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        數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        2015-11-04 11:48:02高春俠
        黑河教育 2015年11期
        關(guān)鍵詞:縱坐標(biāo)實(shí)數(shù)圖象

        高春俠

        “數(shù)(代數(shù))”與“形(幾何)”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本研究對(duì)象,這兩個(gè)內(nèi)容既互相獨(dú)立又互相聯(lián)系,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中包括“以數(shù)解讀形”和“以形分析數(shù)”兩個(gè)方面。數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)和形有機(jī)組合,使數(shù)學(xué)問題得到轉(zhuǎn)化,“形”讓“數(shù)”更具體明了,“數(shù)”使“形”更形象靈活。因此,數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用比較廣泛,借助數(shù)形結(jié)合思想可以方便快捷地解決二次函數(shù)問題,怎樣利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題呢?要在解題中有效實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”,最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn),從“以數(shù)助形”角度來看,主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn):第一,以數(shù)軸、坐標(biāo)系為橋梁把函數(shù)圖象幾何化;第二,利用面積、距離、角度等幾何量來解決二次函數(shù)問題。

        一、在已知圖形中搜集信息

        二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)A(1,1);點(diǎn)F(0,1)在y軸上,直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H。

        (1)求二次函數(shù)的解析式;

        (2)點(diǎn)P是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M,求證:FM平分∠OFP。

        解析:二次函數(shù)的解析式可以順利解決,對(duì)于(2)點(diǎn)P是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M,求證:FM平分∠OFP;我們要挖掘圖象蘊(yùn)含的信息,PM平行于y軸,可得∠OFM =∠PMF,接下來探究∠PMF是否等于∠PFM,因?yàn)镻在二次函數(shù)的圖象上,可以設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),那么由P向y軸作垂線段PB,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理表達(dá)出PF的長(zhǎng)度,依據(jù)P的坐標(biāo)可以表示PM的長(zhǎng)度,那么可以證明PF= PM,于是可以得到∠PMF=∠PFM,所以∠OFM=∠PFM,結(jié)論得到證明。本題的解決依賴于通過“數(shù)”:PM、PF的長(zhǎng)度的表達(dá)式證明二者相等,數(shù)相等,線段長(zhǎng)相等,通過“形”的狀態(tài)得到“數(shù)”的性質(zhì),又通過“數(shù)”的性質(zhì)演繹出“形”的狀態(tài)。

        二、畫圖象并搜集信息

        有些二次函數(shù)問題需要自己動(dòng)手畫出相應(yīng)的圖象,然后整理所畫圖象中蘊(yùn)含的信息,從而使問題得到解決,看下面的問題:

        例如:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( )

        解析:首先探究怎樣根據(jù)題意畫出y=|ax2+bx+c|的圖象,當(dāng)ax2+bx+c≥0,y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象在x軸上方,此時(shí)y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c,y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸上方部分的圖象,當(dāng)ax2+bx+c<0時(shí),y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象在x軸下方,此時(shí)y=|ax2+bx+c|=-(ax2+bx+c),因此y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對(duì)稱的圖象。

        已知y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是-2,所以函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸上方部分與x軸對(duì)稱的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是2,所以畫出y=|ax2+bx+c|的圖象如圖:

        因?yàn)閗≠0時(shí),函數(shù)圖象在直線y=2的上方時(shí),縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有兩個(gè);函數(shù)圖象在直線y=2上時(shí),縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有三個(gè);函數(shù)圖象在直線y=2的下方時(shí),縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有四個(gè)。

        所以若|ax2+bx+c|=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則函數(shù)圖象應(yīng)該在y=2的上邊,可得出|ax2+bx+c|=k(k≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),k的取值范圍是 k>2。

        我們體會(huì)到把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化到形上,通過圖形直線y=2的上方和下方的拋物線上縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到了|ax2+bx+c|=k(k≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),k的取值范圍是k>2。

        通過上面兩個(gè)問題的分析,我們體驗(yàn)到了數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用價(jià)值及其運(yùn)用方法,也就是只要充分挖掘題中所蘊(yùn)含的信息,借助坐標(biāo)系及相應(yīng)的幾何知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合的方式,就可以尋找到解題的有效途徑,不再讓二次函數(shù)成為難題和困擾,使解題成為一種快樂的體驗(yàn)。

        (責(zé)任編輯 馮 璐)

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