班級(jí)使用雙語(yǔ)教學(xué)，同時(shí)引進(jìn)國(guó)外專家，部分授課內(nèi)容由國(guó)外專家講授。對(duì)于不能開(kāi)展雙語(yǔ)教學(xué)的班級(jí)，使用全英文教學(xué)的內(nèi)容至少占到10%，以培養(yǎng)學(xué)生用英語(yǔ)交流溝通的能力。

概率統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以延伸到第二課堂，以滿足不同類別的學(xué)生的需求。面向普通本科學(xué)生，開(kāi)設(shè)與概率統(tǒng)計(jì)課程相關(guān)的數(shù)據(jù)分析與R語(yǔ)言、漫話統(tǒng)計(jì)往事等通識(shí)課，提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)和統(tǒng)計(jì)分析能力、呼應(yīng)時(shí)代與社會(huì)的需求；面向考研的同學(xué)，開(kāi)設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研輔導(dǎo)課，幫助學(xué)生提升復(fù)習(xí)質(zhì)量，打通上升通道。

建立平時(shí)表現(xiàn)考核、理論教學(xué)考核、實(shí)驗(yàn)教學(xué)考核三位一體的考核評(píng)價(jià)體系。我們通過(guò)建立統(tǒng)一的作業(yè)集（活頁(yè)）、課堂分組報(bào)告、案例教學(xué)，把學(xué)生在這些過(guò)程中的表現(xiàn)一一記錄在冊(cè)，并且通過(guò)每周一小考（30分鐘），每章一中考（90分鐘）的形式，建立詳細(xì)的平時(shí)成績(jī)考核依據(jù)。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，要求學(xué)生每次提交試驗(yàn)報(bào)告，根據(jù)學(xué)生的試驗(yàn)報(bào)告給出試驗(yàn)成績(jī)。在期末總評(píng)成績(jī)的構(gòu)成中，平時(shí)成績(jī)、理論考核成績(jī)和試驗(yàn)考核成績(jī)分別占到20%、60%和20%。

三、結(jié)語(yǔ)

在高等教育由精英教育向大眾教育的轉(zhuǎn)變的大背景下，為培養(yǎng)符合國(guó)際工程師互認(rèn)體系《華盛頓協(xié)議》要求的應(yīng)用型本科人才，CDIO工程教育模式無(wú)疑是一個(gè)有益的嘗試。對(duì)于CDIO工程教育模式下的學(xué)科基礎(chǔ)課的教學(xué)研究與實(shí)踐，存在很多需探索的問(wèn)題，本文就以概率統(tǒng)計(jì)課程為例提供了一個(gè)很好的參考。

［1］Edward F.Crawley.重新認(rèn)識(shí)工程教育：國(guó)際CDIO培養(yǎng)模式與方法［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］楊韌，秦健秋.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——基于CDIO模式（第二版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2015.

［3］劉瓊蓀，鐘波等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2014.

責(zé)任編輯：姚旺

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A

1671-6531（2015）15-0088-03

2013年上海市《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》重點(diǎn)課程建設(shè)項(xiàng)目

周鋼/上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部講師，碩士（上海201306）；朱泰英/上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部教授，博士（上海201306）。