周業(yè)勤，龍敏

長(zhǎng)沙理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114

◎網(wǎng)絡(luò)、通信、安全◎

一類(lèi)分?jǐn)?shù)傅里葉變換圖像加密算法的安全分析

周業(yè)勤，龍敏

長(zhǎng)沙理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114

從分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的性質(zhì)出發(fā)，對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換圖像加密算法進(jìn)行分析。對(duì)原有算法結(jié)果圖進(jìn)行肉眼判斷，提取圖像中間結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，可知算法的密鑰具有不敏感性，并且解密圖具有很大失真。對(duì)分?jǐn)?shù)傅里葉變換進(jìn)行理論上的分析和討論。分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，直接使用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行加密的算法對(duì)密鑰并不敏感，存在安全隱患。為實(shí)現(xiàn)密文圖像的顯示和傳輸而引入的RGB映射將導(dǎo)致解密圖像像素值失真。

圖像加密；分?jǐn)?shù)傅里葉變換；RGB映射；混沌序列

1　引言

隨著多媒體技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，圖像的安全性受到人們的普遍重視。圖像加密是圖像安全技術(shù)的核心，針對(duì)圖像數(shù)據(jù)的特點(diǎn)眾多學(xué)者提出基于各種技術(shù)的圖像加密算法，主要分為空間域和變換域兩大類(lèi)。文獻(xiàn)［1］提出用高維Logistic混沌序列進(jìn)行圖像加密，文獻(xiàn)［2］中Zhou等人將復(fù)合混沌引入圖像加密，文獻(xiàn)［3］將Henon和Arnold映射應(yīng)用于圖像加密，以上是針對(duì)混沌密鑰生成方法進(jìn)行改進(jìn)的空間域圖像加密辦法；文獻(xiàn)［4-5］討論了基于位運(yùn)算的圖像加密算法，將圖像數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至二進(jìn)制并對(duì)位進(jìn)行處理；文獻(xiàn)［6-10］將仿射變換應(yīng)用于圖像加密，加密速度快且能同時(shí)改變像素的像素值和像素位置?？臻g域圖像加密辦法簡(jiǎn)單直觀，但容易受到不法分子的攻擊。文獻(xiàn)［11-18］中分別將小波變換、傅里葉變換和光學(xué)技術(shù)應(yīng)用于圖像加密，也稱(chēng)為變換域圖像加密辦法，其加密原理復(fù)雜、圖像敏感性強(qiáng)，但是域的變換會(huì)降低加密效率，而且解密圖像數(shù)據(jù)會(huì)存在小部分失真。本文對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換圖像加密算法進(jìn)行分析，從實(shí)驗(yàn)上和理論上證明其不適用于圖像加密。

近年來(lái)，有不少學(xué)者提出采用分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)圖像進(jìn)行加密，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的物理意義是做傅里葉變換a次（a為實(shí)數(shù)），變換后的信號(hào)和函數(shù)會(huì)出現(xiàn)在介于時(shí)域和頻域之間的分?jǐn)?shù)域。何俊發(fā)等人［19］在2005年提出一種分?jǐn)?shù)階傅里葉變換圖像加密算法，對(duì)圖像的x，y方向分別實(shí)施不同級(jí)次的一維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（也叫不對(duì)稱(chēng)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換），實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的加密，解密方法就是對(duì)變換后的圖像實(shí)施對(duì)應(yīng)級(jí)次的分?jǐn)?shù)傅里葉逆變換。王銀花等人［20］將待加密圖像先進(jìn)行混沌置亂，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，實(shí)現(xiàn)圖像雙重加密，以增強(qiáng)算法的安全性。文獻(xiàn)［21］楊倬等人認(rèn)為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后的圖像矩陣是復(fù)數(shù)矩陣，不利于實(shí)際應(yīng)用中的顯示、存儲(chǔ)和傳輸，引入RGB映射，將分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后的圖像矩陣的實(shí)部、虛部和控制位分別存儲(chǔ)于R、G和B三個(gè)分量中，實(shí)現(xiàn)加密圖像的顯示、存儲(chǔ)和傳輸。文獻(xiàn)［22］和文獻(xiàn)［23］在文獻(xiàn)［21］的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，先對(duì)待加密圖像進(jìn)行x方向的一維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，然后進(jìn)行混沌置亂，再進(jìn)行y方向的一維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，最后用RGB映射實(shí)現(xiàn)加密圖像的顯示、存儲(chǔ)和傳輸，同時(shí)去掉混沌序列作為變換密鑰的部分。本文對(duì)上述算法進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)算法以分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)作為密鑰，當(dāng)x，y方向的逆變換階數(shù)與原變換階數(shù)都接近時(shí)，能看到原圖像的部分信息，文獻(xiàn)［19-20，22-23］中都是直接以分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)作為密鑰，算法的密鑰敏感性能差。文獻(xiàn)［21］將圖像進(jìn)行分塊加密，每個(gè)塊的變換階數(shù)由混沌映射產(chǎn)生，變換階數(shù)敏感性增強(qiáng)，但是與算法中的RGB映射步驟相排斥，對(duì)密圖進(jìn)行RGB映射會(huì)使密圖像素值的小數(shù)部分丟失，在變換階數(shù)較大時(shí)這種數(shù)據(jù)丟失的影響被擴(kuò)大，密圖不能正常還原。

2　算法的敏感性能分析

文獻(xiàn)［19-20，22-23］所進(jìn)行的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換都是直接以變換階數(shù)作為密鑰，以文獻(xiàn)［22］為例進(jìn)行分析。算法過(guò)程描述如下：

（1）混沌置亂。根據(jù)密鑰u（控制參數(shù)）和X0（初始值），由Logistic映射方程Xn+1=uXn（1-Xn），3.569 9≤u≤4，Xn∈（0，1），產(chǎn)生長(zhǎng)度為M×N的混沌序列X（其中M×N為待加密圖像的大小）。對(duì)產(chǎn)生的混沌序列X進(jìn)行排序，得到一個(gè)新的序列Xsort；將原二維圖像矩陣按行先序轉(zhuǎn)換為一維序列L，L的長(zhǎng)度為M×N；用得到的Xsort對(duì)一維序列L進(jìn)行置亂得到序列L′，規(guī)則如下：

（2）x方向a階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。將（1）得到的矩陣看做一個(gè)行向量，對(duì)該行向量進(jìn)行a階離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，得到一個(gè)加密的復(fù)數(shù)矩陣。

（3）混沌置亂。置亂規(guī)則與（1）中類(lèi)似，經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后，對(duì)圖像進(jìn)行Logistic映射。

（4）y方向b階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。將（3）得到的矩陣看做一個(gè)列向量，對(duì)該列向量進(jìn)行b階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，得到加密的復(fù)數(shù)矩陣。

（5）RGB映射。上述加密后的圖像為復(fù)數(shù)矩陣，在實(shí)際應(yīng)用中難以傳輸。將復(fù)數(shù)加密矩陣的實(shí)部和虛部映射到RGB分量，形成可傳輸并可顯示的彩色密文圖像。其中實(shí)數(shù)部分作為R分量存儲(chǔ)，虛數(shù)部分作為G分量存儲(chǔ)。B的每一個(gè)元素表示如表1，F(xiàn)r和Fi表示實(shí)部和虛部的符號(hào)，Mr和Mi表示實(shí)部和虛部的縮小倍數(shù)。對(duì)每一位B分量元素5-8位設(shè)置：若實(shí)部為正，則Fr位置至0，否則為1；若實(shí)部絕對(duì)值小于256，則Fr置0，否則將實(shí)部絕對(duì)值縮小若干倍后的值存入R，將倍數(shù)存入Mr。對(duì)虛部做類(lèi)似處理。

表1　分量B的控制字

下面對(duì)上述算法進(jìn)行仿真，加密密鑰設(shè)置為K=［3.96，0.82，3.8，0.7，0.2，0.3］，其中［3.96，0.82］為第一次混沌置亂的混沌序列初始值，［3.8，0.7］為第二次混沌置亂的混沌序列初始值，［a=0.2，b=0.3］分別為x和y方向的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)。用密鑰K=［3.96，0.82，3.8，0.7，-0.2，-0.3］進(jìn)行解密，原圖像、密圖和解密圖顯示如圖1，從圖中可以看出加密圖像無(wú)法辨認(rèn)，解密圖與原圖像肉眼看無(wú)差別。設(shè)解密密鑰b=-0.301其他解密密鑰不變，或者a=-0.199 9其他密鑰不變，分別得解密圖像如圖2。從圖2可知，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換解密階數(shù)加0.001，能解密大部分圖像信息；解密階數(shù)變化范圍小于0.000 1時(shí)的解密圖，從肉眼看與原圖基本一致。

圖1　原圖像、加密圖像和解密圖像

圖2　其他密鑰不變b=-0.301的解密圖和a=-0.199 9的解密圖

為了更直觀地了解這種現(xiàn)象，取五幅不同圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，求改變解密密鑰a值或b值后解密圖相對(duì)原圖像的像素改變率NPCR和平均變換強(qiáng)度UACI。從表2可以看出，其他解密密鑰不變，當(dāng)a為正確解密密鑰時(shí)解密圖像相對(duì)原圖像約有8.4%的像素值發(fā)生變化，變化范圍較?。划?dāng)a在原來(lái)解密密鑰上加0.000 1時(shí)，大約有8.5%的像素值發(fā)生改變并且改變強(qiáng)度較小，與正確解密圖僅具有微小差別，說(shuō)明解密時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換階數(shù)加0.000 1基本不影響密圖的正確解密；當(dāng)a在原來(lái)的解密密鑰上加0.001時(shí)，72%左右的像素值發(fā)生了改變，但改變強(qiáng)度不大，解密圖能較清楚的呈現(xiàn)原圖像輪廓；當(dāng)a值加0.01時(shí)，解密圖有99%以上的像素值改變，變換強(qiáng)度大，解密圖無(wú)法辨認(rèn)。表3表明，解密階數(shù)b的變化對(duì)解密圖的影響。從表4可知（設(shè)變化量為ε）：a+ε，b+ε或a-ε，b-ε比a±ε或b±ε對(duì)解密圖像的影響大；a±ε，b?ε比a±ε或b±ε對(duì)解密圖像的影響??；a+ε，b-ε與a-ε，b+ε對(duì)解密圖的影響相同，即a和b對(duì)算法具有同等效果。

下面從分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義式分析其原因。設(shè)連續(xù)信號(hào)為x（t），令φ=0.5απ，α為實(shí)數(shù)其周期為4，一維α階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義為：

kα（t，u）為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換核：

定理1函數(shù)f（z）=u（x，y）+jv（x，y）在z0=x0+jy0處連續(xù)的充要條件是：u（x，y）和v（x，y）在（x0，y0）處連續(xù)。

定理2連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。

定理3兩個(gè)連續(xù)函數(shù)相乘得到的函數(shù)連續(xù)。

。α?（2，4）的情況下分析方法類(lèi)似。得出結(jié)論：Xα（s）對(duì)變換階數(shù)α的變化不敏感。因此，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換用于圖像加密時(shí)，如果用變換階數(shù)a、b作為密鑰，會(huì)導(dǎo)致密鑰敏感性過(guò)低，存在安全隱患。

表2　b的值不變，改變a的值對(duì)解密圖像的影響

表3　a的值不變，改變b的值對(duì)解密圖像的影響

表4　同時(shí)改變a和b的值對(duì)解密圖像的影響

3　解密圖像恢復(fù)性能分析

為了克服變換階數(shù)的不敏感性，文獻(xiàn)［21］將圖像劃分成不重疊的子塊，塊的大小為4×4，分別進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換階數(shù)由混沌序列產(chǎn)生。具體敘述如下：

（1）先對(duì)原始灰度圖像進(jìn)行分塊，然后對(duì)每個(gè)子塊進(jìn)行二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，其中x和y方向的變換階數(shù)由兩個(gè)混沌序列控制，其算法主要過(guò)程如下：

①將原圖像L按一定規(guī)格大?。ū疚娜?×4）劃分成不重疊的字塊Ik，則I=∪Ik，且Ii∩Ij=φ［i≠j］。

②根據(jù)混沌映射，產(chǎn)生用于控制x，y方向分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)控制序列Px=｛px1，px2，…｝，Py=｛py1，py2，…｝，他們分別由下式產(chǎn)生：

③對(duì)各子塊進(jìn)行二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，變換后的子塊為I′k，即。

（2）混沌置亂。對(duì)（1）結(jié)果進(jìn)行混沌置亂，從而實(shí)施雙重加密，其算法主要細(xì)節(jié)為：將變換后的各子塊I′k重新組合成二維矩陣，并將其轉(zhuǎn)換為一維序列L，L的長(zhǎng)度為M×N；根據(jù)密鑰u（控制參數(shù)）和X0（初始值），由Logistic映射方程Xn+1=uXn（1-Xn），3.569 9≤u≤4，Xn∈（0，1），產(chǎn)生長(zhǎng)度為M×N的混沌序列X；對(duì)產(chǎn)生的混沌序列X進(jìn)行排序，記錄序列元素在X中的位置信息得到一個(gè)新的序列Xsort；用Xsort對(duì)一維序列L進(jìn)行置亂得序列L′，規(guī)則如式（1）；最后將置亂后的一維序列L′轉(zhuǎn)換為一個(gè)二維矩陣。

（3）將復(fù)數(shù)加密矩陣映射到RGB分量中（映射方法參考上一章節(jié)），得到密文圖像。

文獻(xiàn)［21］中算法與其他算法的最大不同在于增加了分塊步驟，而且分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換階數(shù)由混沌序列產(chǎn)生，克服了其他文獻(xiàn)中參數(shù)不敏感的缺點(diǎn)。但是，實(shí)際算法仿真的時(shí)候不能完全得到解密圖，會(huì)出現(xiàn)方塊失真，liftingbody、westconcord和lena三圖像經(jīng)文獻(xiàn)［21］算法加密的解密圖如圖3。

圖3　文獻(xiàn)［21］算法解密圖的方塊失真現(xiàn)象

為了便于分析，將文獻(xiàn)［21］中的分塊步驟去掉，對(duì)原圖像liftingbody進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、混沌置亂和RGB映射，并解密。加密和解密的密鑰一致，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)用a和b表示。當(dāng)a，b取值分別為：｛a=0.2，b=0.3｝，｛a=0.9，b=0.2｝，｛a=0.9，b=0.9｝和｛a=1，b=1｝時(shí)，解密圖如圖4。從圖中可知，隨著分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)的增大，解密圖失真越大。同樣，對(duì)liftingbody、westconcord、lena、rice和cameraman五幅圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用解密圖相對(duì)原圖像的像素改變率NPCR和平均變換強(qiáng)度UACI來(lái)衡量解密圖的失真度，結(jié)果如表5所示：在沒(méi)有加入RGB映射的算法中，NPCR和UACI的值為0，說(shuō)明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換用于圖像加密是可完全還原的；加入RGB映射后的分?jǐn)?shù)傅里葉算法中，當(dāng)a和b的值較小時(shí)，算法失真較??；當(dāng)a和b的值都較大時(shí)，算法失真度很大不能正常解密加密圖。因此，RGB映射應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換中會(huì)導(dǎo)致解密圖像無(wú)法正常解密。

圖4　階數(shù)a和b取不同值的解密圖

下面對(duì)失真的原因進(jìn)行分析。式（3）中α=1時(shí)（φ= 0.5π）），），根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性有：，此時(shí)。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，t的值越大，Xα（s）的值越小。所以，在階數(shù)α值等于或趨向于1時(shí)，如果圖像像素值越大，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)果值越小。對(duì)liftingbody圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，取其左上角4×4大小的矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，當(dāng)變換階數(shù)為［a=0.2，b=0.2］時(shí)，變換后的圖像矩陣數(shù)據(jù)如表6所示，變換階數(shù)為［a=0.8，b=0.9］時(shí)，如表7所示。從表6、7可以看出，如果變換階數(shù)較小，得到的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)果值較大，取整所截取的數(shù)據(jù)占數(shù)據(jù)本身的比例較小，能較完整的還原原圖像信息；在變換階數(shù)接近1時(shí)得到的圖像矩陣數(shù)據(jù)值很小，如果做取整或者四舍五入運(yùn)算會(huì)丟失大部分圖像信息，并且不能還原。所以上述算法中，如果使用混沌序列作為變換階數(shù)進(jìn)行圖像加密，在混沌序列值接近1且圖像像素值較大時(shí)，會(huì)造成失真現(xiàn)象。

表5　RGB映射對(duì)解密圖失真度的影響

表6　變換階數(shù)為［a=0.2，b=0.2］的部分加密圖像數(shù)據(jù)

表7　變換階數(shù)為［a=0.8，b=0.9］的部分加密圖像數(shù)據(jù)

4　結(jié)束語(yǔ)

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換應(yīng)用于圖像加密，以變換階數(shù)作為密鑰，則算法密鑰敏感性差，變換結(jié)果數(shù)據(jù)矩陣是復(fù)數(shù)形式，不適用于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的傳輸和存儲(chǔ)。為了改善上述缺點(diǎn)，算法引入混沌映射和RGB映射，混沌映射用來(lái)提高密鑰敏感性，RGB映射可以實(shí)現(xiàn)加密圖像的傳輸和存儲(chǔ)，但是對(duì)密圖造成失真，特別是變換階數(shù)接近nπ+π/2（n為整數(shù)）時(shí)，圖像解密時(shí)將出現(xiàn)塊失真現(xiàn)象。綜上所述，使用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的圖像加密算法，變換階數(shù)不適合用做密鑰，而且需要尋找新的方法代替RGB映射，解決圖像的顯示、存儲(chǔ)與傳輸?shù)膯?wèn)題。

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［21］楊倬，馮久超，方勇.一種基于混沌和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的圖像加密算法［J］.計(jì)算機(jī)科學(xué)，2008，35（9）：239-273.

［22］王雅慶，周尚波.基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的數(shù)字圖像加密算法研究［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2011，28（7）：2738-2741.

［23］王俊，蘇利萍.一種新的基于雙向分?jǐn)?shù)傅里葉變換和RGB映射圖像保護(hù)算法［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2013，30（8）：322-325.

Security analysis of image encryption algorithm for a class of fractional Fourier transform.

ZHOU Yeqin，LONG Min

School of Computer and Communication Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114，China

According to the properties of fractional Fourier transform，a kind of fractional Fourier transform image encryption algorithm is analyzed.The key is not sensitive and the deciphering diagram is of great distortion，when with the naked eye on results chart to judge and extract the image data for comparison.Theoretical analysis and experimental results show that the algorithm is not sensitive to the key when the fractional Fourier transform is directly applied to image encryption. The introduction of RGB mapping to realize the cipher image display and transmission，result a great distortion in pixels. Key words：image encryption；fraction Fourier transform；RGB mapping；chaotic sequence

A

TP309.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1409-0037

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61001004）；湖南省教育廳項(xiàng)目（No.11B002）；湖南省海外名師項(xiàng)目（No.2013008）。

周業(yè)勤（1990—），女，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)樾畔踩积埫簦?976—），女，博士，教授，研究領(lǐng)域?yàn)樾畔踩?，無(wú)線(xiàn)通信。E-mail：zhouyeqin0220@qq.com

2014-09-02

2014-10-28

1002-8331（2015）22-0085-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2015-04-21，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20150421.1022.006.html