☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院路亞　飛朱哲

基于環(huán)境數(shù)據(jù)的初中統(tǒng)計(jì)與概率習(xí)題設(shè)計(jì)*

☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院路亞飛朱哲

2015年2月28日，前央視記者柴靜帶來了長達(dá)103分鐘的公益作品《霧霾調(diào)查——穹頂之下》，24小時(shí)之內(nèi)點(diǎn)擊量破億，48小時(shí)內(nèi)播放量突破2億次，數(shù)以百萬計(jì)的中學(xué)生應(yīng)該也觀看或知曉了柴靜老師的“公開課”.而學(xué)生解題時(shí)普遍表現(xiàn)出思維集中有余發(fā)散不足、不善于提出問題、數(shù)學(xué)寫作能力很弱等問題，這些問題與數(shù)學(xué)習(xí)題的設(shè)計(jì)方式有關(guān).［1］把“公開課”中的大量數(shù)據(jù)應(yīng)用到數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)中，新穎的素材可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的共鳴，同時(shí)也是很好的德育素材，增強(qiáng)學(xué)生節(jié)約能源、保護(hù)環(huán)境的意識(shí)，更能夠促使中學(xué)生獨(dú)立地思考，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，也能成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)新的教學(xué)資源.

一、課標(biāo)中的相關(guān)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）中明確指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)當(dāng)積極開發(fā)利用社會(huì)教育資源，充分利用日常生活環(huán)境中與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息，開發(fā)成為教學(xué)資源.”以“穹頂之下”為背景，基于豐富真實(shí)的環(huán)境數(shù)據(jù)制作而成的折線圖、柱形圖等，為初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率模塊教學(xué)提供多樣化的知識(shí)擴(kuò)展類鞏固練習(xí)題材.統(tǒng)計(jì)與概率是通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)收集、整理與分析以及對(duì)事件發(fā)生的可能性判斷，來幫助個(gè)體做出合理的決定.

“標(biāo)準(zhǔn)”在“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊中給出的知識(shí)與技能目標(biāo)是要求學(xué)生體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集、處理、分析和推斷過程，理解抽樣方法，體驗(yàn)用樣本估計(jì)總體的過程.孔凡哲先生基于對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱對(duì)比的研究，強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)與概率的習(xí)題必須要有一定的真實(shí)生活情境，并在其中體會(huì)它的價(jià)值.［2］把生活中的真實(shí)環(huán)境數(shù)據(jù)摘出，設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)習(xí)題，不僅符合要求，同時(shí)可以應(yīng)用于課堂練習(xí)、課后作業(yè)、普通考試、選拔考試等，甚至可以進(jìn)一步本土化設(shè)計(jì)并應(yīng)用到各地中考題目之中.

課標(biāo)中的這些相關(guān)要求，結(jié)合生活中的環(huán)境數(shù)據(jù)，研究針對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率模塊，設(shè)計(jì)了三種類型的習(xí)題：統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)概念、頻率分布表與頻數(shù)分布直方圖、統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表.

二、統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)概念類習(xí)題

對(duì)于諸如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，是進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)模塊的基礎(chǔ)，“標(biāo)準(zhǔn)”中也明確要求學(xué)生掌握統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.“標(biāo)準(zhǔn)”在概率模塊要求學(xué)生在小學(xué)概率學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象，并且能夠獨(dú)立解決一些簡單事件的概率計(jì)算問題.通過分析近年各地中考試題，可發(fā)現(xiàn)本類習(xí)題在試卷中占有一定分值，基于以上分析設(shè)計(jì)如下習(xí)題.

題1：2015年2月，前央視記者柴靜統(tǒng)計(jì)了各個(gè)城市2014年的污染天數(shù)，其中北京、蘭州、天津、沈陽、成都、石家莊在2014年的污染天數(shù)分別是：175、112、197、152、125、264.下列說法正確的是（）.

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是163.5

B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是172

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是152

D.這組數(shù)據(jù)的極差是139

分析：本題主要考查統(tǒng)計(jì)模塊的基本概念以及掌握的熟練程度，選項(xiàng)看似簡單，卻都需熟練掌握各個(gè)概念的意義，同時(shí)多次計(jì)算才能進(jìn)行判斷.數(shù)據(jù)來源在習(xí)題中明確提出，真實(shí)性可以讓學(xué)生一目了然，試題中列舉的城市有限，若該試題應(yīng)用于考試之中，建議加入考生所在城市的污染天數(shù)進(jìn)行對(duì)比，不僅可以使學(xué)生意識(shí)到自己身處的城市污染程度的“地位”，更能激起保護(hù)城市環(huán)境的“欲望”.

題2：某位市民在觀看了新聞中手機(jī)軟件顯示PM2.5報(bào)表事件之后，通過查看某手機(jī)軟件中的數(shù)據(jù)，記錄了自己居住的城市過去一周的PM2.5指數(shù)：72、82、51、X、87、82、61，已知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)比平均數(shù)大11，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_______.

分析：本題變相考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)幾個(gè)基本概念，題中給出的條件看似較少，計(jì)算復(fù)雜，若能發(fā)現(xiàn)習(xí)題中暗藏的信息“眾數(shù)=82”，則這個(gè)習(xí)題就會(huì)變得簡單.本題設(shè)計(jì)具有很大的開放性，可應(yīng)用到不同地區(qū)，可將題中城市進(jìn)行相應(yīng)修改，同時(shí)數(shù)據(jù)也可根據(jù)所處時(shí)期的熱點(diǎn)稍作改動(dòng).如本題設(shè)計(jì)之時(shí)，柴靜的“穹頂之下”異常火熱，則把PM2.5應(yīng)用到試題之中.

題3：中國前衛(wèi)生部長陳竺根據(jù)數(shù)據(jù)測(cè)算，在中國每年因?yàn)榭諝馕廴径嵩缢劳龅娜藬?shù)為500000，其中最脆弱、最容易受到傷害的是老人和小孩.2013年1月重霧霾期間，27個(gè)城市出現(xiàn)急診的人數(shù)爆發(fā)增加10%-150%不等，以兒童和老人為主.期間張先生的兩個(gè)月大的小孩得了肺炎，張先生的小孩肺炎是由霧霾引起的屬于（）.

A.必然事件B.隨機(jī)事件

C.不可能事件D.以上說法都不正確

分析：本題的社會(huì)背景及數(shù)據(jù)源于柴靜的“穹頂之下”，具有真實(shí)可靠性.本題在全面考查必然事件與可能事件的同時(shí)，讓學(xué)生用正確的心理對(duì)待霧霾，不要被社會(huì)輿論所帶動(dòng)去主觀地進(jìn)行判斷，引導(dǎo)學(xué)生明白對(duì)任何事件的判斷都應(yīng)具有客觀性.本題呈現(xiàn)數(shù)據(jù)較多，具有一定的干擾性，但對(duì)知識(shí)與能力的考查相對(duì)偏弱，更加注重了實(shí)際的教育意義.

題4：前央視記者柴靜通過分析來自北京交通發(fā)展中心的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，北京人開車在1公里以內(nèi)的占7%，在2公里以內(nèi)的占12%，超過5公里的占56%，則在北京開車在5公里以內(nèi)的概率是______.

分析：本題計(jì)算簡單，但對(duì)概念熟悉程度及數(shù)據(jù)分析能力要求高，若對(duì)題中數(shù)據(jù)分析不正確，容易忽視1公里以內(nèi)與2公里以內(nèi)屬于5公里以內(nèi)的范疇，則會(huì)出現(xiàn)問題.隨著經(jīng)濟(jì)水平的提高，家家戶戶基本都已配備汽車，本題把開車作為主線，更能貼近學(xué)生的實(shí)際生活.若把試題應(yīng)用到課堂教學(xué)中，可適當(dāng)增加一些開放性問題，如“請(qǐng)大家猜猜開車在1公里以內(nèi)我們能做些什么？”，引導(dǎo)學(xué)生環(huán)保出行的意識(shí).

三、頻率分布表與頻數(shù)分布直方圖類習(xí)題

學(xué)生進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)時(shí)，通過對(duì)數(shù)據(jù)的收集、歸類、分析，總結(jié)出結(jié)論，據(jù)此提出自己的建議與看法，其中頻數(shù)分布表與頻數(shù)分布直方圖應(yīng)用最為廣泛且實(shí)用.同時(shí)頻數(shù)分布表與頻數(shù)分布直方圖習(xí)題設(shè)計(jì)具有豐富的背景來源，在各地考試中也占有重要地位，據(jù)此設(shè)計(jì)如下試題.

題5：中國環(huán)境保護(hù)部官網(wǎng)公布的2015年3月24日367個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）統(tǒng)計(jì)如圖1所示，請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問題：

表1　

（1）由圖1可以看出空氣質(zhì)量屬于污染狀態(tài)的城市所占比例為______%；

（2）已知北京、上海、沈陽、杭州、蘇州當(dāng)日的空氣質(zhì)量指數(shù)分別是109、51、163、48、77，請(qǐng)根據(jù)表1判斷它們當(dāng)日空氣質(zhì)量的級(jí)別；

（3）請(qǐng)你計(jì)算空氣質(zhì)量各個(gè)級(jí)別的城市的個(gè)數(shù)，并用頻數(shù)直方圖表示出來（四舍五入法）.

圖1

分析：本題考查學(xué)生分析、處理圖表中數(shù)據(jù)信息的基本能力，以及對(duì)頻數(shù)直方圖的掌握程度，其中數(shù)據(jù)選自環(huán)境保護(hù)部官網(wǎng)，數(shù)據(jù)在習(xí)題設(shè)計(jì)之時(shí)屬于官網(wǎng)最新，數(shù)據(jù)幾乎涉及我國全部城市，具有全面性，檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)能力的同時(shí)，普及了空氣質(zhì)量劃分標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生克服對(duì)于信息化社會(huì)數(shù)據(jù)的麻木性，理解各種多媒體設(shè)備中的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)信息.

題6：在2015年1-2月期間，浙江省69個(gè)縣級(jí)以上城市的PM2.5平均濃度范圍為30～89 μg/m3，平均濃度為65 μg/m3，較去年同期下降5.8%，根據(jù)各個(gè)城市的PM2.5平均濃度制作如下的頻數(shù)直方圖（圖2），請(qǐng)回答下列問題：

（1）2014年1-2月期間，浙江省PM2.5平均濃度是______；（保留整數(shù)）

（2）浙江省中只有衢州開化縣一個(gè)城市PM2.5平均值低于35，請(qǐng)問：它的PM2.5平均值是多少？

（3）根據(jù)我國空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，PM2.5超過75 μg/m3為空氣污染，請(qǐng)問：在2015年1-2月期間，PM2.5的平均濃度屬于空氣污染的城市有多少？并將圖2補(bǔ)充完整.

圖2

分析：本題設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)來源于浙江手機(jī)報(bào)（公益版），出現(xiàn)數(shù)據(jù)較多，主要考查數(shù)學(xué)分析能力，以及對(duì)有效數(shù)據(jù)敏銳的嗅覺.基于本題模板，也可自主開發(fā)多種實(shí)際創(chuàng)新試題.

四、統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表類習(xí)題

讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程是“標(biāo)準(zhǔn)”為統(tǒng)計(jì)模塊制定的知識(shí)技能總目標(biāo)，在數(shù)學(xué)思考方面要求學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析的觀念.基于“標(biāo)準(zhǔn)”中給定的目標(biāo)，設(shè)計(jì)如下習(xí)題.

題7：根據(jù)北京市環(huán)保局2014年公布的經(jīng)過一年半檢測(cè)所得的數(shù)據(jù)分析，表明北京PM2.5來源如圖3所示，根據(jù)下圖完成下列問題：

（1）作為污染源的燃煤所占的比例為______%；

（2）觀察圖3可知；北京PM2.5最大的來源是什么？你還能從圖中獲得什么信息？

圖3

分析：本題開頭考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)部分基礎(chǔ)知識(shí)，沒有涉及復(fù)雜的計(jì)算，之后設(shè)置了開放性的問題，給學(xué)生普及近期熱議的PM2.5主要來源，具體應(yīng)用時(shí)也可增加一些問題.如“通過北京PM2.5的來源分析，你認(rèn)為你所在的城市的PM2.5主要來源有哪些？”，讓學(xué)生聯(lián)系到自己的生活環(huán)境，促使學(xué)生通過對(duì)自身環(huán)境的污染源的猜測(cè)，引導(dǎo)他們走入環(huán)境保護(hù)與監(jiān)督的行列.

題8：近期“霧霾”污染嚴(yán)重，前央視記者柴靜為調(diào)查北京某日空氣污染情況，背著PM2.5的采樣儀24小時(shí)，經(jīng)數(shù)據(jù)檢測(cè)人體吸入量為305.91 g/m3，請(qǐng)根據(jù)各個(gè)地區(qū)環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（如圖4），其中歐洲PM2.5一天平均濃度標(biāo)準(zhǔn)是世界衛(wèi)生組織的2倍，中國是世界衛(wèi)生組織的3倍，完成以下問題：

（1）歐洲PM2.5標(biāo)準(zhǔn)是______g/m3；中國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)是______g/m3.

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)補(bǔ)全數(shù)據(jù)直方圖（圖4）.

（3）柴靜想探究采樣膜上到底有何物質(zhì)，于是請(qǐng)北大邱教授測(cè)試，發(fā)現(xiàn)其中含有15種致癌物質(zhì)，當(dāng)中世界上最強(qiáng)的致癌物苯并［a］芘含量為0.035 g/m3，是國家標(biāo)準(zhǔn)值的14倍，請(qǐng)問：苯并［a］芘的國家標(biāo)準(zhǔn)值是多少？

（4）根據(jù)我國環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)判斷當(dāng)日的空氣質(zhì)量如何.

圖4

分析：本題以時(shí)下熱議的霧霾為背景，把中國的PM2.5標(biāo)準(zhǔn)與國際標(biāo)準(zhǔn)、典型國家和地區(qū)標(biāo)準(zhǔn)通過統(tǒng)計(jì)圖展示，考查學(xué)生圖表分析、處理能力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)我國空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)偏低，同時(shí)結(jié)合前央視記者柴靜檢測(cè)某日的PM2.5吸入量，不僅能夠檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握程度，還能讓學(xué)生切實(shí)地意識(shí)到習(xí)題中的數(shù)據(jù)跟自己的生活息息相關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到我國空氣污染的嚴(yán)重性，深刻理解統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)意義.最后可根據(jù)試題應(yīng)用情況增加問題，如“對(duì)于空氣質(zhì)量分析結(jié)果你有何感想或建議”，促進(jìn)學(xué)生深層次思考.

五、總結(jié)

從數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的教學(xué)是必經(jīng)、必由之路.［3］理想的數(shù)學(xué)好課，是數(shù)學(xué)思維的學(xué)與教，是從學(xué)生的思維出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極地思考，讓學(xué)生沉浸其中，體驗(yàn)過程，享受數(shù)學(xué)思考的樂趣，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解.［4］習(xí)題是教材的重要組成部分，也是學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)、發(fā)展能力的重要資源和載體.［5］習(xí)題也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)思維引領(lǐng)的重要載體.研究借助“穹頂之下”中實(shí)際的問題情境，以及其中豐富、可用、刺眼、無奈的數(shù)據(jù)，整理成一道道數(shù)學(xué)習(xí)題，使其觸及內(nèi)心的影響，融入到數(shù)學(xué)教育之中，把保護(hù)環(huán)境的理念滲透到學(xué)生的潛意識(shí)中.這也只是拋磚引玉，社會(huì)焦點(diǎn)還會(huì)隨著社會(huì)的發(fā)展不斷出現(xiàn)，數(shù)學(xué)教育的調(diào)整和數(shù)學(xué)習(xí)題的設(shè)計(jì)也需要與時(shí)俱進(jìn).

1.王嶸，張蓓.數(shù)學(xué)習(xí)題的多樣化設(shè)計(jì)與學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高［J］.課程·教材·教法，2012，32（10）.

2.孔凡哲.課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱對(duì)比研究：初中數(shù)學(xué)［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2003.

3.陸吉健，朱哲.“數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育”研究綜述［J］.中學(xué)教研，2015（3）.

4.朱哲，陸吉健.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)與教［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）.

5.耿飛飛.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中知識(shí)促進(jìn)能力的發(fā)展——由一道習(xí)題的教學(xué)引起的思考［J］.課程·教材·教法，2014，34（2）.Z